負(fù)面清單出來后，對數(shù)學(xué)負(fù)面清單的質(zhì)疑聲就沒有斷過。

我看了一下質(zhì)疑主要就是：

對數(shù)學(xué)有天賦、有興趣的孩子，他們會被斷了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路。

其實，這個質(zhì)疑太牽強(qiáng)了。

首先，對數(shù)學(xué)有天賦，和對數(shù)學(xué)有興趣，是完全兩種不同的類型。

對數(shù)學(xué)有天賦的孩子是老天爺賞飯吃，可不僅僅是喜歡數(shù)學(xué)而已。

我知道有一個8歲的小姑娘，小時候主要是老人帶著，父母也沒時間教她什么，上到小學(xué)二年級的時候老師發(fā)現(xiàn)她可以迅速口算出三位數(shù)相乘，并直接將得數(shù)開方。后來老師拿初中的解析幾何題給她，小姑娘也直接算出來了，然后姑娘的父母就被老師、校長請到學(xué)校，打造將來的教育規(guī)劃。

像楊振寧也是初中的時候拿著他爸爸的英文版數(shù)論直接啃，要知道數(shù)論被成為數(shù)學(xué)中的“皇冠”，是純粹數(shù)學(xué)的分支，是純邏輯和抽象的。

再比如美國數(shù)學(xué)家凱瑟琳，10歲的時候解類似這樣的方程式（x2+6x-7）（2x2-5x-3）=0，一點問題都沒有。那會沒有計算機(jī)，求x的解全是小姑娘自己在黑板上劃的。

所以啊，其他領(lǐng)域的天賦有可能會被埋沒，但是數(shù)理化方面的天賦表現(xiàn)出來會特別明顯，真的是想埋沒都埋沒不了，尤其還在建設(shè)期的中國，這樣的孩子就是金饃饃，豈是負(fù)面清單擋的住的。在強(qiáng)基計劃那篇文章里，已經(jīng)說的很明確，天賦孩子的培養(yǎng)通道是打通的，完全不用擔(dān)心。

最大的問題是家長誤以為孩子對數(shù)學(xué)有興趣=孩子有天賦，像一些被父母刷題“催肥”長大的孩子，到小學(xué)后半段或者初中真的很尷尬，繼續(xù)競賽之路無法和有天賦的孩子PK，之前曾經(jīng)的興趣還被各種刷題磨滅了；回歸普通孩子的學(xué)習(xí)之路，家長又覺得之前的心血白費(fèi)了，進(jìn)退都不甘心。

所以，負(fù)面清單本來就不是規(guī)范什么天才兒童的，它就是為普通智力的孩子提供一條科學(xué)學(xué)習(xí)的道路，不要小看1-3年的時間就學(xué)那么一點點知識，這些知識如果能完全理解透，并建立關(guān)聯(lián)，孩子的數(shù)學(xué)絕對是中等以上的水平。

ok扯完前面的，我們結(jié)合著負(fù)面清單說一下學(xué)齡后孩子數(shù)學(xué)的科學(xué)學(xué)法。

學(xué)好小學(xué)-高中教材里的數(shù)學(xué)就十六個字：

聯(lián)系生活，完全理解，建立體系，融會貫通。

一定要讓孩子明白，教科書里所學(xué)的這些數(shù)學(xué)知識是為了解決實際生活中的問題而產(chǎn)生的，試圖去理解每一個抽象的數(shù)學(xué)概念是要解決什么問題，并且打通數(shù)學(xué)知識點與知識點的屏障，把他們能全部串起來，形成一張四通八達(dá)的大網(wǎng)，這樣孩子就不會背誦式的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

小學(xué)階段，不要刷題，不要超前學(xué)習(xí)

我把負(fù)面清單列入的負(fù)面內(nèi)容和教學(xué)大綱本來應(yīng)該學(xué)習(xí)的知識仔細(xì)比較了一下，其實負(fù)面清單規(guī)范的就是超前學(xué)習(xí)。

比如小學(xué)1-3年級就去做“多位小數(shù)的大小比較、異分母分?jǐn)?shù)的大小比較”；“三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法計算，三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法計算”等等。

