很多時(shí)候，我們現(xiàn)在看來(lái)似乎自然而然的數(shù)學(xué)概念，其實(shí)在蓋棺定論以前，我們的前輩們都爭(zhēng)得不可開交，場(chǎng)面一度慘烈到失控。比如現(xiàn)在微積分的基礎(chǔ)性概念——極限，就曾經(jīng)讓牛頓自己也難圓其說(shuō)，不過(guò)好在最終有一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師給出了最精準(zhǔn)的定義，微積分才成為毫無(wú)破綻的科學(xué)，也讓那些深刻嘲諷微積分的人徹底閉上了嘴。

極限概念古已有之

偉大數(shù)學(xué)家 阿基米德

很久以前，人們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算時(shí)就開始不自覺地用到了極限的知識(shí)。比如古希臘的阿基米德，他曾經(jīng)得到球體積計(jì)算公式，他是基于力學(xué)中的杠桿原理來(lái)求解的。但是在用杠桿原理之前，他還是考慮過(guò)將同底等高的球和圓錐體進(jìn)行切割，使得每個(gè)截面都相同，然后得出圓錐和球體積之間的數(shù)量關(guān)系，最后才最終得到了正確的球體積公式。

阿基米德求球體積公式過(guò)程

阿基米德雖然從頭到尾都沒有提到過(guò)極限的概念，也并未對(duì)這個(gè)概念進(jìn)行系統(tǒng)的研究。但是他的很多數(shù)學(xué)成果里都有不少關(guān)于極限的痕跡，事實(shí)上，阿基米德也是古希臘對(duì)極限玩得最好的數(shù)學(xué)家，基于這個(gè)前提，他求出了許多當(dāng)時(shí)看起來(lái)難度非常大的問題。他不僅得到了球的體積公式，還知道了球的表面積是其最大截面積的4倍，他還求出過(guò)橢圓以及拋物線的面積，這在當(dāng)時(shí)能算出規(guī)則圖形面積就算個(gè)數(shù)學(xué)家的時(shí)代實(shí)在是太過(guò)偉大了。

中國(guó)古代最偉大數(shù)學(xué)家 劉徽

那么在古代中國(guó)呢？不少著作里也都出現(xiàn)了極限的萌芽概念。比如《莊子》里《天下》篇里說(shuō)到“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！币馑际钦f(shuō)，一個(gè)一尺多長(zhǎng)的棍子，每天都砍掉一半，那么永遠(yuǎn)也不能把這個(gè)棍子徹底砍完。因?yàn)檫@個(gè)極限無(wú)限趨近于0，但是永遠(yuǎn)都不會(huì)是0。

哲學(xué)上的有點(diǎn)玄乎，那就來(lái)點(diǎn)數(shù)學(xué)上的干貨。我國(guó)魏晉期間的偉大數(shù)學(xué)家劉徽，創(chuàng)立了割圓術(shù)來(lái)求圓周率，用了圓外切正多邊形和內(nèi)接正多邊形的左右逼近來(lái)接近這個(gè)真實(shí)圓的面積。當(dāng)邊數(shù)少的時(shí)候可能誤差很大，但是當(dāng)正多邊形越來(lái)越大時(shí)，很明顯就能看出來(lái)內(nèi)外正多邊形夾攻真正的圓。這個(gè)過(guò)程可以永遠(yuǎn)進(jìn)行下去，只要毅力足夠，那么圓周率就會(huì)越來(lái)越精確。劉徽當(dāng)時(shí)把圓周率的數(shù)值計(jì)算到了3.1416，這個(gè)與真實(shí)值只有萬(wàn)分之一的差距了。后來(lái)，祖沖之發(fā)揚(yáng)了劉徽的割圓術(shù)，百尺竿頭，更進(jìn)一步，把圓周率推算到了3.1415926和3.1415927之間，誤差在千萬(wàn)分之一以內(nèi)。毫無(wú)疑問，這是一個(gè)相當(dāng)牛逼的成就了。

劉徽創(chuàng)立之割圓術(shù)

