分析演繹歸納類比推理

分析法是"綜合法"的對(duì)稱。把復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象分解成許多簡(jiǎn)單組成部分，分別進(jìn)行研究的方法。其實(shí)質(zhì)是: 通過(guò)調(diào)查研究，找出事物的內(nèi)在矛盾，并對(duì)矛盾的各個(gè)方面進(jìn)行深入研究。剔除那些偶然的、非本質(zhì)的東西，抽象出必然的、本質(zhì)的因素，并由此得出一些反映本質(zhì)的簡(jiǎn)單規(guī)定，以把握矛盾的各個(gè)方面的特殊性。分析法所提供的只是對(duì)于經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的片面理解，它還不能從總體上、從各個(gè)部分之間的相互聯(lián)系上來(lái)把握經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象。因此，在分析的基礎(chǔ)上，還必須運(yùn)用綜合的方法，使分析得到的各個(gè)方面的本質(zhì)規(guī)定，按照經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，形成有機(jī)的體系，這樣才能全面、深刻地認(rèn)識(shí)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，提出解決問(wèn)題的有效辦法。

從已知數(shù)量與已知數(shù)量的關(guān)系入手，逐步分析已知數(shù)量與未知數(shù)量的關(guān)系，一直到求出未知數(shù)量的解題方法叫做綜合法。

分析法--通過(guò)對(duì)事理原因或結(jié)果的周密分析，從而證明論點(diǎn)的正確性、合理性的論證方法。也稱為因果分析。事物都有自己的原因和結(jié)果。從結(jié)果來(lái)找原因，或從原因推導(dǎo)結(jié)果，就是找出事物產(chǎn)生、發(fā)展的來(lái)龍去脈和規(guī)律，這就起到了證明論點(diǎn)的合理性和正確性的作用。

綜合分析法是指運(yùn)用各種統(tǒng)計(jì)綜合指標(biāo)來(lái)反映和研究社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體的一般特征和數(shù)量關(guān)系的研究方法。 

主要釋義

1.從求解的問(wèn)題出發(fā)，正確地選擇出兩個(gè)所需要的條件，依次推導(dǎo)，一直到問(wèn)題得到解決的解題方法叫做分析法。

2.用分析法解題時(shí)如果解題所需要的兩個(gè)條件，(或其中一個(gè)條件)是未知的時(shí)候，就要分別求解找出這兩個(gè)(或一個(gè))的條件，一直到問(wèn)題都是已知的時(shí)候?yàn)橹埂?/p>

3.分析法指從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到歸結(jié)為判定一個(gè)顯然成立的條件(已知量、定義、公理、定理、性質(zhì)、法則等)為止，從而證明論點(diǎn)的正確性、合理性的論證方法。也稱為因果分析、逆推證法或執(zhí)果索因法。

數(shù)學(xué)思想

從求證的不等式出發(fā)，"由果索因"，逆向逐步找這個(gè)不等式成立需要具備的充分條件。

事物都有自己的原因和結(jié)果。從結(jié)果來(lái)找原因，或從原因推導(dǎo)結(jié)果，就是找出事物產(chǎn)生、發(fā)展的來(lái)龍去脈和規(guī)律，這就起到了證明論點(diǎn)的合理性和正確性的作用。

基本思想是:由未知探需知，逐步推向已知。

適用范圍

1.不易直接證明結(jié)論;

2.從結(jié)論很顯然能推出明顯正確的條件。

(在數(shù)學(xué)中，條件探究題一般用分析法進(jìn)行逆推來(lái)獲得正確答案)

反證法(Proofs by Contradiction，又稱歸謬法、背理法)，是一種論證方式，他首先假設(shè)某命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，然后推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說(shuō)原假設(shè)不成立，原命題得證。

綜合法，分析法在平面幾何中常見(jiàn)

分別是從條件網(wǎng)結(jié)論推和從結(jié)論網(wǎng)條件到推

各個(gè)分支有著不同的證明方法

比如無(wú)窮遞降法 奇偶分析法大部分用于數(shù)論

三角法 解析法 同一法 用于幾何

求導(dǎo)法 著名不等式法 用于證明不等式和最值

比較基本的方法就是直接證或者反證

高中數(shù)學(xué)常用證明方法有哪些？

1.比較法         比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡(jiǎn)稱為求差法)和商值比較法(簡(jiǎn)稱為求商法)。 

