大家好！我是陳金平，來(lái)自江蘇省鹽城市登瀛小學(xué)，是朱樂(lè)平名師工作站“一課研究”團(tuán)隊(duì)第六組成員。很高興能在“一課研究”微信平臺(tái)上與您相遇。

1. 聽(tīng)一聽(tīng)：教科書研究的基本方法

2. 讀一讀：“運(yùn)算律”課程難度的定量分析比較

3. 想一想：古典趣題
   

       以上內(nèi)容摘自《教科書研究方法與質(zhì)量保障研究》（孔凡哲  張恰等著，東北師范大學(xué)出版社，2015）該書的第二章教科書研究的常用方法。請(qǐng)大家繼續(xù)進(jìn)入下一環(huán)節(jié)，堅(jiān)持閱讀8分鐘。

      “運(yùn)算律”一直是我國(guó)義務(wù)教育階段小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是整數(shù)加法和乘法計(jì)算方法的推理依據(jù)，是繼續(xù)教學(xué)某些數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)?！斑\(yùn)算律”也是高度概括的運(yùn)算知識(shí)，是人們對(duì)大量的計(jì)算實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)所作的理論概括。

      基礎(chǔ)教育課程改革不僅變革了義務(wù)教育階段教學(xué)內(nèi)容，教科書編制體制也由原來(lái)的“一綱一本”過(guò)渡到現(xiàn)在的“一標(biāo)多本”。由于不同版本教科書的編寫者對(duì)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）理解有所不同，各版本教科書的“運(yùn)算律”課程難度會(huì)出現(xiàn)差異。筆者嘗試借助已建立的課程難度定量模型，以《課程標(biāo)準(zhǔn)》為參照系，選擇由人民教育出版社出版的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書（以下簡(jiǎn)稱人教版），北京師范大學(xué)出版社出版的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書（以下簡(jiǎn)稱北師大版），浙江教育出版社出版的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書（以下簡(jiǎn)稱浙教版）和江蘇教育出版社出版的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書（以下簡(jiǎn)稱蘇教版）作為比較對(duì)象，對(duì)“運(yùn)算律”的課程難度進(jìn)行定量比較分析，以反映各版本教科書之間的差異，為教師教學(xué)提供參考。

一、課程難度模型注釋。

      據(jù)孔凡哲等人的研究，影響課程難度的基本要素至少有三個(gè)：課程深度、課程廣度和課程時(shí)間。其中，課程深度泛指課程內(nèi)容所需要的思維的深度，這是一個(gè)非常難以量化的要素，涉及到概念和數(shù)學(xué)原理的抽象程度以及概念之間的關(guān)聯(lián)程度（徐利治、鄭毓信先生稱之為“數(shù)學(xué)抽象度”），還涉及到課程內(nèi)容的推理與運(yùn)算步驟；課程廣度是指課程內(nèi)容所涉及的范圍和領(lǐng)域的廣泛程度，可以用我們通常所說(shuō)的“知識(shí)點(diǎn)”的多少進(jìn)行量化；課程時(shí)間是指課程內(nèi)容的完成所需要的時(shí)間，可以用我們通常所說(shuō)的“課時(shí)”多少進(jìn)行量化。

      如果用N來(lái)表示課程難度，用S表示課程深度，用G表示課程廣度，用T表示課程時(shí)間，綜上所述，可以建立下面的函數(shù)關(guān)系式（1）：

      需要強(qiáng)調(diào)的是，在許多情況下，人們往往混淆了課程難度與課程深度這兩個(gè)不同的概念，認(rèn)為課程越深則課程就越難。因此，我們必須做這樣的假定：

      假定：我們所研究的課程內(nèi)容，只要有足夠的時(shí)間，絕大多數(shù)學(xué)生都是能夠理解的。這就意味著，課程難度與課程深度成正比，與課程時(shí)間成反比。同樣，課程難度與課程廣度成正比，與課程時(shí)間成反比。這樣，單位時(shí)間的課程深度和單位時(shí)間的課程廣度是刻畫課程難度很重要的量，我們分別稱之為“可比深度”和“可比廣度”。顯然，課程的“可比深度”和“可比廣度”都大，則這門課程就難。這啟發(fā)我們用“可比深度”和“可比廣度”的加權(quán)平均來(lái)刻畫課程難度，則（1）式為（2）式:

