數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙。——羅吉爾·培根（Roger Bacon）

一、希臘數(shù)學(xué)的目的

希臘數(shù)學(xué)經(jīng)典著作如歐幾里得的《幾何原本》、阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線》和阿基米德的幾何著作都給出了形式的、盡可能完善的演繹數(shù)學(xué)，但為什么要講究這種形式呢？現(xiàn)代數(shù)學(xué)課本也一樣，只是把已有的數(shù)學(xué)成果整理講解，卻閉口不談數(shù)學(xué)的目的何在，定理是怎樣啟發(fā)和摸索出來(lái)的，數(shù)學(xué)知識(shí)又是怎樣應(yīng)用的。

當(dāng)托勒密直接聲明他是為研究天文而創(chuàng)立三角學(xué)的，當(dāng)我們知道歐多克索斯主要是個(gè)天文學(xué)家，而歐幾里得不僅只寫《原本》，還有《現(xiàn)象》（用于研究恒星天球運(yùn)動(dòng)的球面幾何著作）、《光學(xué)》、《鏡面反射》、《音樂(lè)原理》（Elements of Music）和其它力學(xué)方面的短篇著作（都是數(shù)學(xué)性的），就不能不得出結(jié)論說(shuō)數(shù)學(xué)并非一門孤立的學(xué)科。

知道了人的心智活動(dòng)是怎樣進(jìn)行的，而且詳細(xì)知道了歐拉和高斯是怎樣進(jìn)行工作的，就可以相當(dāng)肯定地說(shuō)，那些天文、光學(xué)和音樂(lè)方面的研究必定啟發(fā)他們提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，因此研究數(shù)學(xué)的目的很可能是為了用之于這些領(lǐng)域。球面幾何（sphaeric）很可能是在天文學(xué)數(shù)學(xué)化之際進(jìn)行研究的，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所說(shuō)的“sphaeric”是指“天文學(xué)”。

我們也能從希臘哲學(xué)家（他們本人也是杰出的數(shù)學(xué)家或科學(xué)家）的著作中得知數(shù)學(xué)的范圍并不限于數(shù)學(xué)本身。在古典時(shí)期數(shù)學(xué)包括算術(shù)、幾何、天文和音樂(lè)；在亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)分為算術(shù)（數(shù)論）、幾何、力學(xué)、天文學(xué)、光學(xué)、測(cè)地學(xué)、聲學(xué)與應(yīng)用算術(shù)。

至此，我們可以確定：希臘人對(duì)了解自然界有那么一股迫切而不可遏制的愿望，推動(dòng)他們創(chuàng)造和重視數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)是研究自然界的利器，是了解宇宙的鑰匙，因?yàn)閿?shù)學(xué)規(guī)律是宇宙布局的精髓。

二、希臘自然觀

在早于希臘時(shí)代或與之并存的古代文明中，自然界被認(rèn)為是混亂、神秘、變化無(wú)常和可怖的。自然界的現(xiàn)象被天神操縱，祈禱和巫術(shù)可以讓天神發(fā)慈悲免降災(zāi)禍甚至創(chuàng)造奇跡賜福于人，但人的生命和命運(yùn)是完全聽(tīng)?wèi){于他們的。

埃及眾神

但我們發(fā)現(xiàn)約公元前600年的希臘知識(shí)分子對(duì)自然界采取一種完全新的態(tài)度：合理的、批判的和世俗性的。他們拋棄神話，不相信天神的喜怒哀樂(lè)能操縱人和世界。新的信念認(rèn)為自然界是有秩序的并始終按照一定的方案運(yùn)行。他們深信人的智慧是強(qiáng)有力的甚至是至高無(wú)上的，人不僅可以探索自然界的道理甚至還能預(yù)知它將會(huì)出現(xiàn)的時(shí)態(tài)。

誠(chéng)然，持這種理性觀點(diǎn)的只有古典時(shí)期和亞歷山大時(shí)期的一小群知識(shí)分子。愛(ài)奧尼亞學(xué)派是最早斷定自然界實(shí)質(zhì)的人，他們肯定在一切表面現(xiàn)象的千變?nèi)f化中有一種始終不變的東西。這一原始物質(zhì)的內(nèi)蘊(yùn)本質(zhì)是守恒的，而所有的物質(zhì)形態(tài)都可用它來(lái)解釋。這種自然哲學(xué)來(lái)自一系列大膽的思索、巧妙的猜測(cè)和聰敏的直觀，而非廣泛的、細(xì)致的科學(xué)研究的結(jié)果。