2.綜合法         利用已知事實(shí)(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч保瑥摹耙阎笨础靶柚?，逐步推出“結(jié)論”。

3.分析法         分析法是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定那個(gè)條件是否具備，其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。

4.反證法         有些不等式的證明，從正面證不好說(shuō)清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設(shè)A≤B，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語(yǔ)時(shí)，可以考慮用反證法。 

5.換元法         換元法是對(duì)一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個(gè)或多個(gè)變量進(jìn)行代換，以便簡(jiǎn)化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來(lái)新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮三角代換，將兩個(gè)變量都有同一個(gè)參數(shù)表示。此法如果運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題根據(jù)具體問(wèn)題，實(shí)施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設(shè)x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對(duì)于含有的不等式，由于|x|≤1，可設(shè)x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設(shè)x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法：在對(duì)稱式(任意交換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進(jìn)行換元，其目的是通過(guò)換元達(dá)到減元，使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進(jìn)行換元。 

6.放縮法         放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而借助一個(gè)或多個(gè)中間變量通過(guò)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達(dá)到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進(jìn))一些項(xiàng)；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應(yīng)用均值不等式進(jìn)行放縮。

物理中的分析方法

歸納法:不完全歸納推理是統(tǒng)計(jì)推理歸納事務(wù)中比較常用的一種方法。以關(guān)于某類事物中部分對(duì)象的判斷為前提，推出關(guān)于某類事物全體對(duì)象的判斷做結(jié)論的推理。在歸納推理中，完全歸納推理是不多的，不完全歸納推理則是大量的。有兩種：(1)簡(jiǎn)單枚舉歸納推理，這是或然性推理；(2)科學(xué)歸納推理，這是必然性推理由于完全歸納推理具有一定的局限性和不可實(shí)現(xiàn)性，當(dāng)需要?dú)w納推理的單位數(shù)量過(guò)大，例如:某鄉(xiāng)鎮(zhèn)5000名農(nóng)民均在最低生活標(biāo)準(zhǔn)以下。在這個(gè)命題下，歸納者若需要遵循完全歸納推理原則，就需要調(diào)查全部5000名農(nóng)民的實(shí)際情況，對(duì)集合內(nèi)所有要素進(jìn)行逐一了解，這是一種不實(shí)際的推理原則。完全歸納推理，又稱"完全歸納法"，它是以某類中每一對(duì)象(或子類)都具有或不具有某一屬性為前提，推出以該類對(duì)象全部具有或不具有該屬性為結(jié)論的歸納推理。

完全歸納推理的作用主要有二:

一是具有認(rèn)識(shí)作用。雖然完全歸納推理的前提所斷定的知識(shí)范圍和結(jié)論所斷定的知識(shí)范圍相同，但它仍然可以提供新知識(shí)。這是因?yàn)椋那疤崾莻€(gè)別性知識(shí)的判斷，而結(jié)論則是一般性知識(shí)的判斷，也就是說(shuō)，完全歸納推理能使認(rèn)識(shí)從個(gè)別上升到一般。

二是具有論證作用。由于完全歸納推理是一種前提蘊(yùn)涵結(jié)論的必然性推理，因而人們常常用它來(lái)證明論點(diǎn)，反駁謬誤。

綜合法         綜合分析，整體分析 

等效法         電路中用的比較多，將一個(gè)復(fù)雜電路等效為一個(gè)簡(jiǎn)單電路，力學(xué)等也較常用 

類比法         例如將力學(xué)問(wèn)題與電學(xué)問(wèn)題類比等

一、控制變量法         通過(guò)固定某幾個(gè)因素轉(zhuǎn)化為多個(gè)單因素影響某一量大小的問(wèn)題。 7、探索磁場(chǎng)對(duì)電流的作用規(guī)律; 8、研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象; 9、研究焦耳定律。

 二、等效法         將一個(gè)物理量，一種物理裝置或一個(gè)物理狀態(tài)(過(guò)程)，用另一個(gè)相應(yīng)量來(lái)替代，得到同樣的結(jié)論的方法。 1、在研究物體受幾力時(shí)，引入合力。 2、曹沖稱象。 3、在研究多個(gè)用電器組成的電路中，引入總電阻。