這種超前學(xué)習(xí)真的沒有什么太大必要，因為這種知識就是純運(yùn)算層面的東西，不是數(shù)學(xué)思維層面的提升，3年級會和6年級會，對整體數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)根本沒有任何影響。就跟6個月會走路和1歲會走路一樣，并不會顯著的對孩子有提高，而孩子的時間是有成本的。

孩子小時候記憶力很高，通過大量做題，會形成機(jī)械記憶，做題看上去做對了，但實際你問他概念，他講不清楚。這在低年級的時候影響尚看不出來，但是到中高年級會大量爆發(fā)問題，因為題海戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練的機(jī)械記憶掩飾了孩子對數(shù)學(xué)的真正理解程度。

再比如被列入1-3年級“負(fù)面內(nèi)容”的“和倍、差倍、和差”等典型類型題目。

不是說這些東西不能學(xué)，而是說沒必要在小學(xué)1-3年級去刷這種題。

像“和倍、差倍、和差”這樣的題跟小學(xué)奧數(shù)典型的“雞兔同籠”問題一樣，老師教孩子各種解題技巧，什么畫圖法，抬腳法，假設(shè)法等等。

比如雞兔同籠的典型題目：在一個籠子里，有雞和兔子，從上面數(shù)，數(shù)出來35個頭，從下面數(shù)，數(shù)出來94只腳——

用“抬腳法”的解題技巧就是：假設(shè)所有的兔子和雞*同時舉起了兩只腳*，那么由于有35個頭，所以一共舉起了70只腳。由于雞只有兩只腳，那么多出來的94-70=24只腳，全屬于兔子，所以兔子一共有12只，剩下的都是雞。

說實話，這樣的技巧，對于有些抽象思維還沒那么好的學(xué)生來說，并不好理解，無法理解就只有祭出大殺器——背誦。

關(guān)鍵是背誦下來的技巧，又無法運(yùn)用在雞兔同籠的變種問題上。

就像在下面這道題上面，“抬腳法”的技巧就不適用了。

“一共有20道題目，答對一道得5分，答錯或不答扣一分，要答對多少道題，才能得82分?”

那孩子做100道雞兔同籠的問題，如果每次解題技巧都不一樣，就意味著得背100種解題技巧。

最悲劇的是，是花大量時間背誦的解題技巧，等到初中就會“一文不值”，因為初中有一個非常有效的工具解決成千上萬道雞兔同籠和“和倍、差倍、和差”的問題，那就是方程式。

那美國是怎么教小學(xué)生雞兔同籠這種題的呢？

大家都覺得美國的數(shù)學(xué)差，其實只是因為美國不會在小學(xué)階段教過多的算數(shù)技巧，在他們看來，數(shù)學(xué)絕對不是背誦的，而是思維能力的提升。