也許他們有點(diǎn)太急于想認(rèn)識(shí)全貌，所以就幼稚地?cái)嗳蛔鞒鰪V泛的結(jié)論。但他們確實(shí)從物質(zhì)的和客觀的方面來(lái)解釋宇宙的結(jié)構(gòu)和設(shè)計(jì)布局，而拋棄老的神話故事。他們用合理化的解釋來(lái)代替詩(shī)人的想象和不加分析的傳說(shuō)，并且他們用理性來(lái)辯護(hù)他們主張。他們至少敢于憑理智來(lái)面對(duì)宇宙，而不肯依賴于神、靈、鬼、怪、天使以及其他神秘的力量。

希臘十二主神

三、希臘數(shù)學(xué)觀念的形成

1.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的觀念

把對(duì)自然作用力的神秘、玄想和隨意性去掉，并把似屬混亂的現(xiàn)象歸結(jié)為一種井然有序的可以理解的格局，走向這方面的有決定意義的一步是數(shù)學(xué)的應(yīng)用。第一批提出這種合理化的和數(shù)理哲學(xué)性自然觀的人是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。

畢達(dá)哥拉斯派的宗教思想是帶神秘色彩的，但他們的自然哲學(xué)卻是理性化的。他們?cè)诓煌再|(zhì)的現(xiàn)象上看到了相同的數(shù)學(xué)性質(zhì)，于是認(rèn)為數(shù)學(xué)性質(zhì)（數(shù)與數(shù)的關(guān)系）必然是這些現(xiàn)象的本質(zhì)所在。數(shù)是他們解釋自然的第一原則，所有物體都由點(diǎn)或“存在單元”按照相應(yīng)的各種幾何形象組合而成。數(shù)既是點(diǎn)又是物質(zhì)的元粒，所以數(shù)是宇宙的實(shí)質(zhì)和形式，是一切現(xiàn)象的根源。畢達(dá)哥拉斯派的信條是：萬(wàn)物皆數(shù)！

畢達(dá)哥拉斯派把音樂(lè)歸結(jié)為數(shù)與數(shù)之間的簡(jiǎn)單關(guān)系，是因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了下列兩個(gè)事實(shí)：第一，彈弦所發(fā)出的聲音取決于弦的長(zhǎng)度；第二，繃得一樣緊的弦若其長(zhǎng)度成整數(shù)比，就會(huì)發(fā)出諧音。畢達(dá)哥拉斯派也搞出了一個(gè)著名的希臘音階（musical scale）。歐幾里得和托勒密也寫過(guò)音樂(lè)方面的著作，還制定過(guò)音階。

畢達(dá)哥拉斯派把行星運(yùn)動(dòng)歸結(jié)為數(shù)的關(guān)系。他們相信物體在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)出聲音，又相信動(dòng)得快得物體比動(dòng)得慢的物體發(fā)出更高的音。離地球越遠(yuǎn)的行星動(dòng)得越快，因此行星發(fā)出的聲音因其離地球的距離而異而且都配成諧音。此所謂“球體的音樂(lè)”。

晚期的畢達(dá)哥拉斯派干了一件顯然與傳統(tǒng)決裂的事，他們最早相信地球是個(gè)球。又因?yàn)樗麄兿嘈?0是理想的數(shù)，所以他們肯定移動(dòng)的天體必定有10個(gè)。第一個(gè)是中心火球，所有天體包括地球都繞它轉(zhuǎn)動(dòng)。加上地球、5個(gè)行星、日、月以及恒星所附著的天球，總共只有9個(gè)運(yùn)動(dòng)的天體。因此他們提出存在第10個(gè)天體，叫反地球（counter-earth），也是繞中心火球轉(zhuǎn)的。這個(gè)反地球我們看不見(jiàn)，因?yàn)樗谥行幕鹎虻牧硪粋?cè)以恰好相同于地球的速度運(yùn)動(dòng)，又因?yàn)樽∪说哪遣糠值厍蚴潜吵行幕鹎虻?。這是第一個(gè)地動(dòng)學(xué)說(shuō)。

