長(zhǎng)久以來，數(shù)學(xué)都是精密、嚴(yán)格、準(zhǔn)確的象征。

人類非理性的行為主導(dǎo)了社會(huì)、政治、經(jīng)濟(jì)、文化等領(lǐng)域的蓬勃發(fā)展，而在理性統(tǒng)治的時(shí)代，現(xiàn)代科學(xué)也在不斷用實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)支撐或者反駁前人的論斷，從而引領(lǐng)人們走向一條自我進(jìn)化之路。路的遠(yuǎn)方只能無限接近真理，卻永遠(yuǎn)無法抵達(dá)那里。于是，在世間萬物變化無窮的表象之下，數(shù)學(xué)成了人們最后確定性的倚靠。

如果數(shù)學(xué)的根基被動(dòng)搖，人類認(rèn)識(shí)世界的邏輯基礎(chǔ)就可能被顛覆。當(dāng)一加一不再等于二，人類文明構(gòu)建的宏偉大廈即可能在頃刻之間坍塌，所有固若金湯、堅(jiān)不可摧的真理信條也會(huì)在瞬間失去存在的理由。世間一切文明亦會(huì)在一夜之間灰飛煙滅。宇宙最終只能沉寂于混沌的深淵。從某種角度來說，數(shù)學(xué)不能出現(xiàn)矛盾，也不能出現(xiàn)危機(jī)。數(shù)學(xué)，就是人類文明最后的避風(fēng)港。

不幸的是，在兩千多年的歷史進(jìn)程里，堅(jiān)如磐石的數(shù)學(xué)大廈仍然出現(xiàn)了裂痕。人們?cè)跓o意之間鑿開的罅隙卻很快激發(fā)連鎖反應(yīng)，最終引起科學(xué)界的大地震。無數(shù)歷史上最杰出的科學(xué)大家加入了修補(bǔ)大廈的工作，為挽救數(shù)學(xué)的完美與精確而殫精竭慮。等到危機(jī)過去，人們才發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)并不是無瑕的美玉，也并非無所不能的利器。數(shù)學(xué)理論即便可以幫助人們邁入天翻地覆的文明，但是在認(rèn)識(shí)宇宙終極真理的道路上，它一樣無能為力。甚至連數(shù)學(xué)本身，也并非無懈可擊。人們總能在構(gòu)建數(shù)學(xué)王國(guó)的磚石中，找到那些無可避免的殘缺。

曾幾何時(shí)，在人類匍匐在真理的道路探尋未來時(shí)，數(shù)學(xué)帶來過光明。在科學(xué)尚在蒙昧的襁褓階段時(shí)，數(shù)學(xué)也曾哺乳過文明。歷史上，數(shù)學(xué)就是人類文明最忠實(shí)可靠的朋友。然而這位朋友，卻經(jīng)歷過人們?nèi)窝c火的洗禮。幸運(yùn)的是，每一次，它都將自己一部分最深邃的秘密展現(xiàn)給信仰追隨它的人們。每一次的危機(jī)都帶來人們觀念上的革命，每一次革命都讓后人更加了解數(shù)學(xué)——人類文明的守護(hù)者，更真實(shí)的內(nèi)心。

讓我們重回歷史上那三次危機(jī)的現(xiàn)場(chǎng)。危機(jī)的導(dǎo)火索，卻是那樣的漫不經(jīng)心。一切仿佛都在印證，真理給予人類的恩賜，同樣都是有心栽花花不開，無意插柳柳成蔭。

（一）無理數(shù)的覺醒-畢達(dá)哥拉斯的怒火

數(shù)與形，是人類最早認(rèn)識(shí)世界的基礎(chǔ)。因此，作為數(shù)的代表-整數(shù)與事物形狀的代表-幾何，就這樣進(jìn)入人們理性思辨的世界。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，就誕生在人們對(duì)整數(shù)和幾何的認(rèn)識(shí)之中。“根號(hào)2是否是有理數(shù)”這樣一個(gè)問題，引起了古希臘先賢們的爭(zhēng)論，并逐漸演變成一場(chǎng)巨大的風(fēng)波，最終竟然引導(dǎo)古希臘的數(shù)學(xué)走向了一條截然不同的發(fā)展道路。

