昨天連載從幾個(gè)數(shù)理、數(shù)學(xué)、物理歷史發(fā)展的側(cè)面，說明了相對(duì)論這種四維理論產(chǎn)生的歷史必然性。一堆數(shù)學(xué)的歷史問題逼出來的數(shù)學(xué)發(fā)展。

一是古代數(shù)理文化遺留的數(shù)學(xué)問題之一就是直曲兼容表達(dá)的問題，古人對(duì)方外的或?qū)蝈e(cuò)的思考。四維時(shí)空方程在三維的錐體投影（時(shí)間錐）實(shí)際也是一種圓方一統(tǒng)的表達(dá)方式；同時(shí)四維時(shí)空方程也是第四影響因素小于其他三個(gè)因素影響的四因素體系的通項(xiàng)式表達(dá)，是四維靜態(tài)結(jié)果。（四維超體是第四因素大于等于其他三個(gè)因素影響的四因素體系的不同幾何體的分別表達(dá)。是四維動(dòng)態(tài)結(jié)果。以上內(nèi)容前文有論述。）

二是數(shù)學(xué)擬合方法中的動(dòng)態(tài)與靜態(tài)的不同；動(dòng)態(tài)因素影響可以產(chǎn)生跨維度的影響。例如利用歐氏幾何解讀，如果兩個(gè)動(dòng)態(tài)因素在一個(gè)平面上，則產(chǎn)生二維的動(dòng)態(tài)結(jié)果；如果兩個(gè)動(dòng)態(tài)因素不在一個(gè)平面，則產(chǎn)生三維的動(dòng)態(tài)結(jié)果；如果三個(gè)動(dòng)態(tài)因素是分別平直的運(yùn)動(dòng)，則產(chǎn)生三維的動(dòng)態(tài)結(jié)果；如果三個(gè)動(dòng)態(tài)因素是彎曲的運(yùn)動(dòng)，則產(chǎn)生四維時(shí)空的動(dòng)態(tài)結(jié)果。這種跨維度的影響結(jié)果，是非歐幾何關(guān)注的重點(diǎn)。

三是歐氏的立體幾何與非歐幾何的關(guān)鍵不同有兩處：直線與曲線定義不同、平面與曲面定義不同。

四、代數(shù)上的維數(shù)與幾何維度的關(guān)系。由于動(dòng)態(tài)與靜態(tài)的區(qū)別，并不都是簡(jiǎn)單的直接對(duì)應(yīng)。

這些數(shù)學(xué)問題的積累，促成了相對(duì)論的產(chǎn)生，最后都因相對(duì)論的產(chǎn)生而得到突破性的進(jìn)展，特別是維度數(shù)學(xué)方向。人類首次相對(duì)清楚地用數(shù)學(xué)方法解決了三個(gè)動(dòng)態(tài)影響因素或者說四個(gè)靜態(tài)影響因素形成的數(shù)學(xué)擬合系統(tǒng)的描述問題（物理并未完全直接證實(shí)）。其后，又產(chǎn)生了超體幾何，這是對(duì)四個(gè)動(dòng)態(tài)影響因素形成的數(shù)學(xué)擬合系統(tǒng)的描述。

再之后，數(shù)學(xué)、物理性的多維的思考更進(jìn)了一步，產(chǎn)生了多維體系。特別是物理方面的多維體系，并未得到驗(yàn)證。同時(shí)，這個(gè)多維體系與古代數(shù)理的多維體系被數(shù)理文化混淆起來。由于數(shù)學(xué)、物理各自產(chǎn)生的多維體系互不兼容，與數(shù)理文化的多維體系更不同，是需要各自表達(dá)的。而數(shù)理文化依然試圖一統(tǒng)表達(dá)，造成了理解上的一定的混亂。

最簡(jiǎn)單的，非歐體系的四維時(shí)空，并不是數(shù)學(xué)意義的四維超體，這倆個(gè)體系互不兼容。但是數(shù)理文化卻總是試圖兼容解讀，造成了對(duì)四維維度理解的混亂。

