我們視線所及之處的空間似乎在朝著四面八方無限延伸，這不禁讓人遐想：宇宙究竟是什么形狀的？

目前，對宇宙的形狀有三種主要的假設(shè)：

1. 宇宙是平坦的，像紙張一樣；

2. 宇宙的曲率為正，像球體一樣；

3. 宇宙的曲率為負(fù)，像馬鞍一樣。

因此要探討宇宙的形狀，我們必須了解這三種不同的空間幾何。

 平面幾何學(xué) 

關(guān)于平面幾何學(xué)的故事，我們需要追溯到很久很久以前，當(dāng)歐幾里得首次將我們生活的世界的幾何原理公式化的時(shí)候。他在著作《幾何原本》中提出了5個(gè)幾何公設(shè)：

1. 任意兩點(diǎn)可以通過一直線連接；

2. 任意線段都能延伸成一直線；

3. 任意線段可以一個(gè)端點(diǎn)為圓心該線段為半徑作圓；

4. 所有直角都全等；

5. 若一條直線與兩條直線相交，使同側(cè)的兩角之和小于兩個(gè)直角，那么這兩條直線無限延伸必定相交。

19世紀(jì)，勒讓德證明了第5公設(shè)等價(jià)于“三角形內(nèi)角之和等于兩個(gè)直角。”這一公設(shè)下的幾何也被稱為“歐幾里得幾何”或“平面幾何”。在這種幾何中，兩條平行的直線永遠(yuǎn)不會相交，三角形的內(nèi)角和總是180度。與這種幾何相對應(yīng)的是曲率為0的平坦宇宙。

與前4條公設(shè)相比，第5條公設(shè)更加復(fù)雜。歐幾里得自己也隱約覺得，第5公設(shè)好像不似其他幾條那般完美。直到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家才終于找到了一個(gè)讓第5公設(shè)不成立的幾何學(xué)例子，證明了這個(gè)在2000多年的時(shí)間里一直被視為正確的公設(shè)，的確不完美。

這一發(fā)現(xiàn)也直接導(dǎo)致了非歐幾里得幾何的誕生。而這一發(fā)現(xiàn)也驚喜地促成了廣義相對論的誕生，徹底地顛覆了我們的宇宙觀。在非歐幾里得幾何空間中，無論宇宙是正向彎曲還是負(fù)向彎曲，事物都開始變得奇怪起來。

 球面幾何學(xué) 

當(dāng)宇宙的曲率為正時(shí)，兩條平行的曲線會向一個(gè)單點(diǎn)傾斜，與之對應(yīng)的是球面幾何，在這種幾何中，歐幾里得的第5公設(shè)失效了。

在這種幾何中，平面幾何中的“直線”變成了一個(gè)大圓，也就是由過球心的平面與球面的交線構(gòu)成的圓。球面上的三角形內(nèi)角和也不再等于180度，而是稍大于180度。

或許對于球面上的那些非常小的三角形來說，我們很難察覺到這一點(diǎn)。這是因?yàn)橐?/span>一個(gè)非常小的三角形的視角來看，球面幾乎是平坦的。這也是為何對于生活在地球這樣一個(gè)球面上的我們來說，卻用了如此長的時(shí)間才從平面幾何思維轉(zhuǎn)換到球面幾何。很顯然，當(dāng)討論的球面上的大三角形時(shí)，就能明顯察覺其內(nèi)角大于180度。

 雙曲幾何學(xué) 

當(dāng)宇宙的曲率為負(fù)時(shí)，意味著兩條平行的直線會永遠(yuǎn)發(fā)散，與之對應(yīng)的是雙曲線幾何。在雙曲線幾何中，歐幾里得的第5公設(shè)以和球面幾何類似卻又恰好反向的理由失效了，不過前4個(gè)公設(shè)在雙曲幾何中仍然成立。

與球面幾何相比，雙曲線幾何更難以被可視化。不同于球面幾何的向內(nèi)閉合，雙曲幾何是向外張開的。一種可被用來展示雙曲幾何的方法叫做龐加萊半平面模型（Poincaré half-plane model）。這個(gè)模型與“真實(shí)”的雙曲空間之間的關(guān)系，有點(diǎn)類似于平面地圖與球面世界之間的關(guān)系。舉個(gè)例子，駕駛一架飛機(jī)從北京直飛倫敦，那么在平面地圖上畫出的路線不會是直的，而是彎曲的。

在歐幾里得幾何中，圓的周長與半徑成正比；但在雙曲幾何中，圓周長與半徑成指數(shù)關(guān)系。如果放大雙曲圓盤的邊界，就會看到在那里堆積著大量的三角形。在雙曲幾何中，三角形的內(nèi)角是小于180度的。以龐加萊圓盤中的三角形為例，其內(nèi)角和為165度。

 宇宙的形狀 

了解不同幾何的性質(zhì)，對于思考宇宙的大尺度形狀至關(guān)重要。要了解宇宙的形狀，研究人員需要測量宇宙中物質(zhì)的密度。因?yàn)?span>根據(jù)愛因斯坦的廣義相對論，空間本身是可以被質(zhì)量彎曲的。因此，通過比較宇宙的臨界密度與實(shí)際密度，計(jì)算出宇宙的空間曲率，從而推斷宇宙是“開放的”、“閉合的”，還是“平坦的”。

如果宇宙的實(shí)際密度大于臨界密度，它就包含足夠多的質(zhì)量來最終阻止膨脹，那么這就是一個(gè)閉合的宇宙，有一個(gè)球形的形狀。如果宇宙的實(shí)際密度小于臨界密度，就意味著宇宙中沒有足夠的物質(zhì)來阻止宇宙的膨脹，宇宙會永遠(yuǎn)膨脹下去，這就是所謂的開放宇宙，其形狀會像馬鞍的表面一樣彎曲。但如果宇宙恰好包含了足夠的質(zhì)量使膨脹停止，它的實(shí)際密度將等于臨界密度，這種情況下，宇宙被認(rèn)為是平坦的。

這些問題的答案都“刻寫”在天空中，隱藏在從四面八方朝我們襲來的宇宙微波背景（CMB）輻射里。根據(jù)目前的CMB證據(jù)表明，平面幾何最有可能是正確的：研究人員測得，宇宙的曲率為0，這意味著可觀測宇宙基本上是平滑且均勻的，即空間的局部結(jié)構(gòu)在每個(gè)點(diǎn)和每個(gè)方向上看起來都一樣。

盡管如，在更大的尺度上，宇宙仍有可能是彎曲的，只是這超出了我們的感知范圍。就像站在大平上的我們可能會覺得地球是平的。而目前我們所知道的，只是可觀測的宇宙幾乎是平坦的。

研究宇宙的形狀其實(shí)是在為研究宇宙的起源提供線索，它同時(shí)也是我們推測宇宙的最終命運(yùn)的關(guān)鍵信息。它與宇宙中物質(zhì)的形狀和密度，以及暗能量的強(qiáng)度息息相關(guān)，而這一切都將最終決定宇宙是會在大擠壓中收縮回去，還是在熱寂中四散死亡。