（王橋）

《沙場(chǎng)秋點(diǎn)兵》解直角三角形一講的戰(zhàn)前演練，有一道小小的填空題，題目如下：

例：（2018濱州）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE=√5，∠EAF=45°，則AF的長(zhǎng)為     ．

關(guān)于45°角，曾經(jīng)寫(xiě)過(guò)一篇文章。今天這道小題也很有意思，咱們?cè)賮?lái)欣賞下。

做題是要講究策略的。這道題目，如果沒(méi)有正確的策略，也是有點(diǎn)小困難的。那么遇到45°角的策略是什么呢？

策略一：胡亂做垂直！

這句話(huà)，源于2019年8月登封模型教學(xué)研討會(huì)大師兄王宏偉的原話(huà)！——話(huà)糙理不糙啊。45°和等腰直角三角形如影相隨，所以“遇到45°角，胡亂做垂直，構(gòu)造等腰直角三角形”，可以看做是45°角問(wèn)題的通法！

方法1：過(guò)點(diǎn)E作EP⊥AF于點(diǎn)P，根據(jù)勾股定理易求得AE=√5，則AP=EP=√10，不妨設(shè)FD=x，F(xiàn)P=y，根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程：

方法2：過(guò)點(diǎn)E作EP⊥AE，交AF于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作MN⊥AD于M，交BC于N，則MN⊥BC，構(gòu)造等腰直角△AEP，則AE=EP=√5，AP=√10，易證明△ABE≌△ENP，則EN=AB=2，PN=BE=MP=1，易知△AMP∽△AFD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例構(gòu)造方程，則有：

策略二：構(gòu)造半角模型！

我們都比較熟悉這個(gè)模型：如圖，若點(diǎn)E、F分別為正方形ABCD的BC、CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF=45°，則BE+DF=EF。

當(dāng)遇到90°內(nèi)含45°時(shí)，也可以構(gòu)造這個(gè)半角模型，運(yùn)用結(jié)論進(jìn)行求解。

策略三：構(gòu)造共角共邊的相似三角形！

策略四、12345模型

首先構(gòu)造“12345模型”。

老王說(shuō)過(guò)：構(gòu)造方程法是最大的通法！

前面的解法中，基本上都不約而同的用到了構(gòu)造方程法！但是，究竟什么是構(gòu)造方程法？又該怎樣構(gòu)造方程呢？——請(qǐng)參閱《春季攻勢(shì)》第3講“構(gòu)造方程法”或《沖刺十招》第2招“無(wú)中生有話(huà)‘構(gòu)造’”！

老王說(shuō)過(guò)：胸中有模型，勝過(guò)百萬(wàn)兵！

其實(shí)，策略一、策略二、策略三、策略四都是直接運(yùn)用模型的結(jié)果！

策略一是構(gòu)造等腰直角三角形模型！策略二是構(gòu)造半角模型！策略三是構(gòu)造共角共邊的三角形相似模型！策略四是構(gòu)造“12345”模型！

究竟什么是數(shù)學(xué)模型？中考中又有哪些最常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型？——請(qǐng)參閱本公眾號(hào)相關(guān)文章及《春季攻勢(shì)》相關(guān)文章，以及《沖刺十招》第5招“胸有成竹會(huì)‘建?！?！

不過(guò)，講了這么多，突然發(fā)現(xiàn)，這道題目居然和上次那篇《一類(lèi)斜45°角問(wèn)題處理的通法和特法》是不是很像很像？

來(lái)，咱換個(gè)角度看一下：我們不妨把原圖補(bǔ)成這個(gè)圖形。這個(gè)圖形中，在已知條件不變的前提下，求AF和求AN是等價(jià)的（例如方法7）。那么我們?nèi)绻堰@個(gè)圖形中的一些線(xiàn)段去掉，就可以得到了下面的圖形。

這個(gè)圖形中，若已知AB=2，BE=1，∠ABE=90°，∠EAN=45°，求AN。——難道這個(gè)題目不就是上面的題目嗎？其實(shí)上一次咱們基本建立了這個(gè)圖形中知道了∠B=90°，∠EAN=45°，圖形中的6條線(xiàn)段只要知道了任意兩條，其余的四條基本都是可以通過(guò)上面的策略求出來(lái)的！——這才是真正意義的通法！

《春季攻勢(shì)》第3講“構(gòu)造方程法”這道題，據(jù)說(shuō)有n種解法，您不妨采用今天的策略，適當(dāng)練習(xí)一下。

  練習(xí)：如圖，已知△ABC中，∠BAC=45°，AD為BC邊上的高，BD=2，CD=3求AD。

【來(lái)源】公眾號(hào)：老王的數(shù)學(xué)。