 “集智百科精選”是一個長期專欄，持續(xù)為大家推送復雜性科學相關的基本概念和資源信息。作為集智俱樂部的開源科學項目，集智百科希望打造復雜性科學領域最全面的百科全書，歡迎對復雜性科學感興趣、熱愛知識整理和分享的朋友加入！ 今天分享復雜性科學領域里面一個非常本質(zhì)的理論：混沌理論。本文將介紹混沌理論的基本概念，相關概念，著名學者，一些學習資源推介，供大家深入學習。 目錄 一、什么是混沌理論？ 二、混沌理論的相關概念 三、混沌理論的幾個典型示例 四、相關資源推薦 五、集智百科詞條志愿者招募 1、什么是混沌理論？“南美洲一只蝴蝶扇一扇翅膀，就可能會在佛羅里達引起一場颶風?！毕氡卮蠹覍@樣一句話都不陌生，這里描述的就是一種典型的混沌現(xiàn)象：蝴蝶效應。 混沌是一個由非線性效應引起的一個相當獨特的現(xiàn)象，具有對初值的敏感性、無周期性、長期不可預測性以及分形性和普適性等特點?；煦缋碚搫t是研究這一類典型現(xiàn)象的理論，是系統(tǒng)從有序突然變?yōu)闊o序狀態(tài)的一種演化理論，是對確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的內(nèi)在“隨機過程”形成的途徑、機制的研討。 2.混沌的重要概念混沌邊緣（Edge of chaos） 混沌邊緣（Edge of chaos）是一個用來形容由計算機科學家克里斯托弗·朗頓發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。最開始該現(xiàn)象被用來描述一個變量λ的一段取值范圍，該變量是作為細胞自動機的一個參數(shù)。當λ變化，細胞自動機的行為會產(chǎn)生相變。克里斯托弗·朗頓（Christopher Langton)發(fā)現(xiàn)λ的某一小段取值可以使細胞自動機具有通用計算的能力。根據(jù)λ的連續(xù)變化能夠得到四種細胞自動機之間的過渡轉(zhuǎn)化圖景即：固定點->周期->復雜->混沌，因此我們說，復雜的結構誕生于混沌的邊緣。
吸引子（Attractor） 吸引子（Attractor）是微積分和系統(tǒng)科學論中的一個概念。一個系統(tǒng)有朝某個穩(wěn)態(tài)發(fā)展的趨勢，這個穩(wěn)態(tài)就叫做吸引子。吸引子分為平庸吸引子和奇異吸引子。例如一個鐘擺系統(tǒng)，它有一個平庸吸引子，這個吸引子使鐘擺系統(tǒng)向停止晃動的穩(wěn)態(tài)發(fā)展。而不屬于平庸的吸引子的都稱為奇異吸引子，它表現(xiàn)了混沌系統(tǒng)中非周期性，無序的系統(tǒng)狀態(tài)，例如洛倫茲吸引子（Lorenz oscillator）。  圖1：二維相空間中的點吸引子 非線性系統(tǒng)（Nonlinear System） 非線性就是和線性相對，線性是指成比例，而非線性則指輸入和輸出不成比例，比如拋物線就是非線性的。在復雜系統(tǒng)中，非線性是最重要的特性之一。 在物理科學中，如果描述某個系統(tǒng)的方程其輸入（自變數(shù)）與輸出（應變數(shù)）不成正比，則稱為非線性系統(tǒng)。自然界中大部分的系統(tǒng)本質(zhì)上都是非線性的，非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)最大的差別在于，非線性系統(tǒng)可能會導致混沌、不可預測，或是不直觀的結果，混沌來源于非線性。 費根鮑姆常數(shù) （Feigenbaum Constants） 費根鮑姆常數(shù)（Feigenbaum Constants）是新近發(fā)現(xiàn)的、且在學術界認定的一個普適常數(shù)，這個常數(shù)與“混沌現(xiàn)象”有關。 1975年，費根鮑姆用HP-65計算器計算，發(fā)現(xiàn)倍周期分岔（period-doubling bifurcations）發(fā)生時的參數(shù)之間的差率是一個常數(shù)，并且還進一步揭示了該常數(shù)廣泛適用于數(shù)學領域，這個普適的結論讓數(shù)學家們能夠在對表像不可捉摸的混沌系統(tǒng)的解密道路上邁出了第一步。為了紀念這個突出的貢獻，人們通常稱這個“極限率”（ratio of convergence）為費根鮑姆常數(shù)。  