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 教學(xué)內(nèi)容：

人教版《義務(wù)教育教科書.數(shù)學(xué)》五年級下冊第33-34頁。

教學(xué)目標(biāo)：

       1.認(rèn)識循環(huán)小數(shù)，理解循環(huán)小數(shù)產(chǎn)生的原因，并能正確使用循環(huán)小數(shù)表示商。

       2.通過自學(xué)交流、計(jì)算驗(yàn)證等學(xué)習(xí)活動，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑探究，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：

       認(rèn)識循環(huán)小數(shù)，理解循環(huán)小數(shù)產(chǎn)生的原因。

教學(xué)難點(diǎn)：

       理解循環(huán)小數(shù)產(chǎn)生的原因。

       師：今天學(xué)習(xí)“循環(huán)小數(shù)”（板書：循環(huán)小數(shù)）。你知道循環(huán)小數(shù)長什么樣嗎？誰上來能寫1個循環(huán)小數(shù)。

       三位學(xué)生分別板書：

       5.666...、6.272727...、0.314314...

     【評析】學(xué)生生對于循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識并不是一張白紙，在信息時代孩子是有機(jī)會接觸到這些還未學(xué)習(xí)的知識的。于是，于老師直接揭題，讓孩子來寫一寫，暴露孩子的認(rèn)知，把握最真實(shí)的學(xué)情，以學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)展開教學(xué)。

    （1）自學(xué)驗(yàn)證，初步感知。

        師：它們是循環(huán)小數(shù)嗎？自學(xué)書本33-34頁，找找答案，了解循環(huán)小數(shù)的相關(guān)知識。

       學(xué)生3分鐘自學(xué)。

       師：這三個數(shù)是循環(huán)小數(shù)嗎？

       生齊：是的。

       師：為什么是？

       生1：因?yàn)樗鼈兒竺嬗袩o數(shù)個相同的數(shù)字。

       生2：因?yàn)楹竺鏀?shù)字是重復(fù)的。

     （2）認(rèn)識循環(huán)節(jié)，并會簡寫循環(huán)小數(shù)。

       師：重復(fù)的數(shù)字，有一個名稱叫？

       生齊：循環(huán)節(jié)。

       師：這三個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)分別是：

       生1：6、7、134

       師：這些循環(huán)小數(shù)，還可以怎么表示呢？

       生2: 5.6，6上面點(diǎn)一個點(diǎn)。

       師：5.666...這么多個6，你說的圓點(diǎn)，點(diǎn)在哪個 6上？

       生2：點(diǎn)在第一個6上。                                                 教師板書，讀作，五點(diǎn)六，六循環(huán)。

       師：6.2727...和0.134134...又是怎么表示呢？

       生齊：循環(huán)點(diǎn)，點(diǎn)在第一個2和7的上面，后面是點(diǎn)在第一個1和4上面。

        師：是的。只要點(diǎn)在第一個循環(huán)節(jié)的首尾數(shù)字上即可。

       教師分別板書簡寫。

       小結(jié)：像這樣一個數(shù)的小數(shù)部分，從某一位起，一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)就叫循環(huán)小數(shù)。

      【評析】學(xué)生通過自學(xué)的方式，驗(yàn)證循環(huán)小數(shù)，認(rèn)識循環(huán)節(jié)和簡便寫法。這樣的教學(xué)處理方式“短平快”，很有實(shí)效。教師將教材的知識編排順序進(jìn)行適時調(diào)整，將什么是循環(huán)小數(shù)、循環(huán)節(jié)和簡便寫法提前，既順應(yīng)學(xué)生的已有認(rèn)知，又為后續(xù)探究循環(huán)小數(shù)之源提供了基本知識保障，讓問題更聚焦。

       師：通過剛才自學(xué)，你還有什么收獲呢？

       生1：我還知道了小數(shù)有有限小數(shù)和無限小數(shù)。

       生2：我知道循環(huán)小數(shù)是無限小數(shù)。

       師：確實(shí)，因?yàn)檠h(huán)小數(shù)的小數(shù)部分有無數(shù)個重復(fù)的數(shù)字，因此它是無限小數(shù)，而像1.5這樣的小數(shù)就是有限小數(shù)。你還有其他什么收獲，或者疑問嗎？

