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黃金分割及應(yīng)用 李新英 摘 要:黃金分割比在未發(fā)現(xiàn)之前～在客觀世界中就存在的～只是當(dāng)人們揭示了這一奧秘之后～才對(duì)它有了明確的認(rèn)識(shí)。當(dāng)人們根據(jù)這個(gè)法則再來觀察自然界時(shí)～就驚奇的發(fā)現(xiàn)原來在自然界的許多優(yōu)美的事物中的能看到它～如植物的葉片、花朵～雪花～五角星??許多動(dòng)物、昆蟲的身體結(jié)構(gòu)中～特別是人體中更是有著豐富的黃金比的關(guān)系。當(dāng)人們認(rèn)識(shí)了這一自然法則之后～就被廣泛地應(yīng)用于人類的生活之中。此后～在我們的生活環(huán)境中～就隨處可見了～如建處門窗、櫥柜、書桌,我們常接觸的書本、報(bào)紙、雜志,現(xiàn)代的電影銀幕。電視屏幕～以及許多家用器物都是近似這個(gè)數(shù)比關(guān)系構(gòu)成的。它特別表現(xiàn)藝術(shù)中～在美術(shù)史上曾經(jīng)把它作為經(jīng)典法則來應(yīng)用～許多藝術(shù)家自覺地被黃金分割的魅力所誘惑～從而使數(shù)學(xué)與藝術(shù)創(chuàng)作緊密的結(jié)合起來～創(chuàng)造了不少不朽的名著。 關(guān)鍵詞:黃金分割,藝術(shù)創(chuàng)作,斐波那契數(shù)列 1.引言 大千世界的萬事萬物都有其獨(dú)特的結(jié)構(gòu)形式，因而關(guān)于形體的結(jié)構(gòu)比例也是多種多樣的。人們最常見的一種和諧比例關(guān)系，就是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的“黃金分割”，又稱“黃金段”或“黃金律”。黃金分割指事物各部分間一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值是5^/2-1/2或二分之根號(hào)五減一，取其前三位數(shù)字的近似值是0.618。0.618被公認(rèn)為最具審美意義的比例數(shù)字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這是一個(gè)十分有趣的數(shù)字，我們以0.618來近似，通過簡(jiǎn)單的計(jì)算就可以發(fā)現(xiàn): 1/0.618=1.618 [1] (1-0.618)/0.618=0.618 這個(gè)數(shù)值的作用不僅僅體現(xiàn)在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術(shù)領(lǐng)域，而且在管理、工程設(shè)計(jì)等方面也有著不可忽視的作用。黃金分割〔Golden Section〕是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系。黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值。 1/17頁 洛陽師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 其無窮魅力再許多偉大的作品中都有體現(xiàn)。 2. 神奇美妙的黃金分割 2.1黃金分割的起源與數(shù)學(xué)證明 公元前4世紀(jì)，古希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家歐多克斯，他曾研究過大量的比例問題，提出“中外比”。雖然最先系統(tǒng)研究黃金分割的是歐多克斯，但是，現(xiàn)在人一般認(rèn)為，黃金分割是由公元前6世紀(jì)的畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的。用C點(diǎn)分割木棒AB，整段AB與長(zhǎng)段CB之比，等于長(zhǎng)段CB與短段AC之比。 畢達(dá)哥拉斯還發(fā)現(xiàn)，把較短的一段放在較長(zhǎng)的一段上面，也產(chǎn)生同樣的比例，這一規(guī)律可以重復(fù)下去。 b經(jīng)計(jì)算得出結(jié)淪:長(zhǎng)段(CB)與短段(AB)之比為1:0.618，其比值為0.618。a 可用下面的等式表達(dá) bb := ( a +) : aa 即長(zhǎng)段長(zhǎng)度的平方又恰等于整個(gè)木棒與短段長(zhǎng)度的乘積，即 2bba= (+) a 在《幾何原本》一書中，歐幾里得將黃金分割做了系統(tǒng)的論述，這一神奇的比例關(guān)系，后來被古希臘著名哲學(xué)家、美學(xué)家柏拉圖譽(yù)為“黃金分割律”，簡(jiǎn)稱“黃金律”、“黃金比”。19世紀(jì)威尼斯數(shù)學(xué)家帕喬里將黃金分割律譽(yù)為“神賜的比例”。文藝復(fù)興時(shí)期，許多藝術(shù)大師把黃金分割與人們的審美聯(lián)系在一起。黃金分割更被廣泛的應(yīng)用于藝術(shù)創(chuàng)作之中。 黃金分割是古希臘人的重大發(fā)現(xiàn)，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)命題:已知一線段，試把它分成兩部分，使長(zhǎng)的一段為短的一段和原線段的比例中項(xiàng)。 axax例:設(shè)原線段常為，分成長(zhǎng)為一段長(zhǎng)為，那么短的一段長(zhǎng)為-。如圖  2，，x,aa,x則 1 2/17頁 洛陽師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 5,1解此方程得 x,a,0.618a2  于是得黃金分割的精確作圖 以上是分割點(diǎn)在原線段上的情況。如果分割點(diǎn)在已知線段的延長(zhǎng)線上， 222 ，，a,x,a,x,ax,a,0 于是得相應(yīng)的作圖  黃金分割在幾何學(xué)上，成為分已知線段為“中外比”。