1.“數(shù)學欣賞”教學研究的現(xiàn)狀

       在數(shù)學教學中進行“數(shù)學欣賞”的已有研究成果具有以下特點：

（1）研究大多集中于欣賞數(shù)學的外在美感，較少欣賞數(shù)學的內(nèi)在邏輯和理性精神。

（2）欣賞的具體案例大多集中于數(shù)學發(fā)展史上的經(jīng)典模型、趣味問題等，較少針對高中數(shù)學教學內(nèi)容進行提煉、欣賞。

（3）研究內(nèi)容大多是在日常課堂教學中滲透“數(shù)學欣賞”，專門研究“數(shù)學欣賞”校本課程開發(fā)的成果不多。

總體而言，在課堂教學中對高中數(shù)學進行欣賞的相關(guān)研究，目前還處于初步探索階段。

2．基于核心概念的數(shù)學欣賞的基本認識

2.1  核心概念

在一個概念體系中，有些概念處于核心位置，其他概念或由它生成，或與它有密切的聯(lián)系，我們稱這些概念為核心概念。由核心概念生長出來的概念稱為子概念。把握住數(shù)學的核心概念（包括重要的子概念），就抓住了數(shù)學知識的根本，掌握了知識增長的源泉。概念教學的核心是“概括”，而“數(shù)學能力就是以數(shù)學概括為基礎的能力”，核心概念的概括和梳理對發(fā)展學生的數(shù)學能力具有重要的作用。鑒于數(shù)學核心概念在增長數(shù)學知識、發(fā)展數(shù)學能力上的中心地位，筆者在數(shù)學欣賞課堂教學中，堅持每個課例都緊緊圍繞某個核心概念（或重要的子概念），數(shù)學欣賞也就成了欣賞數(shù)學概念。

2.2  內(nèi)容選擇

首先，對于構(gòu)造性強、思維跨度大、方法創(chuàng)新程度高的教學內(nèi)容，可以讓學生欣賞數(shù)學的探索發(fā)現(xiàn)的過程，通過概念發(fā)生發(fā)展歷史中的關(guān)鍵節(jié)點，了解數(shù)學概念經(jīng)歷的由“火熱的思考”到“冰冷的美麗”的演變過程，促進學生的數(shù)學理解，發(fā)展數(shù)學能力。比如，在“欣賞對數(shù)”中可以介紹對數(shù)發(fā)展史的關(guān)鍵節(jié)點[8]。

其次，數(shù)學欣賞要引導學生學會數(shù)學地思考問題，充分挖掘數(shù)學的內(nèi)在力量。一方面是對選取的概念進行系統(tǒng)的剖析（內(nèi)涵、外延、各種表征），一方面是選取與概念對應的“好題”，通過解題幫助領悟核心概念所蘊含的數(shù)學思想方法。

最后，如何看待中國傳統(tǒng)文化的現(xiàn)實意義，是當前的一個理論熱點。我國當前基礎教育階段的數(shù)學課程，并非中國古代數(shù)學的延伸，而是全盤從西方引入的。因此，將西方數(shù)學與中華文明進行適度整合，從中華文化的角度來詮釋西方數(shù)學，是一項值得思考的課題。比如，在“欣賞無限”中，筆者列舉了與數(shù)學中研究“無限”的方法有意境相通之處的若干名句。

2.3  結(jié)構(gòu)化教學

我們討論的數(shù)學欣賞，都是把學習過的教學素材按照研究的主題集中在一起讓學生重新欣賞，為了在這種復習中提升對相關(guān)主題的認識層次，避免簡單地炒冷飯，就需要對選擇的教學素材進行適當?shù)慕M織。筆者在數(shù)學欣賞課堂上，都是按照結(jié)構(gòu)化教學的原則來組織欣賞素材。

每節(jié)課都圍繞一個中心論題（核心概念或重要子概念）展開教學，經(jīng)歷“從表面到本質(zhì)——理解概念的內(nèi)涵與外延”“從抽象到具體——對概念的不同表現(xiàn)形式的具體把握”“從孤立到系統(tǒng)——對概念之間的關(guān)系、聯(lián)系的認識，將概念組織為具有層次性、立體化的結(jié)構(gòu)體系”的過程，精心組織相關(guān)的數(shù)學素材，使相應的核心概念（及其反映的重要思想）成為一個有機整體，使學生形成邏輯關(guān)系清晰、聯(lián)系緊密的概念序列，從而形成功能強大的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，切實發(fā)展數(shù)學能力，提高數(shù)學素養(yǎng)。比如，在“欣賞角”中，通過對空間中“線面角”“面面角”的兩種理解(可以看成是“線線角”的最值、通過平面的法線可以轉(zhuǎn)化為“線線角”)來闡述角概念的內(nèi)涵，通過“有向角”來說明角概念的外延，通過直線的傾斜角與斜率的關(guān)系、向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系來認識角概念的多元表征。