       生3：我知道兩個數(shù)除一下，就可以得到循環(huán)小數(shù)。

        師：你是在關(guān)注循環(huán)小數(shù)怎么產(chǎn)生的？這真是一個巨大收獲，掌聲送給他。他說循環(huán)小數(shù)是兩數(shù)相除得到的。老師這里有一個算式，會不會產(chǎn)生循環(huán)小數(shù)呢？（板書：1.3÷3=）

      【評析】教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題：循環(huán)小數(shù)是怎么產(chǎn)生的？這是本節(jié)課的核心問題。學(xué)生通過教材例題的自學(xué)，不難發(fā)現(xiàn)：兩數(shù)相除可以得到循環(huán)小數(shù)。而這個發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)本課前是不清楚的，不清楚不理解的知識，才能激發(fā)學(xué)生探究的興趣，從而引發(fā)對核心問題“循環(huán)小數(shù)產(chǎn)生之緣由”的深入研究。

      （1）計(jì)算1.3÷3，理解“相除”可以得到循環(huán)小數(shù)。

       學(xué)生在練習(xí)紙上獨(dú)立計(jì)算，教師巡視尋找典型（循環(huán)節(jié)特別長、豎式商帶省略號）并板書黑板上。

        師：做好了嗎？請看黑板，這是同學(xué)的過程，商是循環(huán)小數(shù)嗎？（下圖1）

  生1：是循環(huán)小數(shù)，因?yàn)樯桃恢敝貜?fù)出現(xiàn)“3”。

        師：為什么商“3”會重復(fù)出現(xiàn)呢？請把你的想法與同桌說一說。

       學(xué)生思考，同桌交流想法，并匯報(bào)。

       生2：因?yàn)樨Q式中3×4=12，商4，13-12余1，添0，3×3=9，商3，又余1，再添0，3×3=9，商又是3，余數(shù)又是1。余數(shù)一直是1，添0，商也一直是3，永遠(yuǎn)寫不完。

       師：誰聽懂他的意思了？

       生3：意思是豎式計(jì)算過程中總數(shù)“余1”，添0后繼續(xù)往下除，商一直是3。

       師：你能上來指著板書豎式，來說說你的理解。

       學(xué)生上臺指著板書，解釋商循環(huán)的原因。

      師：我們一起來看豎式。三四十二，余1，添0，對應(yīng)商3，三三得九，余1，添0，對應(yīng)的商又是3，繼續(xù)往下算三三得九，余1，添0，對應(yīng)商還是3。原來是由于余數(shù)1的依次不斷重復(fù)出現(xiàn)（板書：依次不斷重復(fù)），使得商出現(xiàn)了循環(huán)小數(shù)。（教師邊小結(jié)，邊完善下圖（1）中的板書。）

       師：溫馨提示：在數(shù)學(xué)中，除法豎式除到哪一位，豎式中的商就寫到哪一位。很多同學(xué)豎式商寫了省略號，這是典型錯誤，此處省略號不用寫。（擦掉原先豎式商的省略號）。省略號在橫式中要表示出來，板書橫式中的商：0.4333…，也可以簡寫。

      【評析】簡單的一題計(jì)算，讓我們看到了于老師在本環(huán)節(jié)想要達(dá)成的目標(biāo)：1.確定兩個數(shù)相除是可以產(chǎn)生循環(huán)小數(shù)的，找到了循環(huán)小數(shù)之源；2.理解為什么商“3”重復(fù)出現(xiàn)，是由于“余數(shù)1”的依次不斷重復(fù)出現(xiàn)引起的，理解了循環(huán)小數(shù)之理。通過師生交流、多位學(xué)生解釋、上臺板演等活動，引導(dǎo)學(xué)生聚焦關(guān)注除法豎式計(jì)算過程，發(fā)現(xiàn)余數(shù)與商之間的關(guān)系。

      （2）計(jì)算86÷11，理解“余數(shù)第二次重復(fù)出現(xiàn)”可以確定循環(huán)小數(shù)。

        師：原來兩個數(shù)相除真的可以產(chǎn)生循環(huán)小數(shù)，我們一起再來試一試，板書：86÷11。

       學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，教師尋找豎式“寫得很短的”案例，并板書于黑板上。

        師：計(jì)算好了嗎？答案是多少？  

        生齊說答案，教師板書橫式答案。

        師：這里有一位學(xué)生是這樣做的（下圖2）。仔細(xì)觀察，你看得懂嗎？他的計(jì)算過程產(chǎn)生循環(huán)小數(shù)了嗎？

        生1：沒有產(chǎn)生，因?yàn)樯态F(xiàn)在是81，你怎么知道接下來一定是81重復(fù)呢，可能是812812重復(fù)都有可能，我覺得算到這里還不能判斷。

