典型例題分析1：

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點D，交AB于點E，過點D作DF⊥AB，垂足為F，連接DE．

（1）求證：直線DF與⊙O相切；

（2）求證：BF=EF；

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵OC=OD，

∴∠ODC=∠C，

∴∠ODC=∠B，

∴OD∥AB，

∵DF⊥AB，

∴DF⊥OD，

∴直線DF與⊙O相切；

（2）連接AD．

∵AC是⊙O的直徑，

∴AD⊥BC，又AB=AC，

∴BD=DC，∠BAD=∠CAD，

∴DE=DC，

∴DE=DB，又DF⊥AB，

∴BF=EF．

典型例題分析2：

已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一點O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交AC于點D，交AB于點E．

（1）求證：AC·AD=AB·AE；

（2）如果BD是⊙O的切線，D是切點，E是OB的中點，當(dāng)BC=2時，求AC的長．

∵AE是直徑，

∴∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠ABC，

∵∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，

∴AD/AB=AE/AC，

∴AC·AD=AB·AE；

（2）解：連接OD，

∵BD是⊙O的切線，

∴OD⊥BD，

在RT△OBD中，OE=BE=OD，

∴OB=2OD，

∴∠OBD=30°，

同理∠BAC=30°，

在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．

考點分析：

切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．

題干分析：

（1）連接DE，根據(jù)圓周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，進(jìn)而證得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)論；

（2）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)求得OD⊥BD，在RT△OBD中，根據(jù)已知求得∠OBD=30°，進(jìn)而求得∠BAC=30°，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)即可求得AC的長．

典型例題分析3：

如圖，⊙O與直線l相離，OA⊥l于點A，OA交⊙O于點C，過點A作⊙O的切線AB，切點為B，連接BC交直線l于點D

（1）求證：AB=AD；

（2）若tan∠OCB=2，⊙O的半徑為3，求BD的長．

考點分析：

切線的性質(zhì)；解直角三角形．

題干分析：

（1）連接OB，利用切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)證明∠ADB=∠ABD，利用等角對等邊證得；

（2）設(shè)AC=a，則AB=AD=2a，在Rt△AOB中利用勾股定理即可列方程求得a的值，進(jìn)而求得BD的長．