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向你介紹我是誰   2 本期內(nèi)容有哪些 （1）聽一聽，什么是'數(shù)形結(jié)合'思想？ （2）讀一讀，如何運(yùn)用面積法解決“雞兔同籠”問題？ （3）笑一笑，“數(shù)學(xué)家與燈神”。 3 輕輕松松聽書 你知道什么是“數(shù)形結(jié)合”思想嗎？它的起源和發(fā)展又是怎樣的呢？ 4 堅(jiān)持閱讀8分鐘 你知道怎么用“面積法”解決“雞兔同籠”問題嗎？“面積法”和“假設(shè)法”之間又有什么聯(lián)系呢？怎樣用“面積法”突破“雞兔同籠”變式練習(xí)的難點(diǎn)呢？ “雞兔同籠”問題始見于我國古代的《孫子算經(jīng)》。它的基本形式是，若干只雞和兔子關(guān)在同一個(gè)籠子中，已知雞和兔的總頭數(shù)及雞和兔的總腿數(shù)，就可以求出雞和兔各有多少只。  “雞兔同籠”問題通常用的是“假設(shè)法”，在題1中我們就可以假設(shè)籠中都是兔，相當(dāng)于每只雞都增加2條腿，因此雞的總只數(shù)是：（20×4-54）÷（4-2）=13（只）；如果假設(shè)籠中都是雞，類似地可以得到兔的總只數(shù)為：（54-20×2）÷（4-2）=7（只）。 一、 “面積法”，讓“假設(shè)法”思維可視 這樣的“假設(shè)”完全是在思維中進(jìn)行的，是抽象的思維過程。如果把這個(gè)問題與幾何圖形聯(lián)系起來，或許可以使抽象的思維過程直觀化。 “雞兔同籠”問題的基本數(shù)量關(guān)系是“總腳數(shù)＝每只動(dòng)物的腳數(shù)×只數(shù)”，而長方形面積公式也有類似的數(shù)量關(guān)系“長方形的面積＝長×寬”，因此可以借助長方形來表示這個(gè)問題。用長方形的橫線段表示動(dòng)物的只數(shù)，豎線段表示每只動(dòng)物的腳數(shù)，那么長方形的面積就表示相應(yīng)動(dòng)物的總腳數(shù)。見下圖：  圖中，左邊長方形的面積表示兔的總腳數(shù)，右邊的長方形表示雞的總腳數(shù)，兩個(gè)長方形面積的和就是題中已知的54只腳?，F(xiàn)在“雞兔同籠”問題就與一個(gè)幾何問題等價(jià)了。前面假設(shè)法得到的兩個(gè)算式可以分別在下面兩圖中明顯地看出來。   圖中的輔助線的添加來源于解決幾何問題常用的“割補(bǔ)法”，這種方法讓思考過程失去了“假設(shè)”的涵義。兩種方法比較，得到的算式?jīng)]有什么不一樣，但二者的思考過程卻有本質(zhì)的差異，這種差異體現(xiàn)在“看得見”與“看不見”，也就是“抽象”與“直觀”的對(duì)立。 二、 “畫圖法”，讓“各技巧”一目了然 在雞兔同籠的解法中，還有很多有趣的解題思路和技巧，如“抬腳法”、“增頭法”等。這些方法新穎巧妙、生動(dòng)活潑，但不是所有學(xué)生能很快理解。不過用面積法來輔助解釋，就能夠一目了然，過目難忘。 （一）雞翅變足法 想象將每只雞的2只翅膀也算作雞腳，那么雞就變成了有4只腳的動(dòng)物，同時(shí)還可以得出雞翅的總數(shù)就等于原來雞腳的總數(shù)。具體解法如下圖：  （二）兔子增頭法 想象每只兔又長出一個(gè)頭出來，它就變成了2頭4腳的怪物。然后將它劈開，變成“1頭2腳”的“半兔”，相當(dāng)于一只雞，且“半兔”只數(shù)等于兔的只數(shù)。具體解法如下圖：  （三）雞兔抬腿法 雞兔抬腿法就是要讓籠子里面的雞兔都抬起2條腿。雞沒有腳碰到地面，兔子也少了2條腿碰到地面，那也就是說，籠子里的所有個(gè)體都少了2條腿，圖中C部分指的是抬腿后消失的腿的總數(shù)?，F(xiàn)在腳碰到地面的也只有兔子了，也就是圖中剩余的藍(lán)色部分。具體解法如下圖：  三、 “畫圖法”，讓“變式題”迎刃而解 有些孩子對(duì)于“雞兔同籠”問題的理解、分析和解決都比較順利，但出現(xiàn)變式時(shí)，卻不能很好地解決。