所以美國教雞兔同籠是中國人看起來非常笨的辦法，列表法：

如果35只全是雞，那么就只有70條腿；

那如果34只雞，1只兔子，就是72條腿；

一直列表列到23只雞，12只兔子，就是94條腿。 

這個辦法雖然笨，但是卻可以解答所有雞兔同籠的變種問題，像這道題：

“一共有20道題目，答對一道得5分，答錯或不答扣一分，要答對多少道題，才能得82分?” 按照列表法也能計算出來。

答對20道題；得分100答對19道，得分94一直列表到答對17道題，答錯或不答3道題，得分82

一個人的數(shù)學(xué)思維進(jìn)階主要有兩個大臺階： 第一個臺階：從具象思維跨越到抽象思維。第二個臺階：從常數(shù)思維跨越到變量思維。 美國的小學(xué)階段就是用這種特別笨的辦法讓孩子在列表的過程中非常直觀地感受到數(shù)字的變化，也即讓孩子體會變量思維。 等孩子上中學(xué)后，學(xué)會列方程式，像“雞兔同籠”、“和倍、差倍、和差”這樣的題就可以非常容易的通過列方程的方式解決。 但列方程需要一個前提條件，就是閱讀理解能力以及提煉數(shù)學(xué)語言的能力到位了，如果孩子提煉數(shù)學(xué)語言的能力很差，那么就算刷了1萬道題，只要題目一改，立馬歇菜?？隙胁怀鰜碚_的方程式。 許多孩子3年級之后就無法繼續(xù)通過超前學(xué)習(xí)獲得搶跑優(yōu)勢，就是因為抽象語言和現(xiàn)實語言的轉(zhuǎn)換根本跟不上，他們前期本該積累的時間被用去學(xué)根本無用的解題技巧。 所以在這里再次強(qiáng)調(diào)一下語文的重要性。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)相對是基礎(chǔ)的，大家不要花時間全部在數(shù)學(xué)上，更多的時間應(yīng)該分配在語文上面，也就是要鍛煉孩子的閱讀理解能力。這樣，初中才不會因為閱讀理解跟不上而落下數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

聯(lián)系生活，理解式學(xué)習(xí) 如前所述，一個人的數(shù)學(xué)思維進(jìn)階主要有兩個大臺階： 第一個臺階：從具象思維跨越到抽象思維。第二個臺階：從常數(shù)思維跨越到變量思維。 從家長能被孩子氣吐血的數(shù)的認(rèn)識和數(shù)的運(yùn)算來說，其實認(rèn)識數(shù)并學(xué)會數(shù)學(xué)計算，就是孩子從具象跨越到抽象思維的過程。 不要以為孩子就應(yīng)該理所應(yīng)當(dāng)?shù)拿靼走@些，因為一個孩子理解數(shù)的過程，就是人類理解數(shù)的幾千年時間的壓縮。 就比如0這個抽象數(shù)字，人類花了幾千年才搞明白。負(fù)數(shù)這個發(fā)明一開始傳到歐洲的時候，歐洲著名的數(shù)學(xué)家都認(rèn)為所謂的負(fù)數(shù)非?；闹?，壓根不認(rèn)可負(fù)數(shù)的存在。 所以小學(xué)6年的時間，就是需要孩子通過各種各樣的方式去真正理解這些數(shù)字（自然數(shù)，負(fù)數(shù)，分?jǐn)?shù)，無理數(shù)等等），去把人類幾千年的數(shù)學(xué)知識結(jié)晶徹底掌握，理解透，這樣才不會犯所謂的“粗心大意”的錯誤（其實，數(shù)學(xué)上所有的粗心大意，基本都是因為概念理解的不夠透徹）。 比如很多孩子會反復(fù)做錯的題： 什么數(shù)字自己相乘等于4？很多孩子的答案是2，但這其實是錯誤答案，正確答案2和-2. 如果對負(fù)數(shù)這個概念理解不深，孩子就算記住了這道題，換個題目還是會做錯。 比如：什么數(shù)字自己相乘等于9？ 錯誤的答案又是3，而忘記寫-3. 再如初中的題：9的平方根是多少。 錯誤的答案是3，但其實正確答案是3和-3. 舉這個例子就是告訴大家，你以為孩子是粗心大意的錯誤，但其實是基礎(chǔ)概念沒有打扎實。 中國家長有時候就是太急了，在沒有給孩子足夠多的理解空間時，就著急忙慌的開始刷題，做練習(xí)冊。最終其實掩蓋了孩子在數(shù)學(xué)方面存在的問題。

第二個臺階：從常數(shù)思維到變量思維。 小學(xué)時學(xué)的5+3=8，12÷2=6，這就是確定性的常數(shù)思維，而從方程式、幾何和函數(shù)開始，就已經(jīng)開始是變量思維了。 拿函數(shù)舉例：函數(shù)研究的是，輸入一個數(shù)，經(jīng)過函數(shù)運(yùn)算之后，產(chǎn)出一個數(shù)。反映出兩種變量之間的關(guān)系，其中一種變量隨著另一種變化。 函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=f（x），f是英文單詞function（功能），也就是說，我們可以把函數(shù)想像成為一個功能盒子：

