由定理1，可引伸而得：

N2-(N-1)2=N+(N-1)

對(duì)定理2的證明：

偶數(shù)Q，若為2G(G為奇數(shù))，

我們無論怎樣將其統(tǒng)括為兩數(shù)的相乘，它們都會(huì)表現(xiàn)為2j×f (j, f為奇數(shù))的樣式。

若2j>f

設(shè)：c+b=2j, c-b=f 則：

       2c=2j+f,  由于方程右邊不能提取出2的因子，所以c不可能為整數(shù)。

若2j<f 

設(shè)c+b=f, c-b=2j 則：

       2c=2j+f,  由于方程右邊不能提取出2的因子，所以c也不可能為整數(shù)。

對(duì)定理3的證明：

偶數(shù)Q，若為22G(G為奇數(shù))，

我們可將其統(tǒng)括為兩數(shù)的相乘，2j×2f (j, f為奇數(shù))的樣式。

若2j>2f

設(shè)：c+b=2j, c-b=2f 則：

       2c=2j+2f,  

則：c=(j+f),  b=j-f

則：22G=(j+f)2-(j-f)2

若2j<2f 

設(shè)c+b=2f, c-b=2j 

我們同理可證：

22G=(f+j)2-(f-j)2

偶數(shù)Q，若為2?G(G為奇數(shù),n為>2正整數(shù))，

我們可將其統(tǒng)括為兩數(shù)的相乘，2???1?j×2f (j, f為奇數(shù))的樣式。

若2???1?j>2f

設(shè)：c+b=2???1?j, c-b=2f 則：

       2c=2???1 ?j+2f,  

則：c=(2???2 ?j+f),  b=(2???2 ?j-f),

則：

2?G=(2???2 ?j+f)2?(2???2 ?j-f)2

若2???1?j<2f

設(shè)：c+b=2f ,  c-b=2???1?j

我們同理可證：

2?G=(f+2???2 ?j)2?(f-2???2 ?j)2

對(duì)定理4的證明：

凡奇數(shù)G，都可寫成2m-1形式，

依據(jù)平方差定理1的引伸定理

N2-(N-1)2=N+(N-1)

則2m-1=m2-(m-1)2，若m內(nèi)含abcd…n因子，則m-1內(nèi)不可能含abcd…n因子，故m與m-1互質(zhì)。

凡偶數(shù)2?G(n為>2正整數(shù)),都可寫成2???1?G×2 形式

設(shè)c+b=2???1?G,   c-b=2  

則：c=2???2?G+1  b=2???2?G-1

則 ：2???1?G×2 =

[2???2?G+1]2-[2???2?G-1]2  

由于：

 c=(2??2G-1)+2 ，

b=2??2G-1  

c和b為相差僅為2的奇數(shù)，c和b不僅都不含有2??2G內(nèi)含的因子

，并且也不會(huì)共有>1的其它因子，故c與b互質(zhì)！

由上面所述的平方差定理，我們可推演得出并證明這一極重要的結(jié)論：

一個(gè)方程兩邊各項(xiàng)均為整數(shù)方次的多項(xiàng)式方程，若要有正整數(shù)解，必須可轉(zhuǎn)為：

A±B±C±D…+X2…±N=S2 (S2為純粹平方數(shù)， A, B，C，D……N 其中至少有一項(xiàng)為+X2),才可能有正整數(shù)解。

    而進(jìn)一步確立除+X2項(xiàng)外，方程左邊奇數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)也為奇數(shù)，則一定會(huì)有正整數(shù)解！

由上面的討論，我們更完滿地得出判斷一個(gè)各項(xiàng)均為整數(shù)的二元多項(xiàng)式的和，是否=S?的具有普遍必然性的認(rèn)知判定： 

判定1：一個(gè)整數(shù)S，其為自乘積S?，先從內(nèi)部分離為最單純基本兩個(gè)整數(shù)元加減而進(jìn)行的“解構(gòu)運(yùn)演”，可顯示出該整數(shù)在不同的方次上，其“結(jié)構(gòu)形態(tài)”的獨(dú)特乃至必然性特征。尤其是唯有如此的解構(gòu)運(yùn)演，才能必然確定地解構(gòu)出指數(shù)為>1整數(shù)并不含系數(shù)的X和Y兩單元項(xiàng)存在。 

判定2：若一展開的整數(shù)型二元多項(xiàng)式，未有指數(shù)為1的X和Y單元項(xiàng)，而有指數(shù)高于1不含系數(shù)的X和Y兩單元項(xiàng)，其和若要=S?(n為>3正整數(shù))，則除為(X+Y)(X-Y)展開的結(jié)構(gòu)形態(tài)X2-Y2或其特定變形式：S?=2yr+r2, S?=2xr-r2外, 必需具有相對(duì)應(yīng)的依“二項(xiàng)式定理”展開的結(jié)構(gòu)形態(tài)。 

