浙江省平陽中學(xué)       洪一平

湖南永州    唐  佳    陜西渭南     魏拴文

遼寧沈陽二中    劉  銳

湖北省陽新縣高級(jí)中學(xué)    鄒生書

題目：已知x>0,y>0,2x+y=2 ,求x+√(x²+y²)的最小值。

解法1：代入消元+判別式法求最小值

由x>0,y>0, 2x+y=2，得y=2-2x，則

評(píng)注：三角換元后問題轉(zhuǎn)化為含有正弦余弦的三角函數(shù)的最小值問題，還可用萬能公式轉(zhuǎn)化求解，也可以導(dǎo)數(shù)方法求最小值等，這里就不一一展開了。

解法3  待定系數(shù)法助力柯西不等式求最小值

湖南永州   唐 佳   提供

解法4  三角換元+待定系數(shù)法+柯西不等式

   洪一平   提供

解法5：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求最小值    洪一平  提供

解法6  數(shù)形結(jié)合法    用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造對(duì)稱圖形   洪一平  提供

如圖，在平面直角坐標(biāo)系, 設(shè)A (1, 0), B (0, 2), 

P (x, y)是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)直線OB關(guān)于直線AB的對(duì)稱線為直線BC,

由tan∠OBA=1/2, 

知tan∠OBC=tan2∠OBA=4/3,

得C (8/3, 0), 知直線BC: 3x+4y-8=0,

設(shè)P在OB,BC上的垂足分別為D, E,

O在BC上的垂足為H,

則原式=|PD|+|OP|=|OP|+|PE|

≥|OH|=8/√(3²+4²)=8/5,

當(dāng)O, P, H三點(diǎn)共線時(shí), 等號(hào)成立,

故x+√(x²+y²)的最小值為8/5。 

解法7  用將軍飲馬問題的方法求最小值   劉銳  提供

如圖，在平面直角坐標(biāo)系, 設(shè)A (1, 0), B (0, 2), P (x,y)是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（A,B兩點(diǎn)除外）,滿足2x+y=2，則x+√(x²+y²)=PM+PO.

作點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8/5,4/5）,過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D,交AB于點(diǎn)E，則PO=PC,EO=EC.

PM+PO=PM+PC≥CD=8/5,

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，等號(hào)成立。

故所求式子的最小值為8/5.

解法8   用物理光學(xué)性質(zhì)求解    魏拴文  提供

如圖，在平面直角坐標(biāo)系, 設(shè)A (1, 0), B (0, 2), P (x,y)是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（A,B兩點(diǎn)除外）,滿足2x+y=2，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為M,

則x+√(x²+y²)=PM+PO.

根據(jù)光在同一媒介里沿最短路徑傳播這一性質(zhì)可知，從點(diǎn)O發(fā)出的光線射到直線AB發(fā)生反射后平行于x軸，這樣的光線是存在的，且是唯一的。設(shè)平行于 x軸的反射光線與y軸相交于點(diǎn)M，由入射角等于反射角知，

∠1=∠2，又由MP//OB,得∠2=∠3，

所以∠1=∠3，所以O(shè)P=OB=1,即x²+y²=1，

又x+2y=2,聯(lián)立解得x=3/5,

所以PM+PO=3/5+1=8/5.

故所求式子的最小值為8/5.

點(diǎn)評(píng)：解法8是借助物理光學(xué)性質(zhì)通過構(gòu)建物理光學(xué)模型求最小值，解法7是用將軍引馬問題中的思想方法，即通過作對(duì)稱點(diǎn)，然后用垂線段最短最最小值，用的是幾何方法。兩種方法具有異曲同工之效。

以上的解法8是編者根據(jù)魏拴文老師發(fā)到高中數(shù)學(xué)解題交流二群的帖子編輯整理而成的，原先的解法帖子如下：

這個(gè)解法的嚴(yán)謹(jǐn)性在群里引起了一點(diǎn)爭議，可能是表達(dá)方面帶來的。編者認(rèn)為解法8的正確性是沒有問題的，解法8與解法7從效果與圖形來看都是一致的。下面是魏老師發(fā)到群里的解法效果圖。

如果讀者朋友覺得解法8是一種偶然的話，編者請(qǐng)讀者朋友用解法8與前面7種解法任選些解法做下面兩道改編題就知道了，解法8并非偶然，而是必然。用物理光學(xué)性質(zhì)解這類問題同樣是正確的。讀者朋友還可以自己編題進(jìn)行解法比較。

改編題1：已知x>0,y>0,x+y/3=1 ,

求x+√(x²+y²)的最小值。

改編題2：已知x>0,y>0,x/2+y/3=1 ,

求x+√(x²+y²)的最小值。