不過(guò)奇怪的是，無(wú)論阿基米德，劉徽還是祖沖之都是在默認(rèn)地使用著極限這個(gè)數(shù)學(xué)概念，卻又沒有系統(tǒng)地表達(dá)對(duì)于極限的深究，仿佛有意避開這個(gè)命題一般。不過(guò)那個(gè)時(shí)代數(shù)學(xué)水平也不是特別高，對(duì)于極限，大家都是不清不楚的，默默使用倒也相安無(wú)事。

微積分其實(shí)不完善

然而古人的這個(gè)偷懶卻早晚是要后世的數(shù)學(xué)家來(lái)還的，這一切都是要從微積分的發(fā)展說(shuō)起。話說(shuō)牛頓和萊布尼茨兩位大師，費(fèi)盡千辛萬(wàn)苦在17世紀(jì)發(fā)明了微積分，這個(gè)數(shù)學(xué)史上最厲害的分析工具。使得人們對(duì)數(shù)學(xué)的研究從常量數(shù)學(xué)跨越到變量數(shù)學(xué)的領(lǐng)域，同時(shí)這也是古代數(shù)學(xué)與近代數(shù)學(xué)的分水嶺。

牛頓大師

以往許多看似不可能解決的問題在微積分面前不值一提，只要你稍微掌握幾個(gè)微積分的計(jì)算公式，穿越回去的時(shí)代，稍微出手，就可以得到在那個(gè)時(shí)代看起來(lái)都是劃時(shí)代的數(shù)學(xué)成果。微積分的發(fā)明的確是讓數(shù)學(xué)發(fā)展到了新天地，然而這套偉大的理論仍然是有瑕疵的。

萊布尼茨大師

比如微積分在處理無(wú)窮小和極限的問題時(shí)，含糊不清，甚至自相矛盾。比如在微分學(xué)有個(gè)洛必達(dá)法則，這是求分式極限的一個(gè)很好用的工具。

洛必達(dá)法則

尤其是對(duì)于上述第一種情況，人們就是不理解，為什么這里的分母明明是無(wú)限趨近于0了，那就是等于0了，既然都等于0了，為什么這個(gè)分式還能求出極限值來(lái)，難道這個(gè)式子不應(yīng)該是沒有意義嗎？這個(gè)漏洞，牛頓本人也難以解釋，他在創(chuàng)立微分學(xué)里引用的是運(yùn)動(dòng)學(xué)中的例子，平均速度v是路程的增量ΔS與時(shí)間增量Δt的比值。當(dāng)這個(gè)時(shí)間增量Δt趨近于0時(shí)，平均速度也就成了瞬時(shí)速度。牛頓此時(shí)意識(shí)到了極限這個(gè)概念的重要之處，但是他的物理學(xué)背景實(shí)在太深。

牛頓難以自圓其說(shuō)

于是牛頓定義：

“兩個(gè)量和量之比，如果在有限時(shí)間內(nèi)不斷趨于相等，且在這一時(shí)間終之前互相靠近，使得其差小于任意給定的差，則最終就成為相等?！?/p>

這段白話似乎讓任何一個(gè)沒有多少數(shù)學(xué)常識(shí)的人都可以挺懂，但是這在數(shù)學(xué)上確實(shí)漏洞百出。牛頓是何許人也，他可是英國(guó)皇家學(xué)會(huì)院長(zhǎng)，他的理論肯定會(huì)遭到最審核的審核和論證。由于牛頓自己也難以解釋全部的微積分奧秘，尤其在無(wú)窮小這個(gè)概念的處理上。這下有好戲看了，許多人開始質(zhì)疑。

牛頓表示壓力很大

你說(shuō)速度是路程增量ΔS與時(shí)間增量Δt之比，當(dāng)時(shí)間增量Δt等于0時(shí)，就是瞬時(shí)速度，那這個(gè)Δt到底是不是0？如果是0，又怎么可以放在分母上呢？如果不是0，為什么你在某些計(jì)算場(chǎng)合下會(huì)自動(dòng)地將這不是0的微小部分給去掉呢？說(shuō)到底人們還是在懷疑，微積分在對(duì)于無(wú)窮小量的處理是否仍然存在著特殊的技巧，時(shí)而可以把無(wú)窮小當(dāng)做0，時(shí)而又不可以作為0。英國(guó)大主教貝克萊對(duì)微積分的攻擊最為猛烈，他說(shuō)微積分的推導(dǎo)是“分明的詭辯”，用了錯(cuò)誤的思想和錯(cuò)誤的方法得到了正確的結(jié)果而已。