       生2：我也認(rèn)為是不對的。循環(huán)小數(shù)要商不斷重復(fù)出現(xiàn)，現(xiàn)在還沒有重復(fù)出現(xiàn)。

       生3：我有不同意見。我覺得可以判斷商一定是循環(huán)小數(shù)了，因?yàn)槟憧船F(xiàn)在余數(shù)是9，那么添0 ，往下算的話，商就是8，再算商就是1，它就是81循環(huán)。

        師：爭論不清。那想象一下，如果繼續(xù)往下算，會怎么樣呢？

        學(xué)生說計(jì)算過程，教師板書豎式。下圖3（形成右圖豎式，注：此時還未有線框）

        師：現(xiàn)在你們有什么發(fā)現(xiàn)？

        生：下面算的過程和之前的是一樣的，不斷重復(fù)了。          

        師：什么地方是一樣的，上來指一指。

        學(xué)生上臺指相同過程。

        師：他的意思是：（框）第二步過程和原有的第一步是一樣的，這一步對應(yīng)的商是81。那沒有算完的這一步（框最后的余數(shù)9）對應(yīng)的商是：81（上圖3）

        小結(jié)：因此，這位同學(xué)只算到余數(shù)9第二次重復(fù)出現(xiàn)，就判斷循環(huán)節(jié)是81，是一個循環(huán)小數(shù)是可行的。因?yàn)?，余?shù)相同，計(jì)算下一步就會重復(fù)上一步過程，也就產(chǎn)生相同的商。

       【評析】為什么余數(shù)第二次重復(fù)出現(xiàn)，就能判斷商是循環(huán)小數(shù)呢？這是一個有挑戰(zhàn)性的問題。教師在展示“短”作品后，充分讓學(xué)生思辨，有學(xué)生贊同，有不贊同，在生生交流過程中，使得問題的結(jié)果越來越清晰，充分展現(xiàn)學(xué)生質(zhì)疑探究能力。引導(dǎo)學(xué)生先想象，再多算幾位，最后發(fā)現(xiàn)：計(jì)算步驟依次不斷重復(fù)出現(xiàn)。巧妙的“框”相同計(jì)算過程，并且最后一個框還是不完整的，進(jìn)一步讓學(xué)生理解其實(shí)每個框是一樣的，計(jì)算都能產(chǎn)生相同的商：81，也就是循環(huán)節(jié)就是81。

      （3）計(jì)算41÷37，誰能最快找到循環(huán)節(jié)。

        師：下面我們進(jìn)行一場比賽，規(guī)則是：誰能最快找到41÷37商的循環(huán)節(jié)。

       學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，教師巡視尋找較快完成的同學(xué)。

        師：找到循環(huán)節(jié)了嗎？是多少？

        生：找到了，循環(huán)節(jié)是108。

        師：（投影學(xué)生作品：短的）這是很快找到循環(huán)節(jié)的同學(xué)，仔細(xì)觀察，你和他過程一樣的舉手。

       師：順便檢查一下，108循環(huán)，你的循環(huán)點(diǎn)點(diǎn)對了嗎？

       學(xué)生互相檢查商有沒有正確表示。

        師：通過剛才3次的計(jì)算，你對循環(huán)小數(shù)，有了什么更深的認(rèn)識？

       生1：我知道循環(huán)小數(shù)是兩個數(shù)除出來的。

       生2：我知道是因?yàn)橛鄶?shù)依次不斷重復(fù)出現(xiàn)相同的數(shù)字，所以商也不斷重復(fù)。

       生3：我還理解了余數(shù)只要第二次重復(fù)出現(xiàn)，就可以判斷是循環(huán)小數(shù)了，不用計(jì)算很多位。

      【評析】采用比誰最快找到循環(huán)節(jié)的教學(xué)方式，使得一堂計(jì)算教學(xué)課到后半段，還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)和引領(lǐng)學(xué)生去關(guān)注豎式過程有無出現(xiàn)相同余數(shù)，就能判斷是循環(huán)小數(shù)，鞏固第2題的教學(xué)成果，使學(xué)生對于循環(huán)小數(shù)的產(chǎn)生原因有了更深刻的認(rèn)識和理解。

