“拒人問題”的數(shù)學模型

為了便于我們分析，讓我們把生活中各種復雜糾紛的戀愛故事抽象成一個簡單的數(shù)學過程。假設根據(jù)過去的經(jīng)驗，MM 可以確定出今后將會遇到的男生個數(shù)，比如說 15 個、30 個或者 50 個。不妨把男生的總人數(shù)設為 n。這 n 個男生將會以一個隨機的順序排著隊依次前來表白。每次被表白后，MM 都只有兩種選擇：接受這個男生，結束這場“征婚游戲”，和他永遠幸福地生活在一起；或者拒絕這個男生，繼續(xù)考慮下一個表白者。我們不考慮 MM 腳踏兩只船的情況，也不考慮和被拒男生破鏡重圓的可能。最后，男人有好有壞，我們不妨假設 MM 心里會給男生們的優(yōu)劣排出個名次來。

聰明的 MM 會想到一個好辦法：先和前面幾個男生玩玩，試試水深；大致摸清了男生們的底細后，再開始認真考慮，和第一個比之前所有人都要好的男生發(fā)展關系。從數(shù)學模型上說，就是先拒掉前面 k 個人，不管這些人有多好；然后從第 k 1 個人開始，一旦看到比之前所有人都要好的人，就毫不猶豫地選擇他。不難看出，k 的取值很講究，太小了達不到試的效果，太大了又會導致真正可選的余地不多了。這就變成了一個純數(shù)學問題：在男生總數(shù) n 已知的情況下，當 k 等于何值時，按上述策略選中最佳男生的概率最大？

如何求出最優(yōu)的 k 值？

對于某個固定的 k，如果最適合的人出現(xiàn)在了第 i 個位置（k

用 x 來表示 k/n 的值，并且假設 n 充分大，則上述公式可以寫成：

對 -x · ln x 求導，并令這個導數(shù)為 0，可以解出 x 的最優(yōu)值，它就是歐拉研究的神秘常數(shù)的倒數(shù)—— 1/e ！

也就是說，如果你預計求愛者有 n 個人，你應該先拒絕掉前 n/e 個人，靜候下一個比這些人都好的人。假設你一共會遇到大概 30 個求愛者，就應該拒絕掉前 30/e ≈ 30/2.718 ≈ 11 個求愛者，然后從第 12 個求愛者開始，一旦發(fā)現(xiàn)比前面 11 個求愛者都好的人，就果斷接受他。由于 1/e 大約等于 37%，因此這條愛情大法也叫做 37% 法則。

不過，37% 法則有一個小問題：如果最佳人選本來就在這 37% 的人里面，錯過這 37% 的人之后，她就再也碰不上更好的了。但在游戲過程中，她并不知道最佳人選已經(jīng)被拒，因此她會一直癡癡地等待。也就是說，MM 將會有 37% 的概率“失敗退場”，或者以被迫選擇最后一名求愛者的結局而告終。

37% 法則“實測”！

37% 法則的效果究竟如何呢？我們在計算機上編寫程序模擬了當 n = 30 時利用 37% 法則進行選擇的過程（如果 MM 始終未接受求愛者，則自動選擇最后一名求愛者）。編號越小的男生越次，編號為 30 的男生則表示最佳選擇。程序運行 10000 次之后，竟然有大約 4000 次選中最佳男生，可見 37% 法則確實有效啊。

計算機模擬 10000 次后得到的結果