待到上世紀(jì)70年代分形分?jǐn)?shù)維產(chǎn)生以后，四維時(shí)空的維數(shù)可以表達(dá)為三點(diǎn)幾維；而四維超體的維數(shù)是大于等于4.0維。這才有效地區(qū)分了這兩種數(shù)學(xué)非歐系統(tǒng)。（注：這種提法未在相關(guān)資料中看過，是筆者的思考結(jié)果。）

莫比烏斯帶

昨天文章未談到莫比烏斯帶和克萊因瓶。這兩個(gè)特征性的幾何形狀，在十八世紀(jì)被西方數(shù)學(xué)所關(guān)注。這兩種幾何形狀也間接促成了非歐幾何的產(chǎn)生，同時(shí)促成了拓?fù)鋵W(xué)這個(gè)非歐類數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生。

它們的共性實(shí)際也是用曲線代替了歐氏幾何的直線，用曲面代替了歐氏幾何的平面。學(xué)數(shù)學(xué)的，不過就發(fā)現(xiàn)如此的問題。為了解決這種歐氏幾何不方便解讀的這種幾何系統(tǒng)，從而促生了非歐幾何的思路。至于數(shù)理文化，發(fā)現(xiàn)的就是玄學(xué)的解讀空間了。

為何數(shù)理文化對(duì)此會(huì)非常感興趣呢？

利用歐氏幾何解讀：如果兩個(gè)動(dòng)態(tài)因素在一個(gè)平面上，則產(chǎn)生二維的動(dòng)態(tài)結(jié)果；如果兩個(gè)動(dòng)態(tài)因素不在一個(gè)平面，則產(chǎn)生三維的動(dòng)態(tài)結(jié)果；

一條直線如果有另外一個(gè)側(cè)向的影響因素影響，就會(huì)形成曲線。就像子彈受到側(cè)向風(fēng)力的影響。在歐氏平面幾何中，曲線是二維的。而在非歐幾何中，這種曲線甚至被定義為一維，而且號(hào)稱是“直線”。天文學(xué)的點(diǎn)動(dòng)成線就是一維，實(shí)際就是這種非歐的定義方式。直線僅僅使最特殊的一根“曲線”了。

如果這個(gè)側(cè)向影響因素與直線不在一個(gè)平面上，那么就會(huì)形成歐氏幾何的三維內(nèi)的結(jié)果。也就是利用這種曲線實(shí)際實(shí)現(xiàn)了歐氏的跨維表達(dá)結(jié)果。

在歐氏幾何中，你說莫比烏斯帶是二維平面的，這與歐氏基本定義沖突，它有三維的高度；如果你說它是二維的，它的幾何性質(zhì)卻不是二維歐氏幾何所能描述的，因?yàn)闅W氏幾何基于的基礎(chǔ)定義是直線、平面。這讓歐氏幾何很尷尬。

如此而已。

如何解決這種幾何解讀問題呢？這導(dǎo)致的數(shù)學(xué)結(jié)果就是改變歐氏幾何的基礎(chǔ)公理，形成新的幾何體系。這也就是非歐幾何產(chǎn)生的思路基礎(chǔ)。

迷信產(chǎn)生的基礎(chǔ)就是科學(xué)不能解讀、科學(xué)不能驗(yàn)證的內(nèi)容，一度被認(rèn)為完美的科學(xué)內(nèi)容之一－－數(shù)學(xué)居然有如此解讀漏洞，數(shù)理文化怎能放棄這種機(jī)會(huì)，立即見縫插針，玩起各種迷信來。這種迷信影響至今。從網(wǎng)絡(luò)上介紹莫比烏斯帶以及克萊因瓶的內(nèi)容上來看，介紹迷信的依然比介紹數(shù)學(xué)的多。由于這種數(shù)學(xué)解讀漏洞造成的維度空間的解讀混亂，這種內(nèi)容與后來產(chǎn)生的四維、多維又?jǐn)?shù)理文化性的結(jié)合起來，顯得更加神秘。

