夏夏之前牛老師在輔導(dǎo)一個(gè)初中的孩子時(shí)發(fā)現(xiàn)，她在做代數(shù)題的時(shí)候，還算輕松。比如求一元二次方程的解，求二次函數(shù)的解析式，這樣的題目按照基本的公式和步驟做起來還比較輕松。是一到幾何圖形題就有點(diǎn)困難。比如解關(guān)于平行四邊形的問題，她可以把關(guān)于平行四邊形的性質(zhì)和判定都說出來，可是就是不知道怎么做題。后來牛老師總結(jié)了一下，出現(xiàn)這種情況一個(gè)很大的原因是，她沒法把問題和條件之間建立起聯(lián)系。那么這個(gè)聯(lián)系在哪里呢，對(duì)于很多圖形題來說，是輔助線，有時(shí)候圖形題做上輔助線就會(huì)豁然開朗了。

今天小編就給大家整理總結(jié)了一些，希望能幫到你們哦！

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三角形中常見輔助線的添加

1. 與角平分線有關(guān)的

（1） 可向兩邊作垂線。

（2）可作平行線，構(gòu)造等腰三角形

（3）在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形

2. 與線段長度相關(guān)的

（1） 截長：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時(shí)，經(jīng)常在較長的線段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可

（2） 補(bǔ)短：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時(shí)，也可以在較短的線段上延長一段，使得延長的部分等于另外一條較短的線段，再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可

（3）倍長中線：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。

（4）遇到中點(diǎn)，考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。

3. 與等腰等邊三角形相關(guān)的

（1）考慮三線合一

（2）旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)，構(gòu)造全都三角形，等腰一般旋轉(zhuǎn)頂角的度數(shù)，等邊旋轉(zhuǎn)60 °

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四邊形中常見輔助線的添加

特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關(guān)的問題時(shí)往往需 要添加輔助線。下面介紹一些輔助線的添加方法。

1. 和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法

平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形。

（1） 利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形

（2）利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形

（3）利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形

2. 與矩形有輔助線作法

（1）計(jì)算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題

（2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對(duì)角線借助對(duì)角線相等這一性質(zhì)解決問題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.

3. 和菱形有關(guān)的輔助線的作法

和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對(duì)角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題.

（1）作菱形的高

（2）連結(jié)菱形的對(duì)角線

4. 與正方形有關(guān)輔助線的作法

正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多.解決正 方形的問題有時(shí)需要作輔助線，作正方形對(duì)角線是解決正方形問題的常用輔助線

5. 與梯形有關(guān)的輔助線的作法

和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：

（1）作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形

（2）作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形

（3）作一對(duì)角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形

（4）延長兩腰構(gòu)成三角形

（5）作兩腰的平行線等

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圓中常見輔助線的添加

1. 遇到弦時(shí)（解決有關(guān)弦的問題時(shí)）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點(diǎn)的半徑。

作用：

① 利用垂徑定理

② 利用圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系

③ 利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量

2. 遇到有直徑時(shí)，常常添加（畫）直徑所對(duì)的圓周角

作用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形

3. 遇到90度的圓周角時(shí) ，常常連結(jié)兩條弦沒有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)

作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑

4. 遇到弦時(shí)，常常連結(jié)圓心和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)

作用：①可得等腰三角形

②據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角

5. 遇到有切線時(shí)，常常添加過切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)）

作用：利用切線的性質(zhì)定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形

常常添加連結(jié)圓上一點(diǎn)和切點(diǎn)

作用：可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理。

6. 遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)

（1） 若直線和圓的公共點(diǎn)還未確定，則常過圓心作直線的垂線段。

作用：若OA=r，則l為切線

（2） 若直線過圓上的某一點(diǎn)，則連結(jié)這點(diǎn)和圓心（即作半徑）

作用：只需證OA⊥l，則l為切線

（3） 有遇到圓上或圓外一點(diǎn)作圓的切線

7. 遇到兩相交切線時(shí)（切線長）

常常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)

作用：據(jù)切線長及其它性質(zhì)，可得到

① 角、線段的等量關(guān)系

② 垂直關(guān)系

③ 全等、相似三角形

8. 遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)

連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段

作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得

① 內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是三角形的角平分線

② 內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等

9. 遇到三角形的外接圓時(shí)，連結(jié)外心和各頂點(diǎn)

作用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等

10. 遇到兩圓外離時(shí)（解決有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線的問題）

常常作出過切點(diǎn)的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線

作用：①利用切線的性質(zhì)； ②利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)

11. 遇到兩圓相交時(shí) 常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點(diǎn)和圓心等

作用：① 利用連心線的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識(shí)

② 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

③ 利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)

④ 垂徑定理

12．遇到兩圓相切時(shí)

常常作連心線、公切線

作用：① 利用連心線性質(zhì)

② 切線性質(zhì)等

13. 遇到三個(gè)圓兩兩外切時(shí)

