幾何中的基本圖形就是線段。與線段有關(guān)的問(wèn)題主要是考查數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系。

線段的數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題比較多，有2條、3條或者4條之間的關(guān)系。

簡(jiǎn)單的就是相等、倍數(shù)，乘積或者勾股、截長(zhǎng)補(bǔ)短等等各種關(guān)系。方法考查相似、全等、勾股等居多。

其中以下地區(qū)都有涉及：

2019·泰安、2019·懷化、2019·大慶

2019·柳州、2019·蘭州、2019·廣元

2019·蘇州、2019·天門、2019·岳陽(yáng)

2019·泰州、2019·聊城、2019·廣東

2019·荊門、2019·孝感、2019·常德

2019·黃石、2019·河池、2019·畢節(jié)

2019·宜昌、2019·宜昌、2019·深圳

2019·廣西、2019·黃石、2019·杭州

2019·成都、2019·湘西、2019·哈爾濱

【中考真題】

一、3、4條線段的比例或乘積關(guān)系

1．（2019·泰安）在矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)．

（1）若BP平分∠ABD，交AE于點(diǎn)G，PF⊥BD于點(diǎn)F，如圖①，證明四邊形AGFP是菱形；

（2）若PE⊥EC，如圖②，求證：AE·AB＝DE·AP；

【分析】

題（1）比較基礎(chǔ)，主要是證明菱形的四條吧相等來(lái)證明菱形；

題（2）設(shè)計(jì)4條線段的乘積關(guān)系，首先想到的就是轉(zhuǎn)化為比例式，再找三角形相似。

如果AE與DE組成三角形，那么AB與AP也組成三角形。

AE·AB＝DE·AP

發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形并不相似。

如果AE與AP組成三角形，則AB、DE無(wú)法組成三角形。

AE·AB＝DE·AP

因此題目暗示需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化才可以。

由題目中AE⊥DE，PE⊥CE，可以得到∠AEP=∠DEC。

觀察易得△AEP∽△DEC。

所以把AB用CD來(lái)代換即可。

【答案】（1）證明：如圖①中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵AE⊥BD，

∴∠AED＝90°，

∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，

∴∠BAE＝∠ADE，

∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，

∴∠AGP＝∠APG，

∴AP＝AG，

∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，

∴PA＝PF，

∴PF＝AG，

∵AE⊥BD，PF⊥BD，

∴PF∥AG，

∴四邊形AGFP是平行四邊形，

∵PA＝PF，

∴四邊形AGFP是菱形．

（2）證明：如圖②中，

∵AE⊥BD，PE⊥EC，

∴∠AED＝∠PEC＝90°，

∴∠AEP＝∠DEC，

∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，

∴∠EAP＝∠EDC，

∴△AEP∽△DEC，

∴AE/DE=AP/DC，

∵AB＝CD，

∴AE·AB＝DE·AP；

【總結(jié)】

絕大多數(shù)的乘積比例問(wèn)題都是轉(zhuǎn)化為相似來(lái)求解。常常需要等量代換進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

2．（2019·廣元）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PC，切點(diǎn)是C，過(guò)點(diǎn)C作弦CD⊥AB于E，連接CO，CB．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）若AB＝10，tanB=1/2，求PA的長(zhǎng)；

（3）試探究線段AB，OE，OP之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【答案】（3）AB2＝4OE·OP

如圖2，∵PC切⊙O于C，

∴∠OCP＝∠OEC＝90°，

∴△OCE∽△OPC

∴OE/OC=OC/OP，即OC2＝OE·OP

∵OC=1/2AB

∴(1/2 AB)2=OE?OP

即AB2＝4OE·OP．

3．（2019·泰州）如圖，⊙O的半徑為5，點(diǎn)P在⊙O上，點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，且AP＝3，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線交⊙O于點(diǎn)B、C．設(shè)PB＝x，PC＝y(tǒng)，則y與x的函數(shù)表達(dá)式為　      　．