還有一種信念，認(rèn)為天體是永恒的、神圣的、完美并且不變的，而塵世物體，即地球和彗星則要變化、分解、腐朽和死滅。這據(jù)說(shuō)也是從畢達(dá)哥拉斯派來(lái)的。勻速圓周運(yùn)動(dòng)的信念以及天體和塵世物體之分已深入希臘人的思想。

自然界的形形色色特性也可歸結(jié)為數(shù)。1、2、3、4這四個(gè)數(shù)叫四象（tetractys），是特別受重視的，因它們相加成10。據(jù)說(shuō)畢達(dá)哥拉斯派的誓言是：“謹(jǐn)以賦予我們靈魂的四象之名宣誓。長(zhǎng)流不息的自然的根源包含于其中。”畢達(dá)哥拉斯派認(rèn)為自然是由四元性組成的，例如點(diǎn)、線、面、體，以及土、氣、水、火四種元素。四種元素也在柏拉圖的自然哲學(xué)中占中心地位。因?yàn)?0是理想的，故10代表宇宙。10的理想性就需要使整個(gè)宇宙能用10種對(duì)立的范疇來(lái)描述：奇與偶，有界與無(wú)界，善與惡，右與左，一與多，雌與雄，直與曲，正方與長(zhǎng)方，亮與暗，靜與動(dòng)。

畢達(dá)哥拉斯哲學(xué)顯然把嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃枷胪摌?gòu)、無(wú)用和不科學(xué)的信條混在一起。但他們確實(shí)強(qiáng)調(diào)要了解自然，并且不是通過(guò)單一物質(zhì)而是通過(guò)數(shù)的關(guān)系這種形式結(jié)構(gòu)來(lái)了解的。此外，他們和愛(ài)奧尼亞學(xué)派都認(rèn)識(shí)到在單純感覺(jué)材料下面必然潛藏著自然的和諧關(guān)系。

現(xiàn)在我們可以認(rèn)識(shí)到何以不可公度比的發(fā)現(xiàn)對(duì)畢達(dá)哥拉斯派哲學(xué)是那么可悲的打擊：不可公度長(zhǎng)之比竟然不能用整數(shù)之比來(lái)表示！此外，他們相信一直線是由有限個(gè)點(diǎn)（他們把它和物理質(zhì)點(diǎn)視為等同）組成的，但對(duì)根號(hào)2那樣的長(zhǎng)就不可能是如此。如果他們把無(wú)理數(shù)當(dāng)作數(shù)來(lái)接受，他們那個(gè)視整數(shù)為至上的哲學(xué)就要垮臺(tái)。

由于畢達(dá)哥拉斯派把天文和音樂(lè)“歸結(jié)”為數(shù)，這兩門學(xué)科就同算術(shù)和幾何發(fā)生了聯(lián)系，這四門學(xué)科都被人看成是數(shù)學(xué)學(xué)科。甚至一直到中世紀(jì)，這仍包括在學(xué)校課程中，當(dāng)時(shí)號(hào)稱“四大科”。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派注重算術(shù)（數(shù)論）并不在于該學(xué)科的純美學(xué)價(jià)值，而是為了要用數(shù)來(lái)探究自然現(xiàn)象的意義。其次，正是這種以數(shù)為中心的自然哲學(xué)，才使尼科梅切斯那樣的人重視數(shù)。事實(shí)上，現(xiàn)代科學(xué)也遵循畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重視數(shù)的傳統(tǒng)——不過(guò)形式遠(yuǎn)為深?yuàn)W，而純?yōu)樽非竺赖默F(xiàn)代數(shù)論則直接從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的算術(shù)脫胎而來(lái)。

2.柏拉圖的觀念

生長(zhǎng)在畢達(dá)哥拉斯與柏拉圖之間那些年代里的哲學(xué)家同樣關(guān)心現(xiàn)實(shí)的本質(zhì)，但沒(méi)有直接把數(shù)學(xué)加進(jìn)去。像巴門尼德、芝諾、恩培多克勒、留基伯（Leucippus，約公元前440年）和德謨克利特（公元前約460—約前370）這些人的論點(diǎn)和觀點(diǎn)，也像他們的愛(ài)奧尼亞前輩一樣，是不涉及數(shù)量問(wèn)題的。但他們都肯定自然界是可以理解的，現(xiàn)實(shí)世界可以用思想來(lái)掌握。他們每個(gè)人都是那引向以數(shù)學(xué)研究自然這根鏈條上的一個(gè)環(huán)節(jié)。