圖2：費根鮑姆常數(shù)圖例 邏輯斯諦克映射（Logistic Map） 邏輯斯諦克映射（Logistic Map）是研究動力系統(tǒng)、混沌、分形等復雜系統(tǒng)行為的一個經(jīng)典模型。邏輯斯諦克映射又叫邏輯斯諦克迭代，其實就是一個時間離散的動力系統(tǒng)，按照如下方程進行反復迭代：  該模型可以用來模擬生物種群的生長行為，其中x(t)可以解釋為在t時刻種群占最大可能種群規(guī)模的比例。當μ超過一定的閾值時，就會發(fā)生混沌現(xiàn)象。 關于邏輯斯諦克迭代的起源和推導過程，以及邏輯斯諦克迭代和混沌的關系，張江老師的在復雜性思維第二課中有詳細的介紹。
3.混沌理論的幾個典型示例蝴蝶效應（Butterfly effect） 蝴蝶效應（Butterfly effect）是指對初值敏感的一類混沌現(xiàn)象。1961年美國氣象學家愛德華·洛倫茲在模擬大氣中空氣流動的數(shù)學模型，在進行第二次計算時，直接輸入前一次模擬結果的數(shù)據(jù)，卻與第一次完全不同，檢查后發(fā)現(xiàn)是因為受限于計算機的精度，導致二次輸入數(shù)值的精確位數(shù)不同，后來他對這一現(xiàn)象做了縝密的推理研究，發(fā)表的“確定性非周期流”一文，揭示了混沌的初值敏感特性。 三體問題（Three-body Problem） 三體問題（Three-body Problem）是天體力學中的基本力學模型。它是指三個質(zhì)量、初始位置和初始速度都是任意的可視為質(zhì)點的天體，在相互之間萬有引力的作用下的運動規(guī)律問題。 1887年，瑞典國王奧斯卡二世為了祝賀自己的60歲壽誕贊助了一項競賽，征求太陽系的穩(wěn)定性問題的解答（三體問題的變式）。法國數(shù)學家龐加萊指出三體問題不能精確求解，成了第一個發(fā)現(xiàn)混沌確定系統(tǒng)的人，并為現(xiàn)代的混沌理論打下了基礎。  圖3：三體問題示例 3. 知名學者簡介詹姆士·約克 James A. Yorke  圖4：詹姆士·約克 James A. Yorke 馬里蘭大學物理科技所數(shù)學與物理學杰出校聘教授，美國數(shù)學家和理論物理學家，馬里蘭大學學院市分校數(shù)學和物理和數(shù)學系前任系主任。在1975年與李天巖一同發(fā)表的一篇題為《周期三則混沌》（Period Three Implies Chaos）論文中創(chuàng)造了混沌這個數(shù)學術語。 米切爾·費根鮑姆 Mitchell J. Feigenbaum  圖5：米切爾·費根鮑姆 Mitchell J. Feigenbaum 美國數(shù)學物理學家，康奈爾大學教授，洛克菲勒大學教授，混沌理論的先驅(qū)，費根鮑姆常數(shù)的發(fā)現(xiàn)者，1975年8月，他就是拿著計算器而發(fā)現(xiàn)一個和混沌、單峰映象的周期點有關的數(shù)，即后來的費根鮑姆常數(shù)，之后發(fā)現(xiàn)了分析在地圖學的應用。 愛德華·諾頓·洛倫茲 Edward Norton Lorenz  圖6：愛德華·諾頓·洛倫茲 Edward Norton Lorenz 美國數(shù)學與氣象學家?；煦缋碚撝?，蝴蝶效應的發(fā)現(xiàn)者。1963年獲美國氣象學會邁辛格獎。 李天巖 Tien-Yien Li  圖7：李天巖 Tien-Yien Li 生于中國福建省的美籍數(shù)學家，密歇根州立大學杰出數(shù)學教授。1974年在馬里蘭大學取得博士學位，他和詹姆士·約克合寫的論文《周期三則混沌》（Period Three Implies Chaos），是混沌動力系統(tǒng)的重要論文。這個研究結果是沙可夫斯基定理（Sharkovskii's theorem）的特殊情況。 陳關榮 Guanrong Chen  圖8：陳關榮 Guanrong Chen 香港城市大學教授，國內(nèi)外多所知名大學客座教授。在混沌控制及分岔理論分析與應用方面做出奠基性貢獻而被選為國際電子工程學會(IEEE) Fellow。 5.相關資源推薦書籍： 混沌與分形：簡介 Chaos and Fractals: An Elementary Introduction 這本書為讀者提供了對混沌和分形的基本介紹，適合沒有學習微積分或物理學但具有初等代數(shù)背景的學生。此書通過簡單迭代函數(shù)介紹了混沌的重要現(xiàn)象——非周期性、對初始條件的敏感依賴性、分岔現(xiàn)象。本書還闡釋了二維動力系統(tǒng)，奇異吸引子，元胞自動機，和混沌微分方程等概念。