 三、模型法         以理想化的辦法再現(xiàn)原型的本質(zhì)聯(lián)系和內(nèi)在特性的一種簡(jiǎn)化模型。 1、在研究光學(xué)時(shí)，引入“光線”概念。 2、在研究磁場(chǎng)時(shí)，引入磁感線對(duì)磁場(chǎng)進(jìn)行描述。 3、理想電表。 

四、轉(zhuǎn)換法(間接推斷法) 累積法         把不能觀察到的效應(yīng)(現(xiàn)象)通過(guò)自身的積累成為可觀測(cè)的宏觀物或宏觀效應(yīng)。 1、用壓緊鉛柱的方法來(lái)顯示分子面的引力作用。 2、在研究分子運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用擴(kuò)散現(xiàn)象來(lái)研究。 3、根據(jù)電流所產(chǎn)生的效應(yīng)認(rèn)識(shí)電流。 4、根據(jù)磁鐵產(chǎn)生的作用來(lái)認(rèn)識(shí)磁場(chǎng)。 

五、類比法         根據(jù)兩個(gè)對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，把其中某一對(duì)象的有關(guān)知識(shí)、結(jié)論推移到另一個(gè)對(duì)象中去的一種邏輯方法。 1、水壓--電壓 2、抽水機(jī)提供水壓類似電源提供電壓。 3、用速度的定義公式引入壓強(qiáng)公式。 

六、比較法         找出研究對(duì)象之間的相同點(diǎn)或相異點(diǎn)的一種邏輯方法。 1、研究蒸發(fā)和沸騰的異同點(diǎn)。 2、比較電壓表與電流表在使用過(guò)程中的相同點(diǎn)和相異點(diǎn)。 3、比較電動(dòng)機(jī)與發(fā)電機(jī)的結(jié)構(gòu)和原理的相同點(diǎn)和異同點(diǎn)。 4、汽油機(jī)和柴油機(jī)的相同點(diǎn)和異同點(diǎn)。

 七、歸納法         從一系列個(gè)別現(xiàn)象的判斷概括出一般性判斷的邏輯的方法。 1、從氣、液、固的擴(kuò)散實(shí)現(xiàn)現(xiàn)象，得出結(jié)論:一切物體的分子都在作無(wú)規(guī)則的運(yùn)動(dòng)。 2、物理學(xué)中的實(shí)驗(yàn)規(guī)律(如串、并聯(lián)電路中電流、電壓的特點(diǎn)等)幾乎都用了此法。

綜合法與分析法

 學(xué)習(xí)目標(biāo)

掌握綜合法和分析法的基本思路，能用綜合法和分析法證明有關(guān)問(wèn)題；了解數(shù)學(xué)歸納法，會(huì)用此方法證明問(wèn)題。

1、綜合法與分析法

（1）綜合法

一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理證明，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法又叫順推證法。

它的基本思路是“由因?qū)Ч?，即從“已知”得“可知”，再逐步推向未知的方法?/strong>

（2）分析法

我們從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件，這種證明方法叫分析法。

它的基本思路是“執(zhí)果索因”，即從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問(wèn)題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法，當(dāng)從題設(shè)不易入手的題目，而從結(jié)論上較易打開(kāi)思路時(shí)，多用分析法證明。

2、兩種方法的利弊特點(diǎn)

分析法從“未知”看“需知”，漸漸靠攏“已知”，逐步的推理，實(shí)際上是尋找它的充分條件. 它敘述冗長(zhǎng)，但常常根底漸近，有希望成功.

綜合法從“已知”看“可知”，漸漸推向“未知”，逐步的推理，實(shí)際上是尋找它的必要條件. 它形式簡(jiǎn)潔，條理清晰，邏輯結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，但往往枝節(jié)叢生，難以一下子達(dá)到目的. 

注：我們?cè)趯?shí)際解題時(shí)，應(yīng)把兩種方法結(jié)合起來(lái)運(yùn)用，先用分析法尋求解題思路，再用綜合法有條理地表達(dá)解題過(guò)程，這就達(dá)到了揚(yáng)長(zhǎng)避短、相互協(xié)調(diào)、相得益彰的良好目的.

3、綜合法的思維特點(diǎn)是：由已知推出結(jié)論. 

