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最小作用量原理喜歡對(duì)稱性

 victor_ding 2020-04-10

物理學(xué)中有一些規(guī)律屬于基本定律,它們具有支配全局的性質(zhì),掌握 它們顯然是極端重要的。例如力學(xué)中的牛頓運(yùn)動(dòng)定律是質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)組機(jī)械運(yùn)動(dòng)(非相對(duì)論)的基本定律,電磁學(xué)的麥克斯韋方程組是電磁場(chǎng)分布、變化的基本定律, 物理學(xué)中還有另外一種基本定律的表述形式,這就是最小作用量原理,它可表述為系統(tǒng)的各種相鄰的經(jīng)歷中,真實(shí)經(jīng)歷使作用量取極值。可以看出最小作用量原理的表述形式與牛頓運(yùn)動(dòng)定律、麥克斯韋方程組的表述形式極不相同。

  • 牛頓運(yùn)動(dòng)定律告訴我們,質(zhì)點(diǎn)此時(shí)此刻的加速度由它此時(shí)此刻所受的力和它的質(zhì)量的比值決定。

  • 麥克斯韋方程組告訴我們,此時(shí)此刻的電場(chǎng)分布由此時(shí)此刻的電荷分布以及此時(shí)此刻的磁場(chǎng)的變化決定,此時(shí)此刻的磁場(chǎng)分布由此時(shí)此刻的電流分布以及此時(shí)此刻的電場(chǎng)的變化決定,它們以微分方程式的形式出現(xiàn),指明所研究系統(tǒng)(質(zhì)點(diǎn)或場(chǎng))的狀態(tài)在其真實(shí)經(jīng)歷中是如何隨時(shí)間變化的。

  • 最小作用量原理則告訴我們,系統(tǒng)的各種可能的經(jīng)歷中,真實(shí)的經(jīng)歷總是使作用量取極值。

牛頓運(yùn)動(dòng)定律和麥克斯韋方程組把注意力集中在每一時(shí)刻系統(tǒng)所處的狀態(tài),而最小作用量原理則是總觀系統(tǒng)的各種可能的經(jīng)歷,并用作用量取極值挑選出真實(shí)的經(jīng)歷來(lái)。可以看出牛頓運(yùn)動(dòng)定律和麥克斯韋方程組比較具體細(xì)致,而最小作用量原理則比較抽象含蓄。

正是由于最小作用量原理比較抽象含蓄,它概括的面才更廣泛,不僅適用于機(jī)械運(yùn)動(dòng)(非相對(duì)論)場(chǎng)合,可以導(dǎo)出牛頓運(yùn)動(dòng)定律;而且也適合于電磁場(chǎng)場(chǎng)合,可以導(dǎo)出麥克斯韋方程組;甚至它還可以適合其他場(chǎng)合,導(dǎo)出物理學(xué)其他領(lǐng)域的基本定律。可見最小作用量原理才稱得上綜合整個(gè)物理學(xué)真正的基本定律。

根據(jù)最小作用量原理導(dǎo)出各個(gè)領(lǐng)域的具體基本定律的方法,先找出系統(tǒng)不同經(jīng)歷的作用量來(lái),然后從中選擇出相對(duì)鄰近的經(jīng)歷作用量取極值,它就是真實(shí)的經(jīng)歷,其中隱含了系統(tǒng)變化的基本定律。在這里,要找出相同經(jīng)歷的作用量,對(duì)稱性分析起著決定性的作用,對(duì)稱性制約物理定律的形式也得到了最好的體現(xiàn)。

如果一個(gè)研究領(lǐng)域內(nèi)的全部對(duì)稱性已經(jīng)清楚,則作用量可以完全被確定,從而也就可以得出這個(gè)領(lǐng)域的基本定律。例如在非相對(duì)論力學(xué)范圍內(nèi),根據(jù)空間各向同性、空間平移不變性、時(shí)間平移不變性和伽利略變換不變性,可以找出作用量等于系統(tǒng)的動(dòng)能減去勢(shì)能對(duì)經(jīng)歷的累加,由此可導(dǎo)出牛頓運(yùn)動(dòng)定律。

由于存在最小作用量原理,對(duì)稱性在物理基礎(chǔ)研究中顯示出其重要的地位。物理學(xué)家通過(guò)對(duì)稱性分析找出不同經(jīng)歷的作用量,從而確定具體領(lǐng)域的基本定律。物理學(xué)家們研究一個(gè)新的領(lǐng)域,常常是試探地分析其中的對(duì)稱性,在描述這個(gè)世界的作用量公式中增加一些描述新領(lǐng)域的項(xiàng),從而得到該領(lǐng)域的新的基本定律。

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