【答案】解：連接PO并延長(zhǎng)交⊙O于D，連接BD，

則∠C＝∠D，∠PBD＝90°，

∵PA⊥BC，

∴∠PAC＝90°，

∴∠PAC＝∠PBD，

∴△PAC∽△PBD，

∴PB/PA=PD/PC，

∵⊙O的半徑為5，AP＝3，PB＝x，PC＝y(tǒng)，

∴x/3=10/y，

∴xy＝30，

∴y=30/x，

故答案為：y=30/x．

4．（2019·哈爾濱）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，EM∥AD，交AB于點(diǎn)M，EN∥AB，交AD于點(diǎn)N，則下列式子一定正確的是（　?。?/p>

A．AM/BM=NE/DE

B．AM/AB=AN/AD

C．BC/ME=BE/BD

D．BD/BE=BC/EM

【答案】解：

∵在?ABCD中，EM∥AD

∴易證四邊形AMEN為平行四邊形

∴易證△BEM∽△BAD∽△END

∴AM/BM=NE/BM=DE/BE，A項(xiàng)錯(cuò)誤

AM/AB=ND/AD，B項(xiàng)錯(cuò)誤

BC/ME=AD/ME=BD/BE，C項(xiàng)錯(cuò)誤

BD/BE=AD/ME=BC/ME，D項(xiàng)正確

故選：D．

三、證明線段相等

5．（2019·聊城）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，作OD⊥AB交AC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BC，OD交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線CE，交OF于點(diǎn)E．

（1）求證：EC＝ED；

【答案】（1）證明：連接OC，

∵CE與⊙O相切，為C是⊙O的半徑，

∴OC⊥CE，

∴∠OCA+∠ACE＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠OCA，

∴∠ACE+∠A＝90°，

∵OD⊥AB，

∴∠ODA+∠A＝90°，

∵∠ODA＝∠CDE，

∴∠CDE+∠A＝90°，

∴∠CDE＝∠ACE，

∴EC＝ED；

備注：證明等腰

6．（2019·廣東）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)F，使CF＝AC，連接AF．

（1）求證：ED＝EC；

【答案】解：（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，

∴∠BCD＝∠ADC，

∴ED＝EC；

7．（2019·河池）如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，CF與⊙O相切于點(diǎn)C，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求證：DE＝BC；

【答案】（1）證明：∵AE＝DC，

∴(AE) ?=(DC) ?，

∴∠ADE＝∠DBC，

在△ADE和△DBC中，{■(∠ADE=∠DBC&@∠E=∠BCD&@AE=DC&)┤，

∴△ADE≌△DBC（AAS），

∴DE＝BC；

備注：全等

三、線段倍數(shù)關(guān)系

8．（2019·畢節(jié)市）如圖，點(diǎn)P在⊙O外，PC是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，直線PO與⊙O相交于點(diǎn)A、B．

（1）若∠A＝30°，求證：PA＝3PB；

【答案】解：（1）∵AB是直徑

∴∠ACB＝90°，

∵∠A＝30°，

∴AB＝2BC

∵PC是⊙O切線

∴∠BCP＝∠A＝30°，

∴∠P＝30°，

∴PB＝BC，BC=1/2AB，

∴PA＝3PB

9．（2019·黃石）如圖，矩形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)E，AD：AB=√3：1，將△ABD沿BD折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，連接AF交BC于點(diǎn)G，且BG＝2，在AD邊上有一點(diǎn)H，使得BH+EH的值最小，此時(shí)BH/CF=（　?。?/p>

A．√3/2 B．(2√3)/3 C．√6/2 D．3/2

【答案】解：如圖，設(shè)BD與AF交于點(diǎn)M．設(shè)AB＝a，AD=√3a，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°，tan∠ABD=AD/AB=√3/1，

∴BD＝AC=√(AB^2+AD^2 )=2a，∠ABD＝60°，

∴△ABE、△CDE都是等邊三角形，

∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝a．

∵將△ABD沿BD折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，

∴BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA=√3a．

在△BGM中，∵∠BMG＝90°，∠GBM＝30°，BG＝2，

∴GM=1/2BG＝1，BM=√3GM=√3，

∴DM＝BD﹣BM＝2a-√3．

∵矩形ABCD中，BC∥AD，

∴△ADM∽△GBM，

∴AD/BG=DM/BM，即(√3 a)/2=(2a-√3)/√3，

∴a＝2√3，

∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝2√3，AD＝BC＝6，BD＝AC＝4√3．

易證∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝∠ADB＝∠BDF＝∠CDF＝30°，

∴△ADF是等邊三角形，

∵AC平分∠DAF，

∴AC垂直平分DF，

∴CF＝CD＝2√3．

作B點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′E，設(shè)B′E與AD交于點(diǎn)H，則此時(shí)BH+EH＝B′E，值最?。?/p>