2.4  校本教材

在數(shù)學欣賞校本教材的編寫上，主要是以專題案例的形式進行組織。數(shù)學學科獨特的結(jié)構(gòu)性決定了難以就單一知識點開發(fā)出豐富的數(shù)學欣賞的素材，而需要整合知識內(nèi)容，將零散的學習內(nèi)容集中起來進行專題開發(fā)，放大某個數(shù)學本質(zhì)，凸顯某種數(shù)學價值。需要特別強調(diào)的是，校本教材中各專題緊緊圍繞高中數(shù)學教材中的核心內(nèi)容，大部分素材都取自教材、高考題等，只在數(shù)學發(fā)展史、人文意境等方面補充適當?shù)钠渌牧稀?/p>

在校本教材的課程體系建構(gòu)中，不要求知識的系統(tǒng)性，而在學生可接受的范圍內(nèi)以點帶面地體現(xiàn)數(shù)學的工具理性和價值理性，引導學生在領悟數(shù)學理性精神的前提下，感悟數(shù)學的人文意境?！陡咧袛?shù)學欣賞》校本教材的編寫，最重要的指向是挖掘隱藏在高中數(shù)學教材的概念、結(jié)論背后的數(shù)學思想方法，欣賞數(shù)學的理性精神。

 3. 高中數(shù)學欣賞選修課的教學實踐

3.1  課程開設時間

許多數(shù)學概念和數(shù)學思想，剛開始接觸時沒有辦法說透，真正的欣賞是在基本的理解和掌握的基礎上才會產(chǎn)生的。從這個意義上說，數(shù)學欣賞，是在基本理解的基礎上做進一步的深入理解。所以，數(shù)學欣賞選修課應在大部分高中數(shù)學內(nèi)容已經(jīng)學完的條件下開設，考慮到一線教學的實際，筆者決定在高二第二學期開設選修課，以一種全新的復習形式，挖掘教材中隱含的數(shù)學思想，促進學生對高中數(shù)學的理解。

3.2  課程案例開發(fā)

案例（專題）的開發(fā)是設計數(shù)學欣賞的根本。筆者梳理了上海高中數(shù)學教材中的所有內(nèi)容（主要是代數(shù)和幾何），選取了背后蘊藏著豐富的數(shù)學思想方法和數(shù)學欣賞素材的若干概念，依次開發(fā)了數(shù)學欣賞十二講。涉及高二第二學期知識點的內(nèi)容盡量放在課程的后面幾講，大致配合日常必修課教學的進度。

3.3 學生學習評價

因為不同的學生處于不同的欣賞層次，所以需要對學生在數(shù)學欣賞選修課上的學習進行開放的評價，重點體現(xiàn)在考核方式上。筆者要求學生在學期末交一份作業(yè)（任選一種形式）：寫一篇數(shù)學欣賞的小文（可以是讀書筆記、上課感受等）、編一道值得欣賞的數(shù)學題（可以是改編做過的一道好題）、做一個數(shù)學小課題（可以是通過數(shù)學建模解決實際問題）。

4. 高中數(shù)學欣賞課程的教學思考

4.1  數(shù)學欣賞與數(shù)學能力、數(shù)學素養(yǎng)

        數(shù)學欣賞教學立足于核心概念（或重要子概念），通過結(jié)構(gòu)化教學，整合體現(xiàn)數(shù)學思想方法的素材，幫助學生構(gòu)建結(jié)構(gòu)功能良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。而學生良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是具有開闊視野、靈活思維并善于多角度思考問題的前提，是學生數(shù)學能力強、數(shù)學素養(yǎng)高的重要表現(xiàn)和保證。通過數(shù)學欣賞課程的學習，可以讓學生體會數(shù)學的科學價值、應用價值、人文價值、美學價值，激發(fā)對于數(shù)學創(chuàng)新原動力的認識，受到優(yōu)秀文化的熏陶，進而提高數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模等數(shù)學素養(yǎng)。