      其中，α滿足0＜α＜1 被稱為加權(quán)系數(shù)，反映了課程對(duì)于“可比深度”或者“可比廣度”的側(cè)重程度。為了方便起見(jiàn), 我們稱由（2）式定義的 N 為課程難度系數(shù)。

               N——課程難度，  S——課程深度，

               G——課程廣度，  T——課程時(shí)間，

           S/T  ——可比深度，G/T——可比廣度。

α——加權(quán)系數(shù)，它反映了課程對(duì)于可比深度與可比廣度的側(cè)重程度，本文α＝0.5，其含義表示可比深度與可比廣度的側(cè)重各占一半。

      對(duì)于同一門課程(或者相應(yīng)教材)的兩個(gè)不同版本A和B , 分別用N（A）和N（B）表示其課程難度系數(shù)，則N（A）＞N（B）說(shuō)明A 比B 更難, 難度系數(shù)的差越大, 則說(shuō)明難度的差別越大。

二、課程難度綜合比較。

      依據(jù)課程難度模型，對(duì)不同版本教材中“運(yùn)算律”課程難度的定量分析比較時(shí)，課程時(shí)間是指完成課程內(nèi)容所需要的時(shí)間，用各版本教材中建議“課時(shí)”的多少進(jìn)行量化。由于《課程標(biāo)準(zhǔn)》未規(guī)定課時(shí)，在統(tǒng)計(jì)時(shí)取四個(gè)版本的平均值。課程廣度是指課程內(nèi)容所涉及的范圍和領(lǐng)域的廣泛程度，用各版本教材中“知識(shí)點(diǎn)”的多少進(jìn)行量化。課程深度通過(guò)相應(yīng)課程目標(biāo)的不同要求程度的加權(quán)平均值來(lái)對(duì)其加以刻畫( 即知識(shí)技能目標(biāo)與過(guò)程性目標(biāo)的加權(quán)平均)。一般地，對(duì)于同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，要求越高，其所需要的思維就越深。在《課程標(biāo)準(zhǔn)》下，刻畫知識(shí)技能目標(biāo)的動(dòng)詞是“了解、理解、掌握、靈活運(yùn)用”，刻畫過(guò)程性目標(biāo)的動(dòng)詞是“經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索”，基于對(duì)課程深度量化的需要，需要對(duì)各個(gè)水平進(jìn)行賦值，以區(qū)分不同的課程深度值（見(jiàn)表1）。如《課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出: 探索并了解等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)，這里規(guī)定等腰梯形的性質(zhì)為1個(gè)知識(shí)點(diǎn)，其深度為（3＋1）÷2＝2，即取知識(shí)技能目標(biāo)和過(guò)程性目標(biāo)的加權(quán)平均。

      根據(jù)上述規(guī)定，筆者依次計(jì)算了人教版、北師大版、浙教版和蘇教版數(shù)學(xué)教科書和數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“運(yùn)算律”的課程難度。

      下面，我們進(jìn)行逐項(xiàng)分析，然后進(jìn)行統(tǒng)一比較。

      關(guān)于“運(yùn)算律”的課程時(shí)間。人教版在四年級(jí)下冊(cè)第三單元《運(yùn)算律》中安排了7課時(shí)，四年級(jí)下冊(cè)第六單元《小數(shù)的加法和減法》中安排了1課時(shí)，五年級(jí)上冊(cè)第一單元《小數(shù)乘法》中安排了1課時(shí)，五年級(jí)下冊(cè)第六單元《分?jǐn)?shù)的加法和減法》中安排了1課時(shí)，六年級(jí)上冊(cè)第一單元《分?jǐn)?shù)乘法》中安排了1課時(shí)，六年級(jí)下冊(cè)第六單元《整理和復(fù)習(xí)》中安排了1課時(shí)，共計(jì)12課時(shí)，其課程時(shí)間為T1＝12。