主教 貝克萊是牛頓最怕的噴子

其實(shí)大家的擔(dān)心也是有道理的，大家對(duì)無(wú)窮小和極限這兩個(gè)概念感到深深的恐懼。以至于微積分的歷史地位開始動(dòng)搖了，大家都怕有類似蝴蝶效應(yīng)的情況出現(xiàn)。這里只是用蝴蝶效應(yīng)來(lái)表達(dá)一下當(dāng)時(shí)人們對(duì)于無(wú)窮小量的恐懼，蝴蝶效應(yīng)并不是從那個(gè)時(shí)代就有了。1961年，美國(guó)氣象學(xué)家愛德華·羅倫茲用計(jì)算機(jī)來(lái)模擬一個(gè)大氣環(huán)流的數(shù)學(xué)模型，他在前后兩次的初始值只相差千分之一，可是到最后計(jì)算的結(jié)果卻是完全不同。等于初始情況下的一丁點(diǎn)差異都可能造成結(jié)果完全不一樣，那個(gè)時(shí)候的人們就是怕這么一丁點(diǎn)的差距，造成計(jì)算結(jié)果全部錯(cuò)誤。

初始微小差距引起結(jié)果巨大不同

人們開始努力定義極限

達(dá)朗貝爾

看來(lái)這個(gè)極限的漏洞再不堵上，勢(shì)必會(huì)造成微積分學(xué)的崩塌。在歷史上，我們通常把關(guān)于極限與無(wú)窮小量的爭(zhēng)論叫作第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。18世紀(jì)時(shí)，達(dá)朗貝爾等人一致同意必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)性概念，達(dá)朗貝爾也給出了自己對(duì)于極限的定義：

“一個(gè)量是另一個(gè)量的極限，假如第二個(gè)量比任意給定的值更為接近第一個(gè)量?！?/p>

這仍然是不夠到位的，表面上來(lái)看，這是一個(gè)幾何直觀的定義，仍然沒有能從根本解決上面關(guān)于Δt似零非零的問題，這仍然需要改進(jìn)。

柯西大師也出手了，他解決了無(wú)窮小量是否應(yīng)該等于0的問題。

柯西大師

“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無(wú)限趨于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個(gè)定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值（絕對(duì)值）無(wú)限地減小使之收斂到極限0，就說(shuō)這個(gè)變量成為無(wú)窮小。”

這段定義看起來(lái)相當(dāng)冗余繁雜，但是卻給出一個(gè)正確的信息，無(wú)窮小是一個(gè)以0為極限的變量，它可以無(wú)限接近0，而本身并不是0。這就完美地解釋了，為什么無(wú)窮小量作為分母時(shí)，可以不看做是0直接除，為什么無(wú)窮小量在別的計(jì)算中又可以直接舍去。

微小量擴(kuò)大一萬(wàn)倍不可忽略

現(xiàn)在我們可以解釋為什么柯西認(rèn)為無(wú)窮小是一個(gè)極限為0的變量就沒事了？上面提到的蝴蝶效應(yīng)，提到的初始值差一丁點(diǎn)都會(huì)引起結(jié)果的巨大不同。然而這里的一丁點(diǎn)，雖然也很接近0，但它是一個(gè)常量，并不是一個(gè)極限為0的變量。倘若我們把這里的數(shù)軸標(biāo)度擴(kuò)大一億倍，這里的初始值僅相差的一丁點(diǎn)也被擴(kuò)大了一億倍，而此時(shí)，任何微小的數(shù)乘上一億都很有可能擴(kuò)大到能夠注意的范圍了。你再用這個(gè)值去計(jì)算，很明顯結(jié)果也將完全不同了。然而如果你的初始值是差距了一個(gè)無(wú)窮小量，情況就完全不同，這是個(gè)變量，無(wú)論是把數(shù)軸的標(biāo)度擴(kuò)大到多少倍，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)差距值仍然是無(wú)窮小量。不會(huì)因?yàn)槟惆堰@個(gè)無(wú)窮小量乘了一億倍，也變成了不可忽視的一個(gè)數(shù)值了。