究其原因，我們可以發(fā)現(xiàn)孩子們只知道套用公式，并沒有很好地理解知識(shí)的本質(zhì)。通過面積法，利用幾何直觀讓思維可視化，能更好地幫助學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)化和理解。 2個(gè)對(duì)象的倒扣分問題 在雞兔同籠的變式題中，有一類學(xué)生錯(cuò)誤率比較高的題目，那就是“倒扣分”問題。運(yùn)用假設(shè)法解決的過程中，替換這一步是學(xué)生最容易出錯(cuò)的地方。在題2中，很多學(xué)生不理解替換背后的本質(zhì)，把“10+4”，錯(cuò)寫成“10-4”。 運(yùn)用面積法，就能較好地突破這個(gè)難點(diǎn)。我們用長方形A表示做對(duì)題所得總分，長方形B表示做錯(cuò)題所扣總分。在作圖上，較前面幾道題有所區(qū)別，將兩個(gè)長方形進(jìn)行上下錯(cuò)位擺放。添加輔助線形成長方形C，借用公共部分C進(jìn)行計(jì)算，具體解法如下圖： 3個(gè)對(duì)象的“雞兔同籠”問題（1） 在雞兔同籠中的變式題中，除了含有2個(gè)對(duì)象的基礎(chǔ)題，還有3個(gè)對(duì)象甚至以上的拓展題。這時(shí)就需要我們把多個(gè)對(duì)象進(jìn)行恰當(dāng)組合以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)對(duì)象。 題目中提到的蜻蜓和蟬是昆蟲，都有6條腿，蜘蛛不是昆蟲，有8條腿。蜘蛛沒有翅膀，蜻蜓和蟬雖然都有翅膀，但是數(shù)目不同。我們不妨從蜻蜓和蟬的共同點(diǎn)入手，因?yàn)槎加?條腿，所以將二者看成一種小蟲，起名叫“蜻蟬”，現(xiàn)在只剩下蜻蟬和蜘蛛了，就把3個(gè)對(duì)象通過組合轉(zhuǎn)換成了2個(gè)對(duì)象。假設(shè)這18只小蟲全是“蜻蟬”，這些蜻蟬的總腿數(shù)就是圖中D部分，通過剩余藍(lán)色部分可求得蜘蛛的只數(shù)，具體解法如下圖： 蟬和蜻蜓只數(shù)的求法可以從翅膀入手解決，和前面雞兔同籠問題中兩個(gè)對(duì)象的求法方法相似，這里不再贅述。 3個(gè)對(duì)象的“雞兔同籠”問題（2） 粗看這道題，很難入手。不像上一題中的蜻蜓和蟬，存在著腳數(shù)相等的關(guān)系。其實(shí)細(xì)讀題目我們可以發(fā)現(xiàn)，雖然是三個(gè)對(duì)象，但是其中兩個(gè)對(duì)象存在著一定的等量關(guān)系，因此我們可以合并考慮：中號(hào)和小號(hào)的總價(jià)相等，中號(hào)的單價(jià)是小號(hào)的3倍，那么反過來小號(hào)的數(shù)量是中號(hào)的3倍。通過添加輔助線并進(jìn)行分割，B上方的長方形和C上方3個(gè)長方形的寬都等，這樣我們就簡化了問題，具體解法如下圖： 數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間，往往有著我們想不到的聯(lián)系，找到它們，并巧妙利用它們，就能解決我們遇到的許多問題，會(huì)使我們的學(xué)習(xí)生活充滿無窮樂趣，睜大眼睛去發(fā)現(xiàn)吧! （注：本文第一部分節(jié)選自，郜舒竹《小學(xué)數(shù)學(xué)解題論》，數(shù)字和部分語句略有調(diào)整。） 5 開心一刻 數(shù)學(xué)家與燈神 一個(gè)數(shù)學(xué)家撿到了一盞燈，里面冒出來了一個(gè)燈神。 燈神說:“你可以許一個(gè)愿望?！?/span> 數(shù)學(xué)家說:“我要無限個(gè)愿望?！?/span> 燈神說:“不行，不能要無限的愿望?！?/span> 數(shù)學(xué)家想了一會(huì)兒說:“那我要一個(gè)有限但可以任意大的數(shù)量的愿望?！?/span> 你若盛開 蝴蝶自來 審核人：黃靜飛 方群 |
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