廣義上說 5,15，1,0.618,均是黃金分割數(shù)或者黃金分割。 ,1.61822 2.2黃金分割與裴波那數(shù)列 F,F,1裴波納奇數(shù)與黃金分割有何關(guān)系,數(shù)列存在這樣的遞推關(guān)系:，12 *,,FF,F，F(xiàn),n,N1,1,2,3,5,8,13,21,。前幾項(xiàng)為??則數(shù)列叫做斐波那契數(shù)列，簡(jiǎn)nn，nn，21 稱F-數(shù)列。它是13 世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家Fibonacci 在研究小兔問題時(shí)提出的。 裴波納奇數(shù)數(shù)列的遞推關(guān)系式: 2 3/17頁 洛陽師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 ,,aa1,12 ,，，a,a，aa,3,n和a是自然數(shù)n，2nn，1, 看下列比值: 112，，，，，， ,1,1,0.5,2,0.667,3123 835，，，，，，,0.6,4 ,0.625,5 ,0.6184,6 8513 132134，，，，，，,0.619,7 ,0.6176,8 ,0.6182,9 213455 顯然這些數(shù)越來越接近0.618.這表明裴波納奇數(shù)列中任意相鄰兩項(xiàng)(前項(xiàng)比后項(xiàng)) 都可用來近似地表示0.618.隨著項(xiàng)數(shù)的增加，這些比值與0.618的誤差越來越小。數(shù)學(xué) 嚴(yán)格論證如下: nn，，,,,,[2]，,1515,,,,,, 因?yàn)榕岵{奇數(shù)列的通項(xiàng) ，則,,an,,,,22,,,,,,，， nn，，,,,,11，51,5,,,,,,,,,,,22,,5,,,,an，，,limlimn，1n，1a，，n,,n,,n，1,,,,11，51,5,,,,,,,,,,,22,,5,,,,，， n,,1,5,,,,21,,,n，1n1，5,,,,1，55,15,11,5,,,,,，,,,,22221，5,,,,,,limlimn，1n，1n,,n,,,,,,1,51,5,,,,1,,,,,21，5,,,,1,n，1,,1，5,,,,2,, nn，1,,,,1,51,5,,,,,0,,0？limlim,,,,1，51，5n,,n,, ,,,, a5,1n？,,0.618lima2n,,n，1 3 4/17頁 洛陽師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 F4,,n另外，F(xiàn)-數(shù)列在分析方面有一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié):. 這使得黃金分割果lim,,n,,Fn，1 與F-數(shù)列的聯(lián)系更加緊密。因此，它們?cè)趹?yīng)用上也有很多共同之處，斐波那契數(shù)列和黃金分割法相似，他們的區(qū)別在于斐波那契數(shù)列每次的縮短率不是常數(shù)，而是由斐波那契數(shù)列決定的。 3 黃金分割法的應(yīng)用 1953 年，美國(guó)的弗基提出0.618 法獲得大量應(yīng)用, 特別是工程設(shè)計(jì)方面.20 世紀(jì)70 年代初，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚在應(yīng)用優(yōu)選法方面做出了杰出貢獻(xiàn)，使得黃金分割法在我國(guó)得以推廣，并取得了很大的成就，以下給出黃金分割法在生產(chǎn)生活及計(jì)算數(shù)學(xué) ,,4中的應(yīng)用實(shí)例。 3.1 黃金分割法的基本思想及優(yōu)選法 黃金分割法, 也叫0.618 法，是黃金分割在優(yōu)選法上應(yīng)用的一種方法,是優(yōu)化計(jì)算中的經(jīng)典算法，以算法簡(jiǎn)單、效果顯著而著稱，是許多優(yōu)化算法的基礎(chǔ)，它適用于一維區(qū)間的單峰函數(shù)，其基本思想是:依照“去壞留好”原則、對(duì)稱原則、以及等比收,,a,b 縮原則來逐步縮小搜索范圍。具體地說: *x設(shè)f是定義在區(qū)間的下單峰函數(shù)，有唯一的極小點(diǎn)間(即最優(yōu)點(diǎn))。在區(qū)間,,a,b 中取點(diǎn), ,,，，a,bx,a，0.618b,a，，x,a，0.382b,a21 如果? ，，，，， 則令 ，取區(qū)間 ,, a,xx,bfx，fx1112 如果? ，，，，，則令 ，取區(qū)間,,? b,xa,xfx,fx2212 ，，，，,,,,,,這樣，通過比較的大小,就可以將區(qū)間a,b縮短為區(qū)間x,b或a,x，fx,fx1212 因?yàn)樾碌膮^(qū)間內(nèi)包含了一個(gè)已經(jīng)計(jì)算過函數(shù)值的點(diǎn)，所以從其中找出一個(gè)試點(diǎn)，又可將這個(gè)新的區(qū)間再縮短一次，不斷地重復(fù)這個(gè)過程,直至最終的區(qū)間長(zhǎng)度縮短到滿足預(yù)先給定的精度為止。 目前，由于史文譜、劉迎曦等人的努力，用推廣的黃金分割法已經(jīng)能夠求解部分多 ,,3維區(qū)域上的函數(shù)的最優(yōu)解了(如例2)。 2例2:用黃金分割法和Fibonacci 法求函數(shù)，，在區(qū)間[-1，3]上的極小fx,x,x，2 點(diǎn)，要求最終區(qū)間長(zhǎng)不大于原始區(qū)間長(zhǎng)的0.08。 2，，,,3，1，0.08,0.32解:函數(shù)，，在區(qū)間[-1，3]上為下單峰函數(shù)，且 fx,x,x，2 |
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