事件的起因，卻要從勾股定理說起。

公元前5世紀(jì)，古希臘的天才人物畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）創(chuàng)建了宗教、政治、學(xué)術(shù)合一的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。其主要的研究涵蓋幾何、算術(shù)、天文和音樂，并在其中追求宇宙和諧統(tǒng)一的規(guī)律。

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畢達(dá)哥拉斯學(xué)派（圖片來源：http://www./）

彼時(shí)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)整數(shù)有著異乎尋常的信仰。他們發(fā)現(xiàn)，大自然很多事物都可以通過數(shù)量的大小和關(guān)系進(jìn)行解釋和說明。這種對(duì)整數(shù)的癡迷就來源于音樂的啟迪。

一次偶然的經(jīng)歷，畢達(dá)哥拉斯意識(shí)到音樂中音調(diào)的和諧完全由整數(shù)之比決定。音樂和數(shù)這看起來毫無關(guān)聯(lián)的事物居然通過整數(shù)連接在了一起，這讓畢達(dá)哥拉斯受到很大啟發(fā)，并由此斷言宇宙萬物都可歸結(jié)于整數(shù)或者整數(shù)之比（注：畢達(dá)哥拉斯時(shí)代的整數(shù)指代自然數(shù)）。這成了后來畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條之一：一切事物都按照數(shù)來安排。具體而言，萬物都是整數(shù)或者整數(shù)之比的和諧產(chǎn)物。進(jìn)一步，宇宙的本質(zhì)就在于整數(shù)的和諧。

與此同時(shí)，數(shù)學(xué)歷史上最偉大的定理之一——勾股定理——也誕生在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)幾何學(xué)孜孜不倦的追求之中。所謂“勾股定理”，就是一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)必須滿足的數(shù)量關(guān)系，即斜邊長(zhǎng)的平方等于長(zhǎng)與寬各自的平方之和。這與古代中國(guó)獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的“勾三股四弦五”的特例有異曲同工之妙。意外的是，這一成就畢達(dá)哥拉斯千古英名的定理卻也成了該學(xué)派信仰的“掘墓人”。

勾股定理示意圖（圖片來源：搜狐網(wǎng)）

由于相信萬物都是整數(shù)或者整數(shù)之比，那么兩條幾何線段長(zhǎng)度之間的比值，其結(jié)果也必然是整數(shù)之比。這也意味著存在第三條線段，能同時(shí)量盡事先給定的兩條線段。這種性質(zhì)被畢達(dá)哥拉斯學(xué)派稱為“可通約”。基于對(duì)整數(shù)的信條，他們認(rèn)為任何兩條線段都是可通約的。直到“不可通約量”的發(fā)現(xiàn)，終于引起了該學(xué)派巨大的信仰危機(jī)。這一“離經(jīng)叛道”的結(jié)果，卻是由畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生希帕索斯（Hippasus）做出的。

希帕索斯考慮一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理，其斜邊長(zhǎng)應(yīng)該是“2的平方根”。如果畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的斷言是正確的，那么直邊和斜邊應(yīng)該是可通約的，因此存在一個(gè)有理數(shù)（即整數(shù)之比），恰好等于“根號(hào)2”。希帕索斯很快就證明，這是一個(gè)矛盾的結(jié)論。他興高采烈地將自己的非凡發(fā)現(xiàn)告訴老師畢達(dá)哥拉斯。在經(jīng)過仔細(xì)的檢查之后，畢達(dá)哥拉斯進(jìn)入了“兩難”的境地。要么承認(rèn)希帕索斯顛覆性的結(jié)論，從而推翻他的數(shù)學(xué)與哲學(xué)的信條；要么違背理性的原則，堅(jiān)決反對(duì)這一發(fā)現(xiàn)。左右為難之下，畢達(dá)哥拉斯將其視為學(xué)派的秘密，下令禁止傳播這一結(jié)論。事情的發(fā)展還是超乎畢達(dá)哥拉斯的預(yù)料，希帕索斯最終將發(fā)現(xiàn)泄露出去，從而激怒了畢達(dá)哥拉斯。畢達(dá)哥拉斯隨后下令處死他的學(xué)生。希帕索斯最終為此付出生命的代價(jià)，將一腔熱血獻(xiàn)祭給了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