用綜合法證明不等式中常用的重要不等式有：

； （ ）； （ ）；（a，b同號(hào)）， （ ）。

【典型例題】

例1. 已知a、b、c是不全等的正數(shù)，求證：a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a2+b2）≥6abc．

【觀察】a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a2+b2）≥6abc．具有結(jié)構(gòu)循環(huán)特點(diǎn)

【變異】a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a2+b2）-6abc>0再變異為a（（b2+c2）-2bc）+b（（a2+c2）-2ac）+c（（a2+b2）-2ab）>0

【分析】  采用綜合法證明，利用性質(zhì)（a2+b2）≥2ab.證明：略

本題主要考查不等式的證明．證明用到了分析法，分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，一步步相前推，得到一個(gè)恒成立的不等式，或明顯成立的結(jié)論即可．

例2. 已知，? 求證：。      證法一（綜合法）：

證法二（分析法）：，為了證明Y，? 只需證明  X，? 即C，? 即B，A，? 即Z.? 成立，? 成立

說(shuō)明：分析法和綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面，分析法的證明過(guò)程恰恰是綜合法的分析、思考過(guò)程，綜合法的證明方法是分析思考過(guò)程的逆推.

例3. 已知a，b，c∈R+，求證：

（1）（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）≥16abc；

分析： 用綜合法證明，注意構(gòu)造定理所需條件.

證明：

（1）ab+a+b+1=（a+1）（b+1），

ab+ac+bc+c2=（a+c）（b+c）.

∴（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）≥16abc

因此，當(dāng)a，b，c∈R+，有

（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）≥16abc.

說(shuō)明： 用均值定理證明不等式時(shí)，一要注意定理適用的條件，二要為運(yùn)用定理對(duì)式子作適當(dāng)變形，把式子分成若干部分，對(duì)每部分運(yùn)用均值定理后，再把它們相加或相乘.

例4. 已知：a，b∈R＋，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b＋ab2.

求差比較

證法1：（a3＋b3）-（a2b＋ab2）

=（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a＋b）

=（a＋b）（a2-2ab＋b2）

=（a＋b）（a-b）2.

由a，b∈R＋，知a＋b＞0，又a≠b，則（a-b）2＞0，

進(jìn)而（a＋b）（a-b）2＞0，即（a3＋b3）-（a2b＋ab2）＞0，

所以a3＋b3＞a2b-ab2.

分析法：

證法2：

欲證a3＋b3＞a2b＋ab2，

即證（a＋b）（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），

因?yàn)閍＋b＞0，

故只需證a2-ab＋b2＞ab，

即證a2-2ab＋b2＞0，

即證（a-b）2＞0，

因?yàn)閍≠b，

所以（a-b）2＞0成立，

所以a3＋b3＞a2b＋ab2成立.

綜合法：

證法3：

由a≠b，知（a-b）2＞0，即a2-2ab＋b2＞0，則a2-ab＋b2＞ab

又a＋b＞0，則（a＋b）?（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），

即a3＋b3＞a2b＋ab2.

注：熟練地應(yīng)用學(xué)過(guò)的證明方法，對(duì)同一命題用三種方法進(jìn)行了證明，開(kāi)闊了思路. 應(yīng)學(xué)會(huì)針對(duì)具體題目，靈活地選取方法.

例5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明4+3n+2能被13整除，其中n∈N*

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，42×1+1+31+2=91能被13整除

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，42k+1+3k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，

42（k+1）+1+3k+3=42k+1?42+3k+2?3－42k+1?3+42k+1?3

=42k+1?13+3?（42k+1+3k+2?）

∵42k+1?13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除

∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立 

由①②知，當(dāng)n∈N*時(shí)，42n+1+3n+2能被13整除 

【模擬試題】

一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

1、已知f（n）=（2n+7）?3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N,都能使m整除f（n），則最大的m的值為（    ）

A. 30                    B. 26                            C. 36                    D. 6

2、如果命題p（n）對(duì)n=k成立，則它對(duì)n=k+2也成立，又若p（n）對(duì)n=2成立，則以下說(shuō)法正確的是（   ）

A. p（n）對(duì)所有的正整數(shù)n成立

B. p（n）對(duì)所有的正偶數(shù)n成立

C. p（n）對(duì)所有的正奇數(shù)n成立

D. p（n）對(duì)所有大于1的正整數(shù)n成立。

3、對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b、c、d，命題①；②

③；④；⑤.