柏拉圖是僅次于畢達(dá)哥拉斯本人的最杰出的畢達(dá)哥拉斯派，他是傳播這種主張的最有影響的一個(gè)人，即認(rèn)為只有通過(guò)數(shù)學(xué)才能領(lǐng)悟物理世界的實(shí)質(zhì)和精髓。感官所認(rèn)識(shí)的世界是混亂和迷離的，在任何情況下都是不完美不持久的。物理方面的知識(shí)不重要，因?yàn)槲镔|(zhì)對(duì)象要變要腐朽，所以直接研究自然以及純粹物理上的考察都是沒(méi)有價(jià)值的。物理世界只不過(guò)是數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家所研究的那個(gè)理想世界的不完美的拷貝。那永恒不變的數(shù)學(xué)定律才是現(xiàn)實(shí)世界的真髓。

柏拉圖比畢達(dá)哥拉斯派走得更遠(yuǎn)，他不僅想通過(guò)數(shù)學(xué)來(lái)了解自然，而且要用數(shù)學(xué)來(lái)取代自然界本身。他相信只要對(duì)物理世界做些洞察一切的鳥(niǎo)瞰而從中抽出基本真理，然后就可以單憑理性繼續(xù)對(duì)此進(jìn)行考察。從那偶就不存在自然界而只有數(shù)學(xué)，它可以取代物理研究。

柏拉圖認(rèn)為天文學(xué)所要關(guān)心的不是可見(jiàn)天體的運(yùn)動(dòng)，僅僅對(duì)運(yùn)動(dòng)做些觀察和解釋遠(yuǎn)非真正的天文學(xué)。要知道真正的天文學(xué)，必須先“把天放在一邊”，因?yàn)檎嬲奶煳膶W(xué)是研究數(shù)學(xué)天空里真星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的，而可見(jiàn)的天不過(guò)是那數(shù)學(xué)天空的不完美的表現(xiàn)形式。柏拉圖是不管天文學(xué)在航海、歷法和測(cè)時(shí)這些方面的應(yīng)用的。

柏拉圖認(rèn)為存在一個(gè)由形式和觀念組成的、客觀而普遍可靠的實(shí)在世界，其中事物獨(dú)立于人而存在且永恒不變、無(wú)古無(wú)今。我們是通過(guò)前世回憶而體會(huì)到這些概念的。在柏拉圖的哲學(xué)里，數(shù)學(xué)觀念起兩重作用：不僅是實(shí)在世界本身的一部分，而且?guī)椭?xùn)練心靈去認(rèn)識(shí)永恒的觀念?！皫缀螘?huì)把靈魂引向真理，產(chǎn)生哲學(xué)精神......”

3.亞里士多德的觀念

亞里士多德與他老師柏拉圖的觀點(diǎn)很不一樣，他批評(píng)柏拉圖追求彼岸世界的態(tài)度，批評(píng)柏拉圖把科學(xué)歸結(jié)為數(shù)學(xué)的想法。他相信物質(zhì)的東西是實(shí)在的主體和源泉。物理乃至一般的科學(xué)必須研究具體的世界以獲得真理。真正的知識(shí)是從感性的經(jīng)驗(yàn)通過(guò)直觀和抽象獲得的，然后才能應(yīng)用理性給予加工。物質(zhì)本身是不確定的，它只具有成為形式的潛在可能，當(dāng)物質(zhì)被組織成各種各樣的形式時(shí)才變得有意義。形式以及引起新形式的物質(zhì)內(nèi)部的變化才是實(shí)在世界的有意義之處和科學(xué)應(yīng)真正關(guān)心的。

亞里士多德認(rèn)為物質(zhì)是由四種基本元素——土、水、火、氣組成的。每種元素又有其自身的特征性質(zhì)。土是冷而干的；水是冷而濕的；氣是熱而濕的；火是熱而干的。土和水有重性，氣和火有浮性。任一物件的性質(zhì)取決于所含元素的比例，包括固體性、硬度、粗糙性以及其他品質(zhì)，也因此決定了它的運(yùn)動(dòng)情況。固體、液體、氣體是三類不同的物體，以其具有不同物性上的品質(zhì)而互相區(qū)別。