這一認(rèn)識(shí)上的危機(jī)給古希臘的數(shù)學(xué)帶來巨大的地震。為了維護(hù)學(xué)派的信仰，畢達(dá)哥拉斯認(rèn)定類似于“根號(hào)2”這樣的數(shù)是不可說、也無定形的數(shù)，其秘密屬于眾神的范疇，凡人不應(yīng)該接觸和認(rèn)識(shí)到這些數(shù)的存在。這些數(shù)被稱為“沒有理性的數(shù)”，它們的存在即宣告了無理數(shù)的誕生。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)持續(xù)了2000多年。公元前3世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的歐多克斯(Eudoxus)試圖通過在幾何學(xué)中引進(jìn)不可通約量的概念來解決它的矛盾。他認(rèn)為，幾何線段先天就存在著“可通約”和“不可通約”的限制，這在某種程度上大大拓展了人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，也為無理數(shù)找到了存在的基礎(chǔ)。直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金(Dedekind）從連續(xù)性的要求出發(fā)，通過有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的分析基礎(chǔ)上，才揭開了無理數(shù)的神秘面紗，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無 理”的時(shí)代，也結(jié)束了自古希臘時(shí)代就延續(xù)至今的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)誕生于幾何學(xué)。萬物皆依賴于整數(shù)的思想被瓦解，幾何學(xué)的地位開始擢升。古希臘人開始明白知覺和經(jīng)驗(yàn)的局限性，一切真理只有通過推理和證明才能確?？煽?。此后，演繹和推理的方式逐漸登上古希臘科學(xué)的舞臺(tái)，在此基礎(chǔ)上建立的幾何公理體系讓希臘民族走向了以歐幾里得（Euclid）和亞里士多德（Aristotle）為代表的邏輯論證之路。古希臘也因此成為現(xiàn)代科學(xué)國(guó)家的先驅(qū)者。

相比之下，四大文明古國(guó)的中國(guó)、印度、埃及和巴比倫卻一直停留在實(shí)驗(yàn)科學(xué)的階段，以經(jīng)驗(yàn)作為檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，而忽視了推理和證明的重要性，從而與現(xiàn)代科學(xué)的誕生擦肩而過。

（二）無窮小量的謎蹤：追隨牛頓的幽靈

微積分，無疑是人類歷史上最偉大的思維成果之一。

牛頓與萊布尼茨（圖片來源：維基百科）

它由牛頓（Newton）和萊布尼茨（Leibniz）于17世紀(jì)創(chuàng)立。然而，伴隨著它的誕生，一個(gè)全新的概念——無窮小量即如影隨形。它在微積分的規(guī)則里，時(shí)而顯露參與運(yùn)算，時(shí)而隱形全身而去。沒有人知道它確切的行蹤，但在一行行嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明中，它的身影卻如幽靈般始終揮之不去。無窮小量，成了牛頓終身的夢(mèng)魘，也成為后人詬病微積分最大的缺陷。直到19世紀(jì)，分析的嚴(yán)格化開始展露曙光，無窮小量的迷思終于在困擾世人一個(gè)半世紀(jì)之后得到澄清。

古希臘哲學(xué)家芝諾（圖片來源：維基百科）

事實(shí)上，早在公元前500年，古希臘就已經(jīng)萌發(fā)了微積分的核心思想——極限逼近。著名的哲學(xué)家芝諾（Zeno）曾經(jīng)提出四個(gè)芝諾悖論，它們可以看做是極限思想最早的萌芽。在第一個(gè)悖論中，芝諾認(rèn)為“運(yùn)動(dòng)不可能”。比如一個(gè)物體要從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，則首先需要運(yùn)動(dòng)到A和B的中間點(diǎn)C；而如果物體要運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，則需要首先運(yùn)動(dòng)到A和C點(diǎn)之間的中點(diǎn)D。以此類推，這個(gè)二分法可以無限進(jìn)行下去。這樣的中點(diǎn)有無窮多個(gè)，所以物體永遠(yuǎn)也到達(dá)不了B點(diǎn)。因此，物體根本不可能運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樗坏缆返臒o限細(xì)分所阻隔。

基于同樣的道理，芝諾遂提出更多的悖論，諸如“落后的兔子永遠(yuǎn)追不上烏龜”、“飛矢不動(dòng)悖論”、“運(yùn)動(dòng)場(chǎng)悖論”等等?，F(xiàn)實(shí)生活中，人們顯然可以把物體從A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)，落后的兔子也會(huì)很快追上烏龜。所有這些，都指向了芝諾悖論的謬誤。然而，芝諾悖論里所體現(xiàn)出對(duì)空間、時(shí)間、無限、連續(xù)和運(yùn)動(dòng)的看法，給古希臘造成了深深的困惑。這樣的困惑，一直延伸到了微積分的誕生。