其中真命題的個(gè)數(shù)是 （     ）

A. 1                     B. 2                             C. 3                 D. 4 

4、數(shù)列1，，，…前100項(xiàng)的和等于（   ）

A.             B.                                  

5、中有（    ）個(gè)不小于2

A. 3                     B. 0                             C. 至少一個(gè)               D. 至多1個(gè)

6、設(shè)，且的取值范圍是（    ）

A.                                        B. 

C.                                             D. 

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

7、已知a1=,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_(kāi)_______，由此猜想an=________ 

8、已知x>0,y>0.且x+2y+xy=30,則xy的最大值為_(kāi)_______

9、有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，則這n個(gè)圓把平面分成f（n）＝_______個(gè)部分.

10、若△的內(nèi)切圓半徑為，三邊長(zhǎng)為、、，則△的面積為。若四面體的內(nèi)切球半徑為，四個(gè)面的面積為、、、，則四面體的體積____________________.

三、解答題（本大題共4題，共50分）

11、已知a，b，m，n∈R，且a2+b2=1，m2+n2=1，求證：|am+bn|≤1.

12、若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：

13、在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an,Sn,Sn－成等比數(shù)列 

（1）求a2,a3,a4，并推出an的表達(dá)式；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論；

（3）求數(shù)列{an}所有項(xiàng)的和 

14、已知，，，求證：在三數(shù)中，不可能都大于.

【試題答案】

1、解析：∵f（1）=36,f（2）=108=3×36,f（3）=360=10×36

∴f（1）,f（2）,f（3）能被36整除，猜想f（n）能被36整除。

證明：n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，

f（k）=（2k+7）?3k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)，

f（k+1）－f（k）=（2k+9）?3k+1?－（2k+7）?3k

=（6k+27）?3k－（2k+7）?3k

=（4k+20）?3k=36（k+5）?3k－2?（k≥2）

f（k+1）能被36整除

∵f（1）不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36。

答案：C

2、B

3、A

4、A

5、C

6、C

解：設(shè)，

    則

7. 解析：

、、、  

8、18

9、f（n）＝n2-n＋2

10、

11、證法一：（比較法）

證法二：（分析法）

∵a，b，m，n∈R，∴上式成立，因此原不等式成立.

證法三：（綜合法）

∵a，b，m，n∈R，∴（|a|-|m|）2≥0，（|b|-|n|）2≥0.

即a2+m2≥2|am|，b2+n2≥2|bn|

∴a2+m2+b2+n2≥2（|am|+|bn|）

∵a2+b2=1，m2+n2=1，∴|am|+|bn|≤1

∴|am+bn|≤|am|+|bn|≤1.

證法四：（換元法）

由已知，可設(shè)a=sinα，b=cosα，m=sinβ，n=cosβ.

于是|am+bn|=|sinαsinβ+cosαcosβ|=|cos（α-β）|≤1.

【說(shuō)明】一個(gè)不等式的證明方法往往不只一種，要注意依據(jù)題目特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?

12、證明：∵a，b，c∈R+，

abc成立. 上式兩邊同取常用對(duì)數(shù)，得

13、解  ∵an,Sn,Sn－成等比數(shù)列，

∴Sn2=an?（Sn－）（n≥2）                       （*）

（1）由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入（*）式得:a2=－

由a1=1，a2=－,S3=+a3代入（*）式得  a3=－

同理可得  a4=－,由此可推出  an=

（2）①當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，由（*）知猜想成立 

②假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，ak=－成立

故Sk2=－?（Sk－）

∴（2k－3）（2k－1）Sk2+2Sk－1=0

∴Sk= （舍）

由Sk+12=ak+1?（Sk+1－）,得（Sk+ak+1）2=ak+1（ak+1+Sk－）

由①②知，an=對(duì)一切n∈N成立 

（3）由（2）得數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=,∴S=Sn=0 

14、分析：此命題的形式為否定式，宜采用反證法證明. 假設(shè)命題不成立，則三數(shù)都大于，從這個(gè)結(jié)論出發(fā)，進(jìn)一步去導(dǎo)出矛盾.

證明：假設(shè)三數(shù)都大于，

即，，.

又∵，，，

∴，，.

∴   ①

又∵，，.

以上三式相加，即得：

  ②

顯然①與②相矛盾，假設(shè)不成立，故命題獲證.

說(shuō)明：一般情況下，如果命題中有“至多”、“至少”、“都”等字樣，通常情況下要用反證法，反證法的關(guān)鍵在于“歸謬”，同時(shí)，在反證法的證明過(guò)程中，也貫穿了分析法和綜合法的解題思想.