4.2  數(shù)學欣賞與教師專業(yè)發(fā)展

        數(shù)學欣賞的前提是對數(shù)學知識必須有一個真正的認識，融會貫通之后，才能在一定層次上進行欣賞。開展數(shù)學欣賞教學，對教師的專業(yè)素養(yǎng)提出了更高的要求，除了具有豐富的數(shù)學教學經(jīng)驗和扎實的數(shù)學功底外，還應具備一定的文史功底(包括數(shù)學史)，惟有教師多讀多思多悟，才能在案例開發(fā)時對貼切的素材信手拈來，在課堂教學中能游刃有余。尤其需要指出的是，數(shù)學欣賞的教學素材，課本中沒有現(xiàn)成的設計，現(xiàn)有文獻成果雖然可以提供部分借鑒，但立足于高中數(shù)學內(nèi)容的優(yōu)秀案例仍需要研究者通過學習和鉆研，自己去發(fā)現(xiàn)和提煉，這需要教師對數(shù)學的獨到理解，也需要教師教學智慧的迸發(fā)，更需要教師教學經(jīng)驗的積淀。在數(shù)學欣賞案例開發(fā)中，做到“于無聲處聽驚雷，于無色處見繁花”，對教師的數(shù)學素養(yǎng)和教學業(yè)務功底提出了極大的挑戰(zhàn)。

        筆者一邊學習張奠宙先生的有關(guān)數(shù)學欣賞的理論論述，一邊積極開發(fā)一些選修課的教學案例、課例，嘗試如何將“數(shù)學欣賞”落實到校本選修課中，幫助學生深入理解數(shù)學、提高數(shù)學素養(yǎng)。希望有更多的老師加入到數(shù)學欣賞的教學實踐中來，并在教學實踐的基礎上進行理論構(gòu)建上的思考，從實踐到理論，開展一些實證研究工作。

*本文是上海市青年教師教育教學研究課題“高中‘數(shù)學欣賞’校本課程的開發(fā)研究”（Y2015A13S122V2075）的階段性成果.

1.   章建躍.數(shù)學課程改革與教師專業(yè)化發(fā)展[J].中學數(shù)學教學參考(上旬)，2007（12）：3-7

2.   張奠宙，柴俊.欣賞數(shù)學的真善美[J].中學數(shù)學教學參考（上旬），2010（1-2）：3-7

3.   張奠宙.談課堂教學中如何進行數(shù)學欣賞[J].中學數(shù)學月刊，2010（10）：1-2

4.   張奠宙.數(shù)學欣賞：一片等待開發(fā)的沃土[J].中學數(shù)學教學參考(上旬)，2014（1-2）：3-6

5.   李邦河.數(shù)的概念的發(fā)展[J].數(shù)學通報，2009（8）：1-3,9

6.   邵光華，章建躍.數(shù)學概念的分類、特征及其教學探討[J].課程﹒教材﹒教法，2009（7）:47-51

7.   林崇德. 我的心理學觀[M].北京：商務印書館，2008:401

8.   任念兵.基于核心概念的高中“數(shù)學欣賞”教學三探[J].教育研究與評論（中學教育教學），2017（8）：26-30

9.   任念兵，汪健.基于核心概念的高中“數(shù)學欣賞”教學初探[J].教育研究與評論（中學教育教學版），2016（7）：28-32

10.  章建躍. 數(shù)學課堂教學設計研究[J].數(shù)學通報，2006（7）:20-26

11.  任念兵，汪健.再議在高三復習課上“玩概念”[J].數(shù)學通報，2016（4）：7-11

12.  張奠宙.萬變不離其宗——數(shù)學欣賞：欣賞數(shù)學中的不變量與不變性質(zhì)[J].高中數(shù)學教與學，2012（1）：1-3

13.  任念兵，汪健.立足教材理解數(shù)學優(yōu)化教學[J].數(shù)學通報，2016（8）：21-25

14.  章建躍等.美國高中數(shù)學核心概念圖[J].課程﹒教材﹒教法，2013（11）:115-121

15.  任念兵.基于核心概念的高中“數(shù)學欣賞”教學再探[J].教育研究與評論（中學教育教學），2016（12）:27-31