      北師大版在四年級(jí)上冊(cè)第四單元《運(yùn)算律》中安排了5課時(shí)，四年級(jí)下冊(cè)第三單元《小數(shù)乘法》中安排了1課時(shí)，五年級(jí)下冊(cè)第一單元《分?jǐn)?shù)加減法》中安排了1課時(shí)，六年級(jí)上冊(cè)第二單元《分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算》中安排了1課時(shí)，六年級(jí)下冊(cè)《總復(fù)習(xí)》中安排了1課時(shí)，共計(jì)9課時(shí)，其課程時(shí)間為T2＝9。

      浙教版在三年級(jí)上冊(cè)第一單元《花果山上學(xué)數(shù)學(xué)》中安排了4課時(shí)，三年級(jí)下冊(cè)第二單元《籃球場(chǎng)上的數(shù)學(xué)問(wèn)題》中安排了2課時(shí)，五年級(jí)上冊(cè)第一單元《小數(shù)的意義與加減法》中安排了1課時(shí)，五年級(jí)下冊(cè)第二單元《分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算》中安排了1課時(shí)，六年級(jí)下冊(cè)第五單元《整理與復(fù)習(xí)》中安排了2課時(shí)，共計(jì)10課時(shí)，其課程時(shí)間為T3＝10。

      蘇教版在四年級(jí)下冊(cè)第六單元《運(yùn)算律》中安排了11課時(shí)，五年級(jí)上冊(cè)第五單元《小數(shù)乘法和除法》中安排了2課時(shí)，六年級(jí)上冊(cè)第五單元《分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算》中安排了2課時(shí)，六年級(jí)下冊(cè)第六單元《總復(fù)習(xí)》中安排了2課時(shí)，共計(jì)15課時(shí)，其課程時(shí)間為T4＝15。

      從而確定《課程標(biāo)準(zhǔn)》中“運(yùn)算律”的課程時(shí)間為T5＝（12＋9＋10＋15）÷4＝11.5。

      關(guān)于“運(yùn)算律”的課程廣度。人教版相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識(shí)點(diǎn)”為：加法交換律，加法結(jié)合律，加法運(yùn)算定律的應(yīng)用，連減的簡(jiǎn)便運(yùn)算，乘法交換律，乘法結(jié)合律，乘法分配律，解決問(wèn)題策略多樣化，整數(shù)加法運(yùn)算定律推廣到小數(shù)，整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到小數(shù)，整數(shù)加法運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù)，整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù)。因而，其課程廣度可取為G1＝12。

       北師大教版相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識(shí)點(diǎn)”為：加法交換律和乘法交換律，加法結(jié)合律及其應(yīng)用，乘法結(jié)合律及其應(yīng)用，乘法分配律及其應(yīng)用，運(yùn)用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，整數(shù)運(yùn)算定律推廣到小數(shù)，整數(shù)加法運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù)，整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù)。因而，其課程廣度可取為G2＝8。

        浙教版相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識(shí)點(diǎn)”為：加法、乘法的交換律，加法、乘法的結(jié)合律、簡(jiǎn)便計(jì)算，乘法分配律，整數(shù)的運(yùn)算律對(duì)小數(shù)同樣適用，整數(shù)的運(yùn)算律對(duì)分?jǐn)?shù)同樣適用。因而，其課程廣度可取為G3＝6。

        蘇教版相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識(shí)點(diǎn)”為：加法交換律，加法結(jié)合律，加法運(yùn)算定律的應(yīng)用，運(yùn)用減法的性質(zhì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)便運(yùn)算，乘法交換律，乘法結(jié)合律，乘法分配律，乘法運(yùn)算定律的運(yùn)用，運(yùn)用除法的性質(zhì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)便運(yùn)算，相遇問(wèn)題，整數(shù)的運(yùn)算律對(duì)小數(shù)同樣適用，整數(shù)的運(yùn)算律對(duì)分?jǐn)?shù)同樣適用。因而，其課程廣度可取為G4＝12。

      《課程標(biāo)準(zhǔn)》相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識(shí)點(diǎn)”為：加法交換律，加法結(jié)合律，乘法交換律，乘法結(jié)合律，乘法對(duì)加法的分配率，運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行一些簡(jiǎn)便計(jì)算。因而，其課程廣度可取為G5＝6。