如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（3，0），B（3，2√3），B′（3，﹣2√3），E（0，√3），

易求直線B′E的解析式為y=-√3x+√3，

∴H（1，0），

∴BH=√((3-1)^2+(2√3-0)^2 )=4，

∴BH/CF=4/(2√3)=(2√3)/3．

故選：B．

10．（2019·杭州）如圖，已知銳角三角形ABC內(nèi)接于圓O，OD⊥BC于點(diǎn)D，連接OA．

（1）若∠BAC＝60°，

①求證：OD=1/2OA．

【答案】解：（1）①連接OB、OC，

則∠BOD=1/2∠BOC＝∠BAC＝60°，

∴∠OBC＝30°，

∴OD=1/2OB=1/2OA；

備注：特殊的三角形30°，考慮倍半。

四、垂徑定理

11．（2019·成都）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為圓上的兩點(diǎn)，OC∥BD，弦AD，BC相交于點(diǎn)E．

（1）求證：弧AC=弧CD；

【答案】證明：（1）∵OC＝OB

∴∠OBC＝∠OCB

∵OC∥BD

∴∠OCB＝∠CBD

∴∠OBC＝∠CBD

∴弧AC=弧CD

五、線段和差關(guān)系

12．（2019·宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作EF的垂線交DC于點(diǎn)H，以EF為直徑作半圓O．

（1）填空：點(diǎn)A　在?。ㄌ睢霸凇被颉安辉凇保袿上；當(dāng)(AE) ?=(AF) ?時(shí)，tan∠AEF的值是；

（2）如圖1，在△EFH中，當(dāng)FE＝FH時(shí)，求證：AD＝AE+DH；

【答案 】（2）∵EF⊥FH，

∴∠EFH＝90°，

在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，

∴∠AEF+∠AFE＝90°，

∠AFE+∠DFH＝90°，

∴∠AEF＝∠DFH，

又FE＝FH，

∴△AEF≌△DFH（AAS），

∴AF＝DH，AE＝DF，

∴AD＝AF+DF＝AE+DH；

13．（2019·宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作EF的垂線交DC于點(diǎn)H，以EF為直徑作半圓O．

（1）填空：點(diǎn)A　在?。ㄌ睢霸凇被颉安辉凇保袿上；當(dāng)(AE) ?=(AF) ?時(shí)，tan∠AEF的值是；

（2）如圖1，在△EFH中，當(dāng)FE＝FH時(shí)，求證：AD＝AE+DH；

（3）如圖2，當(dāng)△EFH的頂點(diǎn)F是邊AD的中點(diǎn)時(shí)，求證：EH＝AE+DH；

【答案】（3）延長(zhǎng)EF交HD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

∵F分別是邊AD上的中點(diǎn)，

∴AF＝DF，

∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，

∴△AEF≌△DGF（ASA），

∴AE＝DG，EF＝FG，

∵EF⊥FH，

∴EH＝GH，

∴GH＝DH+DG＝DH+AE，

∴EH＝AE+DH；

14．（2019·常德）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，BN⊥AC交AC于點(diǎn)N．

（1）在圖1中，求證：△BMC≌△CNB；

（2）在圖2中的線段CB上取一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)P作PE∥AB交CM于點(diǎn)E，作PF∥AC交BN于點(diǎn)F，求證：PE+PF＝BM；

【答案】（2）∵△BMC≌△CNB，

∴BM＝NC，

∵PE∥AB，

∴△CEP∽△CMB，

∴PE/BM=CP/CB，

∵PF∥AC，

∴△BFP∽△BNC，

∴PF/NC=BP/BC，

∴PE/BM+PF/BM=CP/CB+BP/CB=1，

∴PE+PF＝BM；