無(wú)窮小量擴(kuò)大一萬(wàn)倍仍可忽略

同學(xué)們以為關(guān)于極限的討論就到此為止了嗎？然而并沒有，數(shù)學(xué)家這幫吹毛求疵的家伙對(duì)待數(shù)學(xué)問題的態(tài)度實(shí)在是太嚴(yán)格了，有一丁點(diǎn)的瑕疵和不足都是不能接受的。如果你非要挑柯西的解釋有什么不妥，柯西的表述里幾何學(xué)的味道太濃，不太像是一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)定義，看起來(lái)像大白話。

魏老師何許人也？

卡爾 魏爾斯特拉斯

所以在找到最精準(zhǔn)極限定義之前，還需要人加上最后一根稻草。很快這個(gè)人就出現(xiàn)了，魏爾斯特拉斯，這是一位德國(guó)數(shù)學(xué)家，出生在1815年，雖然他的家庭不至于像一些天生饑餓交加的數(shù)學(xué)大師們一樣，但是他過(guò)得也不是很快樂，因?yàn)樗母赣H過(guò)于強(qiáng)勢(shì)，縱然小魏同學(xué)天賦異稟，精通德語(yǔ)，拉丁語(yǔ)，和數(shù)學(xué)?？墒窃谥袑W(xué)畢業(yè)之后，老魏卻強(qiáng)烈希望他去學(xué)法律和商業(yè)，可能跟老魏是政府的海關(guān)職員相關(guān)吧。不過(guò)話說(shuō)回來(lái)，律師和商人都是相當(dāng)不錯(cuò)的職業(yè)，只不過(guò)這兩個(gè)都不是小魏同學(xué)喜歡的。

拉普拉斯

然而小魏最終還是去學(xué)習(xí)了這些課程，學(xué)的是這個(gè)專業(yè)，但那時(shí)小魏花了相當(dāng)大的功夫在自己喜愛的知識(shí)上。他孜孜不倦地閱讀起了拉普拉斯等的名著《天體力學(xué)》，這部巨著讓他看到了數(shù)學(xué)的魅力，也確定了數(shù)學(xué)才是他的摯愛，畢生追求的目標(biāo)。

天體力學(xué)之三體問題

1841年，小魏拿到教師資格證，并在兩處很偏僻的中學(xué)當(dāng)了十幾年的中學(xué)教師。那個(gè)時(shí)候的歐洲其實(shí)學(xué)校也不是很多，老師就更加匱乏了，雖然小魏主營(yíng)是數(shù)學(xué)教師，但是他也兼任著很多別的科目，比如德語(yǔ)，物理，體育等等，我們通常說(shuō)的你的數(shù)學(xué)是體育老師教的吧？魏老師的學(xué)生體育的確是數(shù)學(xué)老師教的。

“ε-N”語(yǔ)言橫空出世

可想而知，那個(gè)時(shí)候魏老師的教學(xué)任務(wù)有多繁重，單單是這些科目的改作業(yè)工程量就。。。

魏老師

但是魏老師仍然擠出時(shí)間來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)研究，這期間他閱讀了大量數(shù)學(xué)大師們的成果，比如阿貝爾的橢圓函數(shù)論等等。也就是在這期間，他給出了關(guān)于極限的最精準(zhǔn)定義，完全消除了柯西陳述中還殘留著的幾何影子，這就是著名的極限“ε-N”定義。

什么是“ε-N”定義？

“ε-N”定義

這段話，你再也看不到任何幾何學(xué)的影子，用的都是專業(yè)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，有邏輯定義，有邏輯推導(dǎo)，還有不等式作為表述，這是一個(gè)嚴(yán)格的代數(shù)定義。說(shuō)真的，這個(gè)定義看起來(lái)很抽象，事實(shí)上，你若真的了解這句話的含義，就會(huì)覺得真的是一個(gè)字還都不多。一直到現(xiàn)在的高等數(shù)學(xué)教材里還在使用這個(gè)定義。我們來(lái)通過(guò)一個(gè)例子來(lái)解釋一下這個(gè)苛刻并且奇怪的定義。