（該圖引用自Coursera課程：Calculus:Single Variable） 只要你根據(jù)這個功能盒子的功能進(jìn)行相應(yīng)的輸入（入口放東西，也即自變量），就會得到相應(yīng)的輸出（因變量）。 很多孩子學(xué)函數(shù)學(xué)不明白，其實也是沒有真正理解函數(shù)的本質(zhì)。 其實，生活中處處是函數(shù)，也是處處可以用到函數(shù)的。 你去商場停車場，停的時間不一樣，停車費(fèi)也不一樣，那停車費(fèi)就是一個取決于停車時間的函數(shù)。 孩子向外扔一個球，扔的力度不同，距離不同，扔的距離就是一個取決于力度大小的函數(shù)。 所以數(shù)學(xué)上的任何知識，好的老師會讓孩子深入的知識背后的邏輯，以及要解決的問題。 無論小學(xué)數(shù)學(xué)，還是高中數(shù)學(xué)，都一定是要在理解的基礎(chǔ)上再去做題，加深理解，理解是目的，做題是手段，但很多時候，這個目的與手段搞反了。

建立體系，融會貫通 數(shù)學(xué)其實是一個結(jié)構(gòu)非常完美的大廈，大廈內(nèi)部樓梯交錯，知識點與知識點之間有交集、有分離，有纏繞。 就比如很多學(xué)生頭疼的幾何，其實再難的幾何題，最終都可以拆成五個最基本的公理。這五個公理，又可以推導(dǎo)出歐式幾何學(xué)的任何結(jié)論。 這五條公理就是： 1、由任意一點到另外任意一點可以畫直線（直線公理）；2、一條有限直線可以繼續(xù)延長；3、以任意點為心，以任意的距離（半徑）可以畫圓（圓公理）；4、凡直角都彼此相等（垂直公理）；5、過直線外的一個點，可以做一條，而且僅可以做一條該直線的平行線（平行公理）。 學(xué)生一定要學(xué)著從5個公理去推所有的定理，在歐式幾何基礎(chǔ)打扎實的情況下，到了解析幾何，其實就是將幾何轉(zhuǎn)移到二維或者三維的坐標(biāo)系中，幾何和代數(shù)又聯(lián)通了起來，運(yùn)用解析幾何這個工具，又可以幫助孩子更好的理解初中的方程，更好的學(xué)會解方程。 所以你看，孩子學(xué)數(shù)學(xué)，就跟孩子去一個巨大的游樂場玩一樣，孩子要對每一個地方（知識點）足夠熟悉，足夠了解，然后在這個基礎(chǔ)上具備對游樂場的宏觀認(rèn)識，明白可以從不同的路到達(dá)同一個終點。這就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里的建立體系，融會貫通。

最后，給大家一個比較籠統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)劃（比較籠統(tǒng)是說這是一個方向性的，家長要根據(jù)孩子具體的情況，加以細(xì)化）：

小學(xué)階段，不要花大量的時間超前學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在完全掌握了教科書內(nèi)容的基礎(chǔ)上，可以把更多的時間分配在語文和其他興趣的大量嘗試上（比如體育項目，樂器、畫畫，玩等等）。語文和閱讀是真的需要花很多時間積累并容易在后期量變引起質(zhì)變的，閱讀理解能力的提升對將來學(xué)習(xí)文理科都大有幫助。 初中階段，無論數(shù)學(xué)、語文還是興趣愛好都要加深一點難度，此時就需要深度學(xué)習(xí)，刻意練習(xí)。數(shù)學(xué)要開始多做一些題，但記住，做題是為了加深對基礎(chǔ)概念的理解，做題是手段，而不是目的。 高中階段，其實沒什么可說的了，小學(xué)和初中的底子能打好，高中按部就班的深度學(xué)習(xí)就可以。如果高中出現(xiàn)跟不上的情況，一定停下來花時間復(fù)盤是不是之前的哪塊磚頭沒鋪好，然后從這里開始重新學(xué)習(xí)，重新學(xué)習(xí)的時候一定要完全理解這個知識點，千萬不要越著急越往后趕，越著急越刷題，這樣其實就犯了方向性錯誤，努力半天，最終效果是負(fù)的，孩子家長干著急。

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