      關(guān)于“運(yùn)算律”的課程深度。人教版中的“運(yùn)算律”相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識(shí)點(diǎn)”對(duì)應(yīng)的課程深度值分別為：加法交換律 2，加法結(jié)合律 2，加法運(yùn)算定律的應(yīng)用 4，連減的簡(jiǎn)便運(yùn)算 4，乘法交換律 2，乘法結(jié)合律 2，乘法分配律 2，解決問(wèn)題策略多樣化 4，整數(shù)加法運(yùn)算定律推廣到小數(shù) 4，整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到小數(shù) 4，整數(shù)加法運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù) 4，整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù) 4。由此可見(jiàn)，人教版相應(yīng)課程內(nèi)容合計(jì)12個(gè)知識(shí)點(diǎn)，取課程深度系數(shù)為S1≈2.33。

      北師大版中的“運(yùn)算律”相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識(shí)點(diǎn)”對(duì)應(yīng)的課程深度值分別為：加法交換律和乘法交換律 2，加法結(jié)合律及其應(yīng)用 4，乘法結(jié)合律及其應(yīng)用 3，乘法分配律及其應(yīng)用 3，運(yùn)用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算 4，整數(shù)運(yùn)算定律推廣到小數(shù) 4，整數(shù)加法運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù) 4，整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù) 4。由此可見(jiàn)，蘇教版相應(yīng)課程內(nèi)容合計(jì)8個(gè)知識(shí)點(diǎn)，取課程深度系數(shù)為S2＝3。

      浙教版中的“運(yùn)算律”相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識(shí)點(diǎn)”對(duì)應(yīng)的課程深度值分別為：加法、乘法的交換律 2，加法、乘法的結(jié)合律 2，簡(jiǎn)便計(jì)算 4，乘法分配律 3，整數(shù)的運(yùn)算律對(duì)小數(shù)同樣適用 4，整數(shù)的運(yùn)算律對(duì)分?jǐn)?shù)同樣適用 4。由此可見(jiàn)，蘇教版相應(yīng)課程內(nèi)容合計(jì)6個(gè)知識(shí)點(diǎn)，取課程深度系數(shù)為S3≈3.17。

      蘇教版中的“運(yùn)算律”相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識(shí)點(diǎn)”對(duì)應(yīng)的課程深度值分別為：加法交換律 2，加法結(jié)合律 2，運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行一些簡(jiǎn)便計(jì)算 4，運(yùn)用減法的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算 4，乘法交換律 2，乘法結(jié)合律 2，乘法分配律 2，運(yùn)用乘法交換、結(jié)合律和分配率進(jìn)行一些簡(jiǎn)便計(jì)算 4，運(yùn)用除法的性質(zhì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)便計(jì)算 4，相遇問(wèn)題 4，整數(shù)的運(yùn)算律對(duì)小數(shù)同樣適用 4，整數(shù)的運(yùn)算律對(duì)分?jǐn)?shù)同樣適用 4。由此可見(jiàn)，蘇教版相應(yīng)課程內(nèi)容合計(jì)12個(gè)知識(shí)點(diǎn)，取課程深度系數(shù)為S4≈3.17。

      《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的“運(yùn)算律”相應(yīng)課程內(nèi)容的“知識(shí)點(diǎn)”對(duì)應(yīng)的課程深度值分別為：加法交換律 2，加法結(jié)合律 2，乘法交換律 2，乘法結(jié)合律 2，乘法對(duì)加法的分配率 2，運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行一些簡(jiǎn)便計(jì)算 4。由此可見(jiàn)，《課程標(biāo)準(zhǔn)》相應(yīng)課程內(nèi)容合計(jì)6個(gè)知識(shí)點(diǎn)，取課程深度系數(shù)為S5≈2.33。