簡(jiǎn)單例題

定義里的ε并沒有指定范圍多少，只知道是大于0，我們只要找到一個(gè)大于0，并且能再找到一個(gè)對(duì)應(yīng) 的N就行。由于ε的取值具有任意性，我們?nèi)ˇ臹2也是可以代替定義里的ε的，就取ε^2=1/25，于是。

簡(jiǎn)單例題之證明

這里的ε雖然具有任意性，但是當(dāng)ε取得越小時(shí)，則表明取值與極限越接近。事實(shí)上，ε雖然是個(gè)變量，但是我們?nèi)匀蝗〉侥硞€(gè)值來(lái)比較，然后通過(guò)設(shè)置N來(lái)達(dá)到定義的條件。比如當(dāng)這個(gè)N越大時(shí)，我們則認(rèn)為，在求得真正的極限之前，已經(jīng)驗(yàn)證了許多初始值。有了N之后，我們就不用再去一一驗(yàn)算，因?yàn)樵谶@之后的取值與真實(shí)極限的差距都會(huì)在ε以內(nèi)。而事實(shí)上，我們只要求N存在，并不是十分關(guān)心這個(gè)N是多少。

極限定義解決 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)基本結(jié)束

通過(guò)這個(gè)關(guān)于極限的定義，無(wú)窮小量就徹底被認(rèn)為是一個(gè)極限為0的變量，至此，無(wú)窮小量終于被函數(shù)收編，再也不會(huì)是人們爭(zhēng)鋒相對(duì)的焦點(diǎn)了。同時(shí)也宣告著，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)也就基本上解除了，微積分的理論終于可以高枕無(wú)憂了。

為何要如此嚴(yán)格定義極限？

可能有很多同學(xué)還是覺得不就是一個(gè)概念的定義嗎，用得著弄得跟大戰(zhàn)似的，一代一代數(shù)學(xué)家前赴后繼地上去？在數(shù)學(xué)的世界你必須這樣，就跟公司會(huì)計(jì)的年終對(duì)賬一樣，一年公司流水幾十億，你少了一分錢對(duì)不上，在某些情況下都必須要找出原因來(lái)。數(shù)學(xué)也是如此，數(shù)學(xué)家曾經(jīng)還懷疑為什么1+1就等于2，乘法為什么有結(jié)合律和交換律？這是你覺得還有必要解釋嗎？

核算賬目必須絲毫不差

數(shù)學(xué)家眼里，覺得的確無(wú)法用更淺顯的理論來(lái)證明這些最最基礎(chǔ)的東西，于是就干脆創(chuàng)造了一個(gè)叫做皮亞諾公理的數(shù)學(xué)體系，來(lái)支撐這些最基礎(chǔ)的算術(shù)法則。你沒看錯(cuò)，這些在這套公理里都是可以被解釋的，或者叫可以被“證明”的。

上帝的造物編號(hào) 皮亞諾公理

看到魏老師的例子，曉然菌還是真的很敬佩那些常年在繁雜教學(xué)工作下的人們，還可以抽出時(shí)間來(lái)研究出新的理論，并沒有被這繁重的工作量壓垮。就像這里，一個(gè)牛頓都難以自圓其說(shuō)被噴得不行的基礎(chǔ)性理論，最終在一位不知名的中學(xué)教師手中被終結(jié)。牛頓真的應(yīng)該要好好感謝魏爾斯特拉斯，完成了他的夙愿。

柏林工業(yè)大學(xué)

后來(lái)終于有人發(fā)現(xiàn)了魏老師的突出貢獻(xiàn)，這么偉大的人才在一座中學(xué)里實(shí)在是太屈才了，于是在1856年，在魏老師當(dāng)了15年中學(xué)教師之后，終于成了柏林工業(yè)大學(xué)的教授，從此平步青云，后來(lái)又轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)任數(shù)學(xué)教授，直到1873年，他出任柏林大學(xué)校長(zhǎng)。

從始至終，他都是一位非常優(yōu)秀的傳道授業(yè)者，他是一位數(shù)學(xué)大師，更是一位教育大師。