不僅如此，古希臘科學(xué)家阿基米德（Archimedes）使用“窮竭法”來計(jì)算圓的周長(zhǎng)和面積，其核心方法已經(jīng)非常接近17世紀(jì)微積分的思想。除了古希臘，古代中國(guó)的科學(xué)家也在探索微積分的道路上取得了驚人的進(jìn)展。魏晉時(shí)期最偉大的數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)明了割圓術(shù)來計(jì)算圓周的精確數(shù)值。隨后，割圓術(shù)被南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之發(fā)揮到了極致。他計(jì)算出圓周率介于3.1415926至3.1415927之間這一驚人的成就。這一成果甚至領(lǐng)先外國(guó)1000多年。

阿基米德與歐幾里得（圖片來源：維基百科）

古希臘的數(shù)學(xué)在歷史上留下了無數(shù)絢麗的瑰寶，但隨著希臘文明的衰落，也一起進(jìn)入了長(zhǎng)達(dá)千年的沉寂期。歐洲數(shù)學(xué)從此停滯不前，只有歐幾里得（Elucid）的《幾何原本》和阿基米德（Archimedes）的思想隨著數(shù)學(xué)中心的轉(zhuǎn)移來到了阿拉伯世界。從公元9世紀(jì)到16世紀(jì)，阿拉伯的數(shù)學(xué)進(jìn)入了鼎盛時(shí)期。阿拉伯的數(shù)學(xué)家不僅繼承了源自希臘的幾何思想，還獨(dú)自創(chuàng)立了代數(shù)學(xué)科。直到歐洲文藝復(fù)興過后，東西方的交流通道再度打開。曾經(jīng)失傳的古希臘先賢們的思想結(jié)合阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家600多年的數(shù)學(xué)結(jié)晶再次回到了它的故鄉(xiāng)-歐洲。

開普勒與伽利略（圖片來源：維基百科）

14世紀(jì)后，歐洲各國(guó)皇室出于航海歷的需要，開始出錢資助科學(xué)家研究天地星辰的規(guī)律。德國(guó)天文學(xué)家開普勒（Kepler）通過幾十年的觀星數(shù)據(jù)，最終發(fā)現(xiàn)太陽系的行星沿橢圓軌道運(yùn)行；意大利科學(xué)家伽利略（Galileo）也發(fā)現(xiàn)投擲物體會(huì)沿著拋物線運(yùn)動(dòng)。對(duì)天文和力學(xué)的研究成果，進(jìn)一步激發(fā)了人們對(duì)曲線研究的熱情，代數(shù)學(xué)在這一階段得到了極大發(fā)展。通過代數(shù)方法尋求幾何問題的解決方案，成為研究曲線運(yùn)動(dòng)新的途徑。這一切，都為解析幾何的發(fā)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)。

笛卡爾（圖片來源：維基百科）

17世紀(jì)中葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾（Descartes）創(chuàng)立了解析幾何。解析幾何的橫空出世邁出了從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的第一步，把自古希臘時(shí)代就被割裂的代數(shù)與幾何、數(shù)與形都重新粘合在一起。有了極限思想的啟發(fā)，結(jié)合解析幾何的變量思維，微積分作為一門初生的全新學(xué)科，呼之欲出。它的誕生需要有人站在更高的角度，聚合無數(shù)前人的成就。而讓這一理論成真、并煥發(fā)無窮生命力的人，就是17世紀(jì)的科學(xué)巨匠——牛頓（Issac Newton）。

微積分的出現(xiàn)很快在生產(chǎn)和實(shí)踐上發(fā)揮了巨大的作用。通過微積分的預(yù)測(cè)，人們?cè)诓菁埳系难菟阋馔獾匕l(fā)現(xiàn)了海王星的蹤跡，海王星的存在也在后來通過天文望遠(yuǎn)鏡的實(shí)測(cè)觀察予以證實(shí)。這件曠古爍今的科學(xué)成就讓微積分成為無可非議的杰作，更是賦予牛頓前人無可比擬的榮譽(yù)和地位。和牛頓同時(shí)代的德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨也獨(dú)立發(fā)明了微積分。萊布尼茨還為微積分引入了現(xiàn)代的符號(hào)系統(tǒng)，并一直延續(xù)至今。后世為了紀(jì)念兩位科學(xué)天才的杰出貢獻(xiàn)，遂將微積分的基本公式命名為牛頓-萊布尼茨公式。