混沌與分形 Chaos and Fractals
混沌與時間序列分析 Chaos and Time-series Analysis 此書介紹混沌的發(fā)展和非線性動力學的有關主題內(nèi)容，包括檢測和實驗數(shù)據(jù)中的混沌量化，分形和復雜系統(tǒng)。涉及非線性動力學中絕大多數(shù)重要的基本概念，重點闡述了物理概念和效用結果，而不是在數(shù)學上進行證明和推導。
混沌：創(chuàng)造新的科學 Chaos: Making a new science 本書并沒有嘗試去解釋Julia集合、洛倫茲吸引子和龐大復雜的Mandelbort集合，而是依靠草圖、照片和作者精彩的描述性散文來構成了整本書的內(nèi)容。在本書中讀者會遇到許多非凡而又古靈精怪的人。例如，米切爾·費根鮑姆 Mitchell J. Feigenbaum，他用一個26小時的時鐘構建和調(diào)整自己的生活，并且觀察他醒著的時間與他在洛斯阿拉莫斯國家實驗室的同事的時間是否相同。
涌現(xiàn)：從混沌到有序 Emergence: From Chaos to Order 本書作者約翰·霍蘭德（John H. Holland）是當今最具有創(chuàng)新意識的思想家之一，在本書中，作者比較了顯示涌現(xiàn)現(xiàn)象的不同系統(tǒng)和模型，展現(xiàn)了它們之間共同的規(guī)則或規(guī)律，講述了從“蘊含著規(guī)范、能夠生成像巨大的紅杉和普通的雛菊那樣復雜而獨特結構”的微小種子，到能夠通過自學習在西洋跳棋游戲中讓設計者一敗涂地的計算機；從能夠修建橋梁、跨越深溝和駕馭樹葉之舟在溪流上航行的蟻群，到詩人充滿感情的創(chuàng)作等涌現(xiàn)現(xiàn)象的具體表現(xiàn)。
課程： 復雜性思維：從混沌開始
其他推薦： 小說：劉慈欣 《三體》 電影：《蝴蝶效應》 、《羅拉快跑》 記錄片：神秘的混沌理論 Documentary: The mysterious theory of chaos
5.集智百科詞條志愿者招募以上內(nèi)容都是我們做這項目的起點，作為來自不同學科和領域的志愿者，我們建立起一個有效的百科團隊，分配有審校、翻譯、編輯、宣傳等工作。我們秉持：知識從我而來，問題到我為止的信念，認真負責編撰每一個詞條。 在這里從復雜性知識出發(fā)與伙伴同行，同時我們希望有更多志愿者加入這個團隊，使百科詞條內(nèi)容得到擴充，并為每位志愿者提供相應獎勵與資源，建立個人主頁與貢獻記錄，使其能夠繼續(xù)探索復雜世界。 作為百科項目志愿者，希望你能在興趣驅(qū)動下，找到對應內(nèi)容，使其變成一個可被大家廣泛學習科學詞條。上述待建立詞條共計15條，如果大家有意愿參與這個開源科學項目，請掃描下方二維碼添加我們的負責人。 參考資料： [1]吸引子 維基百科 : https://en./wiki/Attractorm [2]混沌邊緣 維基百科: https://en./wiki/Edge_of_chaos [3]非線性系統(tǒng) 百度百科 : https://baike.baidu.com/item/%E9%9D%9E%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%B3%BB%E7%BB%9F/354475?fr=aladdin [4] 費根鮑姆常數(shù) 維基百科 https://en./wiki/Feigenbaum_constants [5] Logistic Map 維基百科 https://en./wiki/Logistic_map [6]三體問題，維基百科 https://en./wiki/Three-body_problem [7] 蝴蝶效應 維基百科 https://en./wiki/Butterfly_effect [8] 混沌邊緣 http://math./eck/js/edge-of-chaos/CA.html
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