  1.比大小。

      學(xué)生仔細(xì)觀察，比一比，并說明理由。

       2.確定循環(huán)節(jié)。

        師：昨天老師也做了一道題目，課件出示：1.5÷7，計(jì)算過程課件會慢慢呈現(xiàn)，如果你

確定循環(huán)節(jié)了，就可以勇敢站起來。課件一步步呈現(xiàn)豎式過程，到下圖（4），有很多學(xué)生站起來了。

        師：為什么計(jì)算到這里，你們就能確定循環(huán)節(jié)了呢？

        生：因?yàn)樯讨貜?fù)出現(xiàn)2了。

        師：是這樣的嗎？你為什么沒有站起來？

        生1：我覺得這里還無法判斷，因?yàn)樵偎阆氯ィ?添0，商是8了，不是1，還沒有出現(xiàn)重復(fù)。

        生2：我們判斷是不是循環(huán)小數(shù)不是看商的數(shù)字有沒有重復(fù)，而是看豎式中余數(shù)有沒有重復(fù)，而這里余6，上面沒有6，所以還不能判斷。

        師：解釋的真好，判斷商是不是循環(huán)小數(shù)，關(guān)鍵看：余數(shù)有無依次不斷重復(fù)出現(xiàn)（指板書：依次不斷重復(fù)出現(xiàn)）

       課件繼續(xù)呈現(xiàn)計(jì)算過程，到圖（5）所示，學(xué)生認(rèn)同可以判斷循環(huán)節(jié)是：142857。

     【評析】課堂很開放，能判斷了就勇敢站起來。結(jié)果很多學(xué)生在計(jì)算到商是：0.2142時就站起來了，為什么？因?yàn)閷W(xué)生看到了商2重復(fù)出現(xiàn)了。教師在這里，不急著算下去，而是再一次組織：生生交流活動，在互相說理的過程中，讓站起來的學(xué)生自然意識到應(yīng)該關(guān)注豎式中余數(shù)有無重復(fù)出現(xiàn)，以及多算一位發(fā)現(xiàn)商是0.21428，不是0.21421。因此，除法計(jì)算得到的商是否循環(huán)小數(shù)，看商數(shù)字第二次出現(xiàn)是不正確的，再經(jīng)歷了一次難點(diǎn)的理解鞏固。

       3.你知道嗎？

     師：最后我們輕松一下，看看關(guān)于循環(huán)小數(shù)的一些知識。課件逐一播放下圖中的知識。 

     【評析】你知道嗎？教學(xué)環(huán)節(jié)，拓展了學(xué)生對于循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識，激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣。同時，可以引發(fā)優(yōu)秀生的發(fā)現(xiàn)和思考：循環(huán)節(jié)的位數(shù)最大就是比除數(shù)小1,以及思考為什么小1？當(dāng)然這兩個問題不是本課要探究的，但材料的引入，可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。

       全課總結(jié)，交流感受。

        師：今天這節(jié)課學(xué)習(xí)了循環(huán)小數(shù)，你對循環(huán)小數(shù)有什么新的問題要提？

        生1：學(xué)習(xí)循環(huán)小數(shù)，有什么用？

       生2：兩數(shù)相除商有可能是無限但不循環(huán)的小數(shù)嗎？

       生3：為什么剛才“你知道嗎”這幾個例子，循環(huán)節(jié)的位數(shù)數(shù)字比除數(shù)小1？

       ……

       師：一節(jié)課的結(jié)束，不是一個知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)終結(jié)，而是引發(fā)我們更多思考同學(xué)們提出的問題都很有探究價(jià)值，這些問題的答案有興趣的同學(xué)可以課余去探究，查查資料。     

      【評析】總結(jié)交流環(huán)節(jié)，教師又組織了一次發(fā)現(xiàn)和提出問題，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考循環(huán)小數(shù)還有哪些知識問題，值得去探究。上述學(xué)生提出的數(shù)學(xué)問題，完全可以再教學(xué)一堂：循環(huán)小數(shù)之拓展課，或者引發(fā)學(xué)有余力的學(xué)生，課后去探究，這才是數(shù)學(xué)的樂趣。