【高考數(shù)學(xué)】干貨 | 解立體幾何添加輔助線的技巧

昵稱35770483 2020-03-12

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添加輔助線——求角問題

解決異面直線夾角、線面角、二面角、面面垂直的問題時(shí)，通常需要結(jié)合定義法求解，可是題目往往不會(huì)那么好心的為我們給出滿足定義的所有條件，此時(shí)就需要添加輔助線，使已知條件滿足某個(gè)定義，即把定義中缺少的線、面、體補(bǔ)全，所以理解并熟知立體幾何當(dāng)中的定義、概念很重要．總結(jié)一下就是：按照定義條件作輔助線湊條件．

定義法作輔助線求異面直線所成的角

定義法作輔助線求線面角

定義法作輔助線求二面角

上述各例都是利用定義法作平行線和垂線，湊足條件后利用定義找到相應(yīng)的角，結(jié)合解三角形得到相應(yīng)的答案．、

添加輔助線—證明平形&垂直問題

證明空間中的平行和垂直問題利用定義法一般較為麻煩，通常采用判定定理和性質(zhì)定理。

來證明，利用定理作出輔助線，構(gòu)造定理使用的條件．故定理法作輔助線即找滿足定理的條件，核心為作平行線和垂線．

添加平行線的策略

把不在一起的線集中到一個(gè)圖形中，構(gòu)造三角形、梯形的中位線，平行四邊形、矩形、菱形的對邊等，通過圖形性質(zhì)就可得到所需的平行關(guān)系．

添加垂線的策略

立體幾何中的許多定理是與垂線有關(guān)的，如三垂線定理，線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，正棱柱、正棱錐的性質(zhì)，球的性質(zhì)等，所以運(yùn)用這些定理，就需要作輔助線把沒有的垂線補(bǔ)全．尤其要注意平面的垂線，因?yàn)橛辛似矫娴拇咕€，才能建立空間直角坐標(biāo)系和使用三垂線定理或其逆定理．

作垂線方法：等腰三角形或正三角形取底邊中點(diǎn)，連接頂點(diǎn)和中點(diǎn)；連接正方形、菱形的對角線；直立方體，可連接上下面中心；構(gòu)造勾股定理等構(gòu)造垂直關(guān)系．

三、割補(bǔ)法添加輔助線解決三視圖或求體積、表面積問題

幾何體的三視圖，常?？梢钥醋魇怯苫編缀误w(如正方體、長方體)切割出的幾何體的三視圖，作直觀圖時(shí)，可以畫出正方體(或長方體)，在此基礎(chǔ)上切割并想象三視圖得到所需幾何體的直觀圖．利用輔助線或輔助面，通過“割”或 “補(bǔ)”把一些線面關(guān)系放到一些特殊的幾何體中思考，或把原幾何體分割成幾個(gè)特殊的常見的簡單幾何體，使各種線、面關(guān)系易于理解．

四、中心對稱問題中的對稱連線法

當(dāng)遇到對稱幾何體或幾何面的問題時(shí)，如球、正三棱錐、立方體、圓、正三角形、矩形、平行四邊形等，根據(jù)題意可以把對稱幾何體或幾何面的中心幾何面的外心、內(nèi)心、垂心、重心和所求問題涉及的點(diǎn)線面連接起來，然后利用幾何體或面的性質(zhì)求解問題．例如平行四邊形連對角線；圓的問題向圓心連線；球的問題向球心連線等，使問題簡單易解．

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