（圖片來源：長(zhǎng)尾科技）

不過，在微積分創(chuàng)立之初，牛頓和萊布尼茨的工作還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠完善。牛頓為了計(jì)算微積分所引入的流數(shù)法因?yàn)槟：磺宓谋硎龆庥隽俗顝V泛的批評(píng)。1734年，英國(guó)哲學(xué)家、大主教貝克萊（Berkeley）直接提出尖銳的問題，將矛頭指向微積分的基礎(chǔ)--無窮小的問題。

他指出，牛頓為了求出多項(xiàng)式x的n次方的導(dǎo)數(shù)，首先假定無窮小量dx的存在，應(yīng)用二項(xiàng)式(x+dx)的n次方，然后減去x的n次方，得到的增量再除以dx，最后又讓dx消失為0。這個(gè)假設(shè)的關(guān)鍵在于最初無窮小量dx不為零，最后卻又讓它等于零。這種隨心所欲的操作，讓dx召之即來、揮之即去，成為幽靈般的存在。這個(gè)dx遂被稱為“逝去量的靈魂”，成為牛頓一生的夢(mèng)魘。牛頓無法回答這個(gè)問題，只好避而不談。無窮小量的迷蹤不定，從而引起了數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論，并最終導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次危機(jī)。

微積分在最初的發(fā)展階段，更多的強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算結(jié)果而忽視了其原理的可靠性。由于無窮小量的概念沒有得到澄清，與此相關(guān)的導(dǎo)數(shù)、微分、積分，并由此衍生的發(fā)散級(jí)數(shù)的求和等等都成了棘手的問題。

達(dá)朗貝爾與拉格朗日（圖片來源：維基百科）

18世紀(jì)中葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾（D’Alembert）提出把極限理論作為分析嚴(yán)格化的基礎(chǔ)。他獨(dú)辟蹊徑地把微分看做是函數(shù)的極限，特別指出了一個(gè)量是另一個(gè)量的極限定義。但他沒有逃脫傳統(tǒng)的幾何方法的影響，沒能把極限用嚴(yán)格的形式表述出來。

幾乎同時(shí)代，另一位法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日（Lagrange）則試圖擺脫無窮小量和極限的概念，將任何函數(shù)展開為無窮的級(jí)數(shù)之和來定義各階導(dǎo)數(shù)。這類泰勒（Taylor）級(jí)數(shù)雖然取得了一定的成效，但是同時(shí)也有很強(qiáng)的局限性。不僅在應(yīng)用上無比繁瑣，而且因?yàn)槟鼙磉_(dá)為泰勒級(jí)數(shù)的函數(shù)自身需要很強(qiáng)的約束條件，這極大地限制了可微分函數(shù)的范圍。拉格朗日的努力也在一定程度上宣告失敗。

直到19世紀(jì)20年代，數(shù)學(xué)家們才開始普遍關(guān)注微積分的嚴(yán)格化問題。一系列閃亮的名字即將登場(chǎng)，他們開啟了一場(chǎng)持續(xù)近半個(gè)世紀(jì)的接力賽，終于在19世紀(jì)末期為數(shù)學(xué)分析奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ)，也將微積分置于前所未有的堅(jiān)固基石之上，從而順利結(jié)束了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾（Abel）最早開始積極倡導(dǎo)和推動(dòng)分析的嚴(yán)格化。作為對(duì)阿貝爾呼吁的回應(yīng)，捷克的數(shù)學(xué)家波爾查諾（Bolzano）在1816年清楚地提出了級(jí)數(shù)收斂的概念，并給出了導(dǎo)數(shù)等概念的合適定義。事情的偉大轉(zhuǎn)折則要?dú)w功于法國(guó)的數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）。