常常作每兩個(gè)圓的連心線

作用：可利用連心線性質(zhì)

14. 遇到四邊形對(duì)角互補(bǔ)或兩個(gè)三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時(shí)

常常添加輔助圓

作用：以便利用圓的性質(zhì)

輔助線記憶歌訣

人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。

輔助線，如何添？把握定理和概念。

還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn)。

三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。

梯形里面作高線，平移一腰試試看。

平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見。

證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。

等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。

直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。

半徑與弦長計(jì)算，弦心距來中間站。

圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。

切線長度的計(jì)算，勾股定理最方便。

要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。

弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。

弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。

要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。

還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。

內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。

若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。

要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。

基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。

解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。

切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。

分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。

虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。

幾何證題難不難，關(guān)鍵常在輔助線；

知中點(diǎn)、作中線，中線處長加倍看；

底角倍半角分線，有時(shí)也作處長線；

線段和差及倍分，延長截取證全等；

公共角、公共邊，隱含條件須挖掘；

全等圖形多變換，旋轉(zhuǎn)平移加折疊；

中位線、常相連，出現(xiàn)平行就好辦；

四邊形、對(duì)角線，比例相似平行線；

梯形問題好解決，平移腰、作高線；

兩腰處長義一點(diǎn)，亦可平移對(duì)角線；

正余弦、正余切，有了直角就方便；

特殊角、特殊邊，作出垂線就解決；

實(shí)際問題莫要慌，數(shù)學(xué)建模幫你忙；

圓中問題也不難，下面我們慢慢談；

弦心距、要垂弦，遇到直徑周角連；

切點(diǎn)圓心緊相連，切線常把半徑添；

兩圓相切公共線，兩圓相交公共弦；

切割線，連結(jié)弦，兩圓三圓連心線；

基本圖形要熟練，復(fù)雜圖形多分解。

由角平分線想到的輔助線

一、截取構(gòu)全等

如圖，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。

分析：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自已證明。此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點(diǎn)來證明。自己試一試。

二、角分線上點(diǎn)向兩邊作垂線構(gòu)全等

如圖，已知AB>AD， ∠BAC=∠FAC，CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180°。

分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADC與∠B之和為平角。

三、三線合一構(gòu)造等腰三角形

如圖，AB=AC，∠BAC=90° ，BD為∠ABC的平分線，CE⊥BE。求證：BD=2CE。

分析：延長此垂線與另外一邊相交，得到等腰三角形，隨后全等。

四、角平分線+平行線

如圖，AB>AC, ∠1=∠2，求證：AB－AC>BD－CD。

分析：在AB上截取AE=AC，通過全等和組成三角形的三邊關(guān)系可證。

由線段和差想到的輔助線

截長補(bǔ)短法

AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE。

分析：過C點(diǎn)作AD垂線，得到全等即可。

由中點(diǎn)想到的輔助線

一、中線把三角形面積等分

如圖，ΔABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求ΔCDF的面積。

分析：利用中線平分三角形的面積求解。

二、中點(diǎn)聯(lián)中點(diǎn)得中位線

如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長線分別交EF的延長線于點(diǎn)G、H。求證：∠BGE=∠CHE。

分析：取BD的中點(diǎn)M，連接ME、MF，通過中位線得平行傳遞角度。

三、倍長中線

如圖，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。

分析：倍長中線得到全等易得。

四、RTΔ斜邊中線

如圖，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：AC=BD。

分析：取AB的中點(diǎn)E，得RTΔ斜邊中線，得到等量關(guān)系。

由全等三角形想到的輔助線

一、倍長過中點(diǎn)得線段

已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，求中線AD的取值范圍。

分析：利用倍長中線做。

二、截長補(bǔ)短

如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C=180°。

分析：在BC上截取BE=AB，通過全等求證。

三、平移變換

如圖，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE。

分析：將△ACE平移使EC與BD重合。

四、旋轉(zhuǎn)

正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù)。

分析：將△ADF旋轉(zhuǎn)使AD與AB重合。全等得證。

由梯形想到的輔助線

一、平移一腰

如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的長。

分析：利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四邊形。

二、平移兩腰

如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長。

分析：利用平移兩腰把梯形底角放在一個(gè)三角形內(nèi)。

三、平移對(duì)角線

已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積。

分析：通過平移梯形一對(duì)角線構(gòu)造直角三角形求解。

四、作雙高

在梯形ABCD中，AD為上底，AB>CD，求證：BD>AC。

分析：作梯形雙高利用勾股定理和三角形三邊的關(guān)系可得。

五、作中位線

（1）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，求證：EF//AD。

分析：連DF并延長，利用全等即得中位線。

（2）在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=90°，E是DC上的中點(diǎn)，連接AE和BE，求證：∠AEB=2∠CBE。

分析：在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的。

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