典型例題分析1：

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC相交于點D，E，BD=CD，過點D作⊙O的切線交邊AC于點F．

（1）求證：DF⊥AC；

（2）若⊙O的半徑為5，∠CDF=30°，求弧BD的長（結果保留π）．

考點分析：

切線的性質；弧長的計算．

題干分析：

（1）連接OD，由切線的性質即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=OB可得出OD是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質即可得出，根據(jù)平行線的性質即可得出∠CFD=∠ODF=90°，從而證出DF⊥AC；

（2）由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB=60°，再結合OB=OD可得出△OBD是等邊三角形，根據(jù)弧長公式即可得出結論．

典型例題分析2：

如圖，點D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．（1）判斷直線CD和⊙O的位置關系，并說明理由．

（2）過點B作⊙O的切線BE交直線CD于點E，若AC=2，⊙O的半徑是3，求∠BEC的正切值．

考點分析：

切線的性質；直線與圓的位置關系；解直角三角形；綜合題．

題干分析：

（1）連接OD，證明OD⊥CE，所以需證明∠CDA+∠ODA=90°；

（2）根據(jù)已知條件在Rt△CDO中，由勾股定理求得：CD=4，又CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，由切線長定理得DE=EB，設DE=EB=x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，則（a+x）2=x2+（5+3）2，解得：x=6，即BE=6，然后由正切函數(shù)的定義解得∠BEC的正切值．

解題反思：

本題考查了切線的性質、直線與圓的位置關系、解直角三角形，解題的關鍵是①掌握直線與圓的三種位置關系及其判定方法，②掌握圓的切線的性質及勾股定理的應用、正切函數(shù)的定義．

典型例題分析3：

如圖，△ABC中，E是AC上一點，且AE=AB，∠EBC=∠BAC/2，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，交EB于點F．

（1）求證：BC與⊙O相切；

（2）若AB=8，sin∠EBC=1/4，求AC的長．

考點分析：

切線的判定；相似三角形的判定與性質．

題干分析：

（1）首先連接AF，由AB為直徑，根據(jù)圓周角定理，可得∠AFB=90°，又由AE=AB，∠EBC=∠BAC/2，根據(jù)等腰三角形的性質，可得∠BAF=∠EBC，繼而證得BC與⊙O相切；

（2）首先過E作EG⊥BC于點G，由三角函數(shù)的性質，可求得BF的長，易證得△CEG∽△CAB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．

解題反思：

此題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質、圓周角定理、等腰三角形的性質以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．