關(guān)于“運(yùn)算律”的課程難度。根據(jù)下面的課程難度模型進(jìn)行計(jì)算。（取α的值為0.5）

      為了清晰、直觀地表示四個(gè)版本教材和《課程標(biāo)準(zhǔn)》相應(yīng)各項(xiàng)內(nèi)容的有關(guān)定量數(shù)據(jù)指標(biāo)，筆者采用表格的形式將其呈現(xiàn)出來(lái)（見(jiàn)表2）。

      通過(guò)對(duì)人教版、北師大版、浙教版和蘇教版四個(gè)版本教科書“運(yùn)算律”課程內(nèi)容在課程廣度、課程深度和課程難度三個(gè)維度與《課程標(biāo)準(zhǔn)》進(jìn)行的一致性分析，筆者得出以下結(jié)論：

      1.在人教版、北師大版、浙教版和蘇教版四個(gè)版本的教材中，“運(yùn)算律”的課程時(shí)間各不相同，分別為12課時(shí)、9課時(shí)、10課時(shí)和15課時(shí)，取平均值為11.5課時(shí)，即為《課程標(biāo)準(zhǔn)》的課時(shí)。人教版和蘇教版的課程時(shí)間相對(duì)比較多的原因是，人教版和蘇教版教材分別在“運(yùn)算律”單元安排了連減的簡(jiǎn)便運(yùn)算，解決問(wèn)題策略多樣化，相遇問(wèn)題等內(nèi)容的課程時(shí)間，重視應(yīng)用“運(yùn)算律”進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算和解決實(shí)際問(wèn)題。

      2.從具體知識(shí)點(diǎn)來(lái)看，四個(gè)版本教材中，北師大版和浙教版與《課程標(biāo)準(zhǔn)》的知識(shí)點(diǎn)更吻合，人教版和蘇教版的知識(shí)點(diǎn)更細(xì)碎一些。人教版、北師大版和蘇教版教材都是把“運(yùn)算律”的知識(shí)安排在四年級(jí)集中教學(xué)，然后再在小數(shù)運(yùn)算和分?jǐn)?shù)運(yùn)算教學(xué)中應(yīng)用整數(shù)“運(yùn)算律”，只有浙教版教材是把“運(yùn)算律”知識(shí)安排在三年級(jí)集中教學(xué)。

      3.四個(gè)版本教材中“運(yùn)算律”的課程時(shí)間和課程廣度是存在一定的差異的，但是這個(gè)差異卻沒(méi)有影響“運(yùn)算律”的課程深度。人教版、浙教版和蘇教版的課程深度均為S≈3.17，北師大版課程深度S＝3。不過(guò)，四個(gè)版本的課程深度都明顯高于《課程標(biāo)準(zhǔn)》的課程深度，這從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明，數(shù)學(xué)教材都是基于《課程標(biāo)準(zhǔn)》的，這是底線。

      4.經(jīng)過(guò)量化的課程難度呈現(xiàn)了四個(gè)不同版本教材存在的難度差異，以及四個(gè)不同版本教材與《課程標(biāo)準(zhǔn)》的難度差異的大小。義務(wù)教育階段的課程時(shí)間是固定的，某一門課程的授課時(shí)間也往往是固定的。無(wú)論是“窄而深”的課程設(shè)計(jì)模式還是“廣而淺”的課程設(shè)計(jì)模式，都會(huì)影響課程難度。因此，一個(gè)“好”的課程設(shè)計(jì)理念應(yīng)當(dāng)是：在控制課程難度的前提下，優(yōu)化課程深度與課程廣度。讓學(xué)生學(xué)得好，學(xué)得扎實(shí)，確保學(xué)生擁有自主學(xué)習(xí)的時(shí)間和空間，促使學(xué)生獲得全面、健康、和諧和可持續(xù)的發(fā)展，即“有所為、有所不為”。

      本文是筆者在學(xué)習(xí)課程難度模型后的一次初步嘗試，課程難度的量化結(jié)果，既會(huì)受到課程時(shí)間和課程廣度統(tǒng)計(jì)結(jié)果的影響，也會(huì)受到課程深度量化的準(zhǔn)確性的影響。同時(shí)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果對(duì)教師教學(xué)的啟示尚需要進(jìn)一步思考與探討。

      今有女子不善織，日減工遲。初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖。問(wèn)織幾何？