法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西（圖片來源：維基百科）

柯西于1821-1823年在其著作《分析教程》和《無窮小計(jì)算講義》里給出了數(shù)學(xué)分析一系列基礎(chǔ)概念的清晰定義。例如，他給出了精確的極限定義，并由此建立了現(xiàn)代意義下的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無窮級(jí)數(shù)等等的概念。特別的，無窮小量，并不是逝去量的靈魂，也不是一個(gè)常量，而是一個(gè)以零為極限的變量。自此，柯西一舉回答了自牛頓時(shí)代就困擾世人的無窮小量的行蹤問題。

及至魏爾斯特拉斯（Weierstrass）創(chuàng)立了極限理論、戴德金（Dedekind）建立了實(shí)數(shù)理論以及后來康托（Cantor）集合論的竣工，無窮小量終于現(xiàn)出真身，再也無法隱藏在數(shù)學(xué)王國(guó)的角落里。它是牛頓放出來的幽靈，歷經(jīng)一百五十多年才被后人收服。追逐它謎一樣的蹤跡則直接促進(jìn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多分支的誕生，也終于讓第二次數(shù)學(xué)危機(jī)落下了帷幕。

（圖片來源：長(zhǎng)尾科技）

危機(jī)過后，一切歸于平靜,數(shù)學(xué)重又回到了安寧和諧的軌道。遺憾的是，美好的日子并沒有持續(xù)多久，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的結(jié)束很快就引爆了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。這一次的危機(jī)比以往的任何風(fēng)暴都要猛烈，它無疑是數(shù)學(xué)史上最為深刻的思想交鋒，其核心的爭(zhēng)論一直延續(xù)至今。從某種程度上來說，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)塑造了現(xiàn)代文明。眾多石破天驚的思想橫空出世，它們不僅結(jié)出了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的豐碩成果，更深刻地改變了人類的歷史。人類文明從此進(jìn)入了夢(mèng)寐以求的快車道，向著更加璀璨的未來一路飛馳。

（三）無窮世界的封印：康托的悲鳴

一個(gè)云的集合

人們很早以前就明白：如果把一堆具有某種特定性質(zhì)的元素放在一起，就能組成一個(gè)集合。研究集合的理論在數(shù)學(xué)上被稱為集合論。它是眾多數(shù)學(xué)理論的分支之一。然而，它在數(shù)學(xué)中卻具有最為特殊的地位，它的基本概念已經(jīng)滲透到幾乎所有的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之中。

經(jīng)過兩千多年的發(fā)展，數(shù)學(xué)已經(jīng)構(gòu)建出一座無比富麗堂皇的宏偉大廈。集合論，卻始終是這座大廈最底層的根基。如果集合論出現(xiàn)了裂痕，整個(gè)數(shù)學(xué)大廈都可能搖搖欲墜。令人唏噓的是，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)就發(fā)生在數(shù)學(xué)的基石之上。一個(gè)關(guān)于集合的悖論很快以摧枯拉朽之勢(shì)席卷了數(shù)學(xué)界，不僅讓集合論風(fēng)雨飄搖，更是差點(diǎn)將現(xiàn)代數(shù)學(xué)毀于一旦。

兩千多年以來，數(shù)學(xué)家研究的實(shí)體都是基于有限的集合，沒有人試圖踏入無窮的世界?！盁o窮”的概念顯然超越了所有人的認(rèn)知，它讓一切敢于接近的人都膽戰(zhàn)心驚。

17世紀(jì)的數(shù)學(xué)終于迎來了新生。牛頓和萊布尼茨獨(dú)自發(fā)明了微積分，卻引發(fā)了數(shù)學(xué)的第二次危機(jī)。微積分計(jì)算的嚴(yán)格性常常被人詬病，迫切地需要數(shù)學(xué)理論的澄清。到了19世紀(jì)，由于分析的嚴(yán)格化和函數(shù)論的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們對(duì)無理數(shù)理論、不連續(xù)函數(shù)理論的研究更是需要理解無窮集合的性質(zhì)。了解“無窮”并深入“無窮”成了迫在眉睫的需求。

時(shí)代呼喚著天才。此時(shí)，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托則獨(dú)自扛起了挑戰(zhàn)無窮的大旗。他以一己之力創(chuàng)造了集合論和超窮數(shù)理論，打開了被上帝塵封的智慧大門。數(shù)千年以來，無數(shù)科學(xué)家只能在大門外遠(yuǎn)遠(yuǎn)地徘徊，對(duì)大門充滿了敬畏之心。唯有康托徑自一人，孤獨(dú)地行走在驚心動(dòng)魄的探險(xiǎn)之路上，試圖找到開啟大門的鑰匙。他以卓絕的智慧成就完成了這一宏圖偉業(yè)，讓人們得以一窺連接著無窮世界的大門內(nèi)無比輝煌的寶藏。