判定3：若一展開的整數(shù) 型二元多項(xiàng)式，是具(X+Y)(X-Y)展開的結(jié)構(gòu)形態(tài)X2-Y2， 或其特定變形式2yr+r2, 2xr-r2, 則會(huì)有：Y2+S?=X2這獨(dú)有特征和意義的方程式，也有方程式s?=2yr+r2, s?=2xr-r2。 

判定4： 若一展開的整數(shù)型二元多項(xiàng)式，無有指數(shù)為1的X和Y單元項(xiàng)，而有指數(shù)高于1并不含系數(shù)的X和Y兩單元項(xiàng)，其既不具二項(xiàng)式展開的特定結(jié)構(gòu)形態(tài)，又未顯示為是(x+y)(x-y)的展開式X2-Y2以及其變形式2yr+r2, 2xr-r2，則其和只可能=S2。該二元多項(xiàng)式=S2還需有的必要條件是：建立起來的這一方程，經(jīng)過對(duì)稱轉(zhuǎn)換，其等式的一邊必能置換為(S+X)(S-X)或(S+Y)(S-Y)這兩個(gè)最單純基本的乘積形式。 

判定5：

由判定2.3.4可引伸得出：若一展開項(xiàng)數(shù)超過兩項(xiàng)的整數(shù)型二元多項(xiàng)式，其無有指數(shù)為1的X和Y單元項(xiàng)，有X?和Y?'(n和n'為>1正整數(shù))單元項(xiàng)，若n<n'則其和只可能=S?，若n>n'則其和只可能=S?'。 

一點(diǎn)總結(jié)思考：

關(guān)于數(shù)學(xué)代數(shù)方程是否有解的問題，表面來看是數(shù)量關(guān)系方面的問題，而更深層地來看，其實(shí)是數(shù)的“結(jié)構(gòu)關(guān)系”方面的問題。

所以，一些純粹是數(shù)的特殊“結(jié)構(gòu)關(guān)系”方面的問題，用“數(shù)量”關(guān)系方面的“同一”或“不同一”等來考察，也許永遠(yuǎn)也不可能得到解決。

例如：a+b?=c?(a.b.c.x.y均為

正整數(shù))，當(dāng)b<c,問是否有解的問題。

    它表達(dá)的其實(shí)就是一個(gè)數(shù)的“結(jié)構(gòu)關(guān)系”方面的問題，而非是一個(gè)數(shù)的“數(shù)量關(guān)系”方面的問題！

我們只需變換下該方程：

a+b?=c? 即：a=c? - b? 便知有解，只需選定適當(dāng)?shù)膞和y值。因?yàn)閺臄?shù)“結(jié)構(gòu)特征”的運(yùn)演關(guān)系來看，整數(shù)減去整數(shù)必為整數(shù)。

而若想從數(shù)的“數(shù)量關(guān)系”方面的相等或不相等來考察，我們不會(huì)得到答案：

我們?nèi)粲梅醋C法：先假設(shè) a+b?≠c?

 有a≠c?-b?，從數(shù)的“結(jié)構(gòu)特征”運(yùn)演關(guān)系分析，我們知道c?-b?的結(jié)果必為整數(shù)，而a是一整數(shù), 所以a≠c?-b?為錯(cuò)誤！也即a+b?≠c?將導(dǎo)出矛盾。

而我們無論怎樣將a+b?≠c?從數(shù)量關(guān)系方面來分析拆騰，例如a+b?-c?≠0,或1≠(c?-b?)/a,都不可能導(dǎo)出矛盾！因?yàn)閍是一不定的整數(shù)。

所以：在問a?+b?=c?(a.b.c為正整數(shù)，x.y.z為>1正整數(shù))之類方程是否有解的問題，如“費(fèi)馬大定理”、“比爾猜想”問題時(shí)，

我們應(yīng)首先思考：這些問題是否純粹是數(shù)的特殊“結(jié)構(gòu)特征”間關(guān)系的問題，所以要從數(shù)的“結(jié)構(gòu)特征”間關(guān)系所具的性質(zhì)這方面來考察，問題才能得到圓滿解決。而若想從數(shù)的“數(shù)量關(guān)系”方面來考察，問題也許將永遠(yuǎn)無從得到解決。

   幾百年來，“費(fèi)馬大定理”之所以一直未得到證明，是否就是這一原因？？而說英國數(shù)學(xué)家懷爾斯是用了解析“橢圓方程曲線”以及“模函數(shù)”方面的方法工具才很曲折往復(fù)地證明了“費(fèi)馬大定理”，不也是隱晦地求助了數(shù)的“結(jié)構(gòu)特征”關(guān)系方面的性質(zhì)考察嗎？

其實(shí)，何必那么曲折往復(fù)呢？？

  對(duì)自然數(shù)在“代數(shù)的建構(gòu)與解構(gòu)”中所表現(xiàn)出的“代數(shù)結(jié)構(gòu)特征”及相互的關(guān)系和性質(zhì)進(jìn)行深入考察，就能使問題得到解決。

而這正是在該文中，我做的工作。