如果至今你還覺得莫比烏斯帶、克萊因瓶很神秘，你的數(shù)學(xué)水平落后現(xiàn)代數(shù)學(xué)至少200年。當(dāng)然，你的迷信水平比古人數(shù)理性地高了一些，知道吹噓維度了。

克萊因瓶

克萊因瓶，這么一個(gè)一百年前造出來的瓶子，就讓一些人大驚小怪的，產(chǎn)生了很多不可思議的問題。為什么呢？數(shù)學(xué)文化的落后！數(shù)理文化的落后！筆者在悟空問答上回答了幾次這樣奇怪的問題，后來實(shí)在看不下去了，不回答了！

現(xiàn)在將二維的莫比烏斯帶的問題變成三維的幾何問題，我們就會(huì)產(chǎn)生跨越三維的一個(gè)思考。

我們可否制作出來一個(gè)瓶口不穿過瓶頸（瓶身）又回到瓶底的瓶子呢？答案是在三維空間中這是不可能完成的任務(wù)！這個(gè)瓶子，僅僅是解決這個(gè)問題的一個(gè)贗品。因?yàn)樗钠款i穿過了瓶身。

但是，它卻代表了一種曲面帶來的跨越維度的思考問題。假設(shè)有四維空間，這個(gè)瓶頸在四維空間走，之后回到三維空間的瓶底，不就解決問題了嗎？這個(gè)假設(shè)，讓數(shù)學(xué)得以進(jìn)步，促生了四維超體、拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生，但是讓物理徹底蒙圈，百年了，無法證實(shí)四維超體胞體空間的存在性。

非歐數(shù)學(xué)可以基于前提假設(shè)，形成新的幾何系統(tǒng)。例如非歐的超體幾何，基于的前提條件實(shí)際就是假設(shè)歐氏幾何無限長(zhǎng)的直線是有限長(zhǎng)，那么會(huì)有什么樣的維度擴(kuò)展結(jié)果。這實(shí)際就是古人思考方外的思路。但是，物理卻永遠(yuǎn)不能證實(shí)這個(gè)前提條件：無限長(zhǎng)的直線再延長(zhǎng)之后是什么！這是歐氏幾何的悖論。

中國(guó)古代，對(duì)于類似這種數(shù)學(xué)問題的思考，一方面是古人說不清楚的方外，另一方面就是太極圖。領(lǐng)先一度千年以上。

太極圖的魚眼與對(duì)應(yīng)的相反的魚尾是同一個(gè)點(diǎn)。在二維平面的太極圖中，你永遠(yuǎn)畫不出來這兩個(gè)點(diǎn)的連續(xù)性。如果想連續(xù)，就必須進(jìn)入三維。太極圖是兼容動(dòng)態(tài)與靜態(tài)的古代數(shù)理表達(dá)。那么克萊因瓶這道數(shù)學(xué)題對(duì)于太極圖來說，就是不進(jìn)入三維，如何讓魚眼與魚尾連續(xù)呢？誰能畫出這樣的太極圖？

中西結(jié)合的克萊因瓶解讀，太極魚眼的放大就是這個(gè)瓶子的數(shù)學(xué)原理

與太極圖同理的克萊因瓶促成了四維超體、拓?fù)鋵W(xué)這類非歐數(shù)學(xué)的產(chǎn)生；而太極圖，盡管率先思考了這種跨越維度的動(dòng)態(tài)問題約千年，并未促成中國(guó)古代維度數(shù)學(xué)的發(fā)展，這不免遺憾。

如果至今你還不了解克萊因瓶的數(shù)學(xué)原理或者闡述的數(shù)學(xué)思考，那么你的數(shù)理文化水平落后千年，數(shù)學(xué)水平落后百年以上。如此而已。