為了把握和認(rèn)知無窮的集合，康托創(chuàng)造性地將一一對(duì)應(yīng)和對(duì)角線方法運(yùn)用到集合論的奠基性研究當(dāng)中?？低袠O其深刻地意識(shí)到：如果兩個(gè)無窮集合的元素能建立一一對(duì)應(yīng)，那么這兩個(gè)無窮集合的個(gè)數(shù)就應(yīng)該被視為同樣多。在這種思想下，康托很快就發(fā)現(xiàn)偶數(shù)的個(gè)數(shù)和自然數(shù)的個(gè)數(shù)一樣多，甚至和整數(shù)的個(gè)數(shù)也一樣多。換句話說，偶數(shù)的個(gè)數(shù)所組成的無窮和整數(shù)的個(gè)數(shù)所組成的無窮是一樣大！

更為神奇的是，康托發(fā)現(xiàn)，實(shí)數(shù)的全體集合組成的無窮比整數(shù)的全體集合組成的無窮要大得多。歷史上第一次，康托為兩個(gè)無窮大建立了大小關(guān)系。正是因?yàn)榭低械呐?，?shù)學(xué)中無限的面紗終于被揭開，圍繞著無窮的迷霧終于得以散去。他對(duì)無窮的新見解讓人們對(duì)無窮的認(rèn)識(shí)上升到了一個(gè)前所未有的層次。

奧爾格·康托（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始人（圖片來源：維基百科）

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)因?yàn)榭低械墓ぷ鞫K于塵埃落定。自康托起，集合論成為數(shù)學(xué)里最基礎(chǔ)和重要的理論分支之一。

意想不到的是，表面上看起來，康托的集合論為數(shù)學(xué)建立了牢不可破的公理體系大廈。當(dāng)這座大廈快要完工的時(shí)候，事情再次出現(xiàn)了轉(zhuǎn)折。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)不期而至。

英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素徹底粉碎了數(shù)學(xué)家的夢(mèng)想。1902年，他在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)于集合論的悖論。羅素悖論有多個(gè)通俗版本，其中最著名的是羅素在1919年提出的理發(fā)師悖論：“村子里有一個(gè)理發(fā)師，他給自己定了一條規(guī)矩：‘他給所有那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)，并且只給這樣的人理發(fā)’。那么，這個(gè)理發(fā)師該不該給自己理發(fā)？”不管如何回答這個(gè)問題，都會(huì)導(dǎo)致自相矛盾。這個(gè)問題本身似乎就具有不可調(diào)和的矛盾。

正是因?yàn)檫@種奇怪的邏輯，羅素顛覆了整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)。一時(shí)間，絕對(duì)嚴(yán)密、天衣無縫的數(shù)學(xué)出現(xiàn)了似乎無法修補(bǔ)的漏洞。一如當(dāng)年非歐幾何的驚人發(fā)現(xiàn)一樣，延續(xù)兩千多年的歐幾里得公理都可能在一夜之間被顛覆，人們?cè)俅蜗萑肓藰O大的恐慌之中。

伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素（Bertrand Arthur William Russell，1872年—1970年）

此后，數(shù)學(xué)家們就開始積極尋找解決這場(chǎng)危機(jī)的辦法。數(shù)學(xué)是最為嚴(yán)格的科學(xué)，然而集合論中居然存在著這樣明顯而根本的矛盾。人們開始通過細(xì)心地選擇數(shù)學(xué)公理來避免產(chǎn)生羅素悖論的思維怪物，從而重新構(gòu)建精確唯美的數(shù)學(xué)體系。

德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅洛（Zermelo）率先提出七條公理，建立了一種沒有悖論的集合論。另一位德國(guó)數(shù)學(xué)家弗倫克爾（Fraenkel）在策梅洛的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，最終形成了一個(gè)無矛盾的集合論公理系統(tǒng)（即所謂ZF公理系統(tǒng)）。通過這七條公理建立起來的集合論終于成功地避開了羅素悖論，從而極大地緩解了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