亞里士多德認(rèn)為變化的原因有四類。第一類是物質(zhì)的或內(nèi)在的原因。第二類是形式原因。第三類是作用原因，是起作用的東西或人。第四類是終因，或現(xiàn)象所服務(wù)的目的。終因是四類原因中最重要的，因?yàn)樗o出事件或現(xiàn)象的終極理由。每件東西都有一終因。

亞里士多德認(rèn)為物理是研究自然的基本科學(xué)，數(shù)學(xué)通過(guò)描述形式上的性質(zhì)來(lái)幫助研究，它給物質(zhì)現(xiàn)象上觀察到的事實(shí)提供解釋。數(shù)學(xué)肯定是從現(xiàn)實(shí)世界抽象出來(lái)的，因?yàn)閿?shù)學(xué)對(duì)象不能獨(dú)立于或先于經(jīng)驗(yàn)而存在。它們是作為能夠被感覺(jué)到的對(duì)象本身與對(duì)象的本質(zhì)之間的一類觀念而存在于人的心目中的。因它們是從物理世界抽象而來(lái)的，所以它們能應(yīng)用于物理世界。但若脫離可見(jiàn)的或可感觸的事物，它們便沒(méi)有實(shí)在性。單靠數(shù)學(xué)是絕不能充分確定物質(zhì)的。質(zhì)的差異不能歸結(jié)為幾何差異。在研究原因時(shí)，數(shù)學(xué)至多只能提供形式原因方面的一些知識(shí)，就是說(shuō)只能提供一種描述。它能描述物理世界中所發(fā)生的事，能把同時(shí)發(fā)生的變異聯(lián)系起來(lái)，但對(duì)運(yùn)動(dòng)或變化的作用原因和終因卻不能置一辭。所以亞里士多德是把數(shù)學(xué)和物理嚴(yán)格區(qū)別開(kāi)的，并給予數(shù)學(xué)以次要的地位。

綜上所述，希臘哲學(xué)家對(duì)于自然界的研究強(qiáng)調(diào)要理解和領(lǐng)悟其內(nèi)在實(shí)質(zhì)。從畢達(dá)哥拉斯時(shí)代起，幾乎所有學(xué)者都說(shuō)自然界是依數(shù)學(xué)方式設(shè)計(jì)安排的，這種信念是在古典時(shí)期形成的，并在那時(shí)開(kāi)始探索數(shù)學(xué)規(guī)律。這種信念直到19世紀(jì)末一直占優(yōu)勢(shì)，在那個(gè)時(shí)期探索自然界的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)方案被人認(rèn)為就是探索真理，吸引了一些最深刻最崇高的思想家去研究數(shù)學(xué)。

4.希臘的心智觀

希臘哲學(xué)家相信心智是掌握自然的最有力的因素，他們把心智所欣賞的原理作為第一原理。圓周運(yùn)動(dòng)為運(yùn)動(dòng)的基本類型這種信念就是從其形式的優(yōu)美為心智所欣賞而來(lái)的，圓是完整的而，直線形是由許多線段所圍成的，所以是不完整的，因而是次要的。天體只應(yīng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)楸确莿蛩龠\(yùn)動(dòng)更簡(jiǎn)單，更迎合心智。至于世俗物體之所以異于行星、太陽(yáng)和恒星是因?yàn)樘祗w外貌保持不變而地上事物變化明顯。

亞里士多德雖只強(qiáng)調(diào)那種有助于理解現(xiàn)實(shí)世界的抽象，但他也說(shuō)應(yīng)該從心智所明了的原理出發(fā)，然后去分析自然界里發(fā)現(xiàn)的事物。他說(shuō)我們應(yīng)該從普遍到特殊，從人類到個(gè)別的人。所以即使是從具體對(duì)象作出的抽象，事先也需要有源于心智的一些總原理。

心智能產(chǎn)生第一性原理的這種信念直到17世紀(jì)才被推翻。

下一講希臘自然科學(xué)中的數(shù)學(xué)。