數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)理邏輯方法與數(shù)學(xué)語(yǔ)言建構(gòu)的科學(xué)或工程模型，它是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式、程序、圖形等對(duì)實(shí)際問(wèn)題本質(zhì)屬性的抽象而又簡(jiǎn)潔的刻畫(huà)。數(shù)學(xué)模型或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義上的最優(yōu)策略或較好策略。數(shù)學(xué)模型以其清晰簡(jiǎn)捷、易于操作的數(shù)學(xué)表達(dá)式，可明確表達(dá)事物發(fā)展過(guò)程中各變量之間的關(guān)系。

數(shù)學(xué)模型大致可分為兩類：正演數(shù)學(xué)模型和反演數(shù)學(xué)模型。正演數(shù)學(xué)模型是根據(jù)各變量之間的某種關(guān)系建立方程或方程組，通過(guò)對(duì)方程或方程組的求解得到數(shù)學(xué)模型；反演數(shù)學(xué)模型是根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)，通過(guò)某種方法尋求能符合或基本符合這些實(shí)際數(shù)據(jù)的某些數(shù)學(xué)表達(dá)式，以此來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。建模的求解可采用解方程、畫(huà)圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)。

此外，數(shù)學(xué)模型所表達(dá)的內(nèi)容可以是定量的，也可以是定性的，但必須以定量的方式體現(xiàn)出來(lái)。它實(shí)際上是人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一種模擬或反映形式，因此與現(xiàn)實(shí)世界的原型有一定“相似性”，抓住與原型相似的數(shù)學(xué)表達(dá)式或數(shù)學(xué)理論就是建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵性技巧。

人們可根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)它進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問(wèn)題。1993年，中國(guó)科學(xué)家、未來(lái)學(xué)家周海中教授在《21世紀(jì)數(shù)學(xué)展望》一文中指出：“數(shù)學(xué)模型在今后將顯得越來(lái)越重要?！睌?shù)學(xué)模型當(dāng)前已應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，并起著十分重要的作用。

例如在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，人們利用數(shù)學(xué)建模預(yù)測(cè)傳染病的流行過(guò)程，尤其是疫情拐點(diǎn)。拐點(diǎn)是一個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，又稱反曲點(diǎn)，即曲線的凸凹分界點(diǎn)。若從函數(shù)圖像上來(lái)講，它所表示的幾何意義是函數(shù)的上升或下降的變化速率。拐點(diǎn)在日常生活中借指事物發(fā)展的“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”。而疫情得到控制、疑似感染數(shù)下降、發(fā)病數(shù)下降等是拐點(diǎn)出現(xiàn)的主要標(biāo)志，對(duì)人們判斷疫情走勢(shì)以及做出決策具有重大參考意義。

新冠肺炎疫情期間，有不少研究人員根據(jù)各類數(shù)據(jù)，并利用數(shù)學(xué)建模預(yù)測(cè)疫情拐點(diǎn)，為打贏這場(chǎng)疫情防控阻擊戰(zhàn)提供了有力科技支撐。近日，美國(guó)計(jì)算生物學(xué)家邁克爾·萊維特教授利用自己建立的數(shù)學(xué)模型，對(duì)一些疫情嚴(yán)重國(guó)家的拐點(diǎn)問(wèn)題做了預(yù)測(cè)。他認(rèn)為，意大利、伊朗的拐點(diǎn)可能即將到來(lái)。

數(shù)學(xué)模型是一種分析和預(yù)測(cè)的工具，它根據(jù)已有數(shù)據(jù)和信息進(jìn)行推測(cè)，結(jié)論相對(duì)準(zhǔn)確可靠。但是也須明白，所有數(shù)學(xué)模型目前都具有一定局限性，甚至在某些方面尚存在一定缺陷——這就是為什么我們至今仍然無(wú)法得出疫情拐點(diǎn)的確切日期。

（作者：美國(guó)布朗大學(xué)數(shù)理學(xué)院副教授 鄧 超）