1917年，希爾伯特提出來一整套數(shù)學(xué)綱領(lǐng)。他希望找到一套公理體系能夠排除悖論，并且能夠證明，在任一個(gè)無矛盾的形式系統(tǒng)中所能表達(dá)的所有陳述都要么能夠證明要么能夠證偽。在這個(gè)系統(tǒng)里不會(huì)再出現(xiàn)類似羅素悖論這樣的思維怪圈。

然而希爾伯特的宏偉計(jì)劃很快被顛覆。1931年，奧地利裔數(shù)學(xué)家哥德爾指出：在任何一個(gè)相容的形式化數(shù)學(xué)理論中,只要它可以在其中定義自然數(shù)的概念,就可以在其中找出一個(gè)命題，在該系統(tǒng)中既不能證明它為真，也不能證明它為假。

通俗地說，就是任何一個(gè)數(shù)學(xué)的公理化體系都不是“完美的”。任何數(shù)學(xué)公理化系統(tǒng)都需要人為地從外界注入新的公理進(jìn)去才能讓它日趨完善，而它自己并不能完全自動(dòng)避免矛盾產(chǎn)生。哥德爾證明不完備定理的主要思想以及羅素悖論的方法和康托的對(duì)角線法則是一脈相承的。

庫爾特·哥德爾（Kurt G?del）（1906年4月28日—1978年1月14日）

盡管集合論中存在矛盾，但這些矛盾大部分均可回避。然而哥德爾不完備定理則表明：數(shù)學(xué)的真理性不是絕對(duì)可證的，如果我們要證明數(shù)學(xué)理論的相容性或完備性，必須要依靠該數(shù)學(xué)理論以外的論據(jù)，也就是說我們需要更大的系統(tǒng)來說明理論本身是真的。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)則伴隨著這種不確定性，以更深刻的形式延續(xù)至今。

無窮的世界，一直被視為上帝塵封的大門。康托則打開了潘多拉的盒子，他也為此付出了極其慘重的代價(jià)。他的成果遭到同時(shí)代數(shù)學(xué)大師無情地嘲諷。以康托的導(dǎo)師克羅內(nèi)克為首的數(shù)學(xué)家組成反康托的聯(lián)盟，對(duì)他進(jìn)行科學(xué)和精神上的雙重羞辱。備受打擊的康托終于精神崩潰，一度患精神分裂癥，最終于1918在德國(guó)一家精神病院郁郁而終。

讓康托意想不到的是，他所創(chuàng)立的無窮集合論成了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的導(dǎo)火索，也從根本上改造了數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)許多新的分支的建立和發(fā)展，成為實(shí)變函數(shù)論、代數(shù)拓?fù)?、群論和泛函分析等理論的基礎(chǔ)，還給邏輯學(xué)和哲學(xué)也帶來了深遠(yuǎn)的影響。他在研究無窮集合時(shí)所發(fā)明的對(duì)角線方法，則為后世科學(xué)家提供了極為本質(zhì)的靈感源泉。20世紀(jì)無數(shù)重大的理論成果都受益于此，數(shù)學(xué)和哲學(xué)也因此而煥然一新，比如圖靈停機(jī)問題、哥德爾不完備定理都是該方法的不同延伸。在這些思想成果的匯聚下，最終造就了今日的信息文明，特別是計(jì)算機(jī)的發(fā)明。

結(jié)語

時(shí)至今日，我們已經(jīng)知道，數(shù)學(xué)的王國(guó)里有無窮無盡的寶藏和果實(shí)可供后世的勇士去挖掘和摘取。完美的數(shù)學(xué)并不存在，人們不必為它的瑕疵而傷心，反而應(yīng)該為它無限的可能性而歡欣。歷史的車輪總能一直向前，數(shù)學(xué)的未來也一片光明。同時(shí)，世界上還有很多永遠(yuǎn)不能被數(shù)學(xué)解決的問題，這樣的問題甚至比能被數(shù)學(xué)解決的問題要多得多。世界，在最理性的層面，展示出它迷人而無窮的魅力。人們終將認(rèn)識(shí)到自身的渺小，認(rèn)識(shí)到真理星空的浩瀚，從而永遠(yuǎn)保持謙卑和謹(jǐn)慎。

（圖片來源：NASA）

本文于2018年8月27日首發(fā)于科學(xué)大院

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