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如圖，直線和橢圓的位置關(guān)系有三種： 分別是相離、相切、相交.我們一般是通過直線方程和橢圓方程聯(lián)立，構(gòu)造一元二次方程，利用判別式來判斷直線和橢圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù). 比如下面這道十年前的高考題： 這道題常見的解法是： 這個(gè)解法看起來是很簡(jiǎn)單的，不過“化簡(jiǎn)可得”這四個(gè)字背后的艱辛是誰化誰知道呀，如果一個(gè)同學(xué)計(jì)算能力不強(qiáng)，在考場(chǎng)上這道題放棄的可能性是很大的，因?yàn)樗滦列量嗫嗨愠鰜碇鬀]有選項(xiàng)，還不如猜個(gè)答案. 而且高考中我們很少在一道小題中就聯(lián)立直線和二次曲線，因?yàn)榇箢}已經(jīng)考了，小題一般是不重復(fù)考察的，所以這道題是不是就有一些別的方法呢？ 該題直線和橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，就是相切，如下圖： 直線和橢圓切于點(diǎn)P，直線上異于點(diǎn)P的一點(diǎn)Q，顯然有|QF1|+|QF2|大于2a，所以P點(diǎn)是直線上所有點(diǎn)中到點(diǎn)F1和F2距離之和最小的點(diǎn)，所以只需作F1關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)N，連接NF2，與直線的交點(diǎn)為P，所以2a的值為|NF2|的. 如圖： 解答過程如下： 這個(gè)方法只需要解二元一次方程組，比第一個(gè)方法要簡(jiǎn)單，但是缺點(diǎn)是很難想到. 所以我們還是需要來探索一些更簡(jiǎn)單的方案： 直線和圓的位置關(guān)系只需要通過圓心到直線距離與半徑大小作比較，但是直線和橢圓做不到，那么可不可以把二者聯(lián)系到一起呢？之前在通過幾何畫板學(xué)解析幾何(一)——橢圓的九種畫法中，我們介紹了橢圓其實(shí)可以通過圓壓縮得到的，這個(gè)壓縮專業(yè)地說就是伸縮變換，對(duì)于橢圓的伸縮變換，在選修四的坐標(biāo)系與參數(shù)方程中有介紹，今天我們不從伸縮來闡述，就通過換元來說明：
綜上，直線和橢圓相切的問題，可以聯(lián)立，也可以用導(dǎo)數(shù)，也可以背公式，但是有一個(gè)最漂亮的方法就是通過換元將橢圓換成了圓，雖然交點(diǎn)變了，但是個(gè)數(shù)沒變. 帶著這樣的想法，大家做做下面四道題：
第四題把點(diǎn)P用參數(shù)方程的形式表達(dá)出來，所以又有了一個(gè)新的證法. 答案：
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