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習(xí)題教學(xué)對(duì)學(xué)生值得鞏固與梳理、融匯與貫通并轉(zhuǎn)化為技能有著重要的作用，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，但如何通過習(xí)題教學(xué)使知識(shí)通匯貫通、聞一知十？如何通過習(xí)題教學(xué)讓知識(shí)條理清晰、縱橫聯(lián)系？如何通過解題活動(dòng)來培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力？這些都值得我們一線教師思考。題不在多，理解則靈，在“一題多解”的過程中，將習(xí)題教學(xué)提升為一種自我學(xué)習(xí)、研究的動(dòng)力，追尋問題的“根”與“宗”，理解問題的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)，或許這種“聞一以知十”的數(shù)學(xué)活動(dòng)，更能激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)思維品質(zhì)的發(fā)展，體驗(yàn)“數(shù)學(xué)之旅”的創(chuàng)意和愉悅！暑期八月，我選擇2013年新課標(biāo)Ｉ卷理科數(shù)學(xué)第17題為例，在“學(xué)生返校日”進(jìn)行了兩個(gè)課時(shí)的“一題多解”教學(xué)?，F(xiàn)整理成文，以饗同行。
這是一道頗具匠心的三角形試題，難易適中，但格調(diào)清新、意境幽深，是展示課程標(biāo)準(zhǔn)理念，充分體現(xiàn)解法的開放性與探究性，考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)的好題，堪稱命題專家智慧的結(jié)晶。
絕大多數(shù)學(xué)生將條件轉(zhuǎn)化集中于以AP為一邊的APC或△APB中，再應(yīng)用余弦定理求得邊長(zhǎng)AP，順利解決問題（1）。 
但對(duì)于問題（２），部分學(xué)生認(rèn)為條件較為分散，難以直接突破，故而沉思不語(yǔ)。教師提示：聯(lián)想到解決角的問題的工具常應(yīng)用向量，故考慮利用向量的數(shù)量積與坐標(biāo)運(yùn)算，建立關(guān)于∠PBA的三角等式求解。
教師點(diǎn)評(píng)：本題的求解可謂“一波三折”，先是引參設(shè)元，集中變量后，建立關(guān)于角的正余弦的等式，進(jìn)而化弦為切。解此題，需要有非常的計(jì)算功力不可，難道真的只能這樣笨拙地求解嗎？一學(xué)生提出，由于∠BPA，∠CPB均為定角，根據(jù)圓的性質(zhì)，可知點(diǎn)P為兩圓交點(diǎn)，因此在平面直角坐標(biāo)系中，可確定點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)求解。
教師點(diǎn)評(píng)：解法二運(yùn)用坐標(biāo)法，將幾何問題代數(shù)化，不失為一種妙法，但從計(jì)算上而言，還是較為繁難。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解是豐富多彩的，如對(duì)習(xí)題所給信息進(jìn)行思維加工的深度和廣度把握的不同，以及對(duì)相關(guān)內(nèi)容和思想掌握程度的估計(jì)不足，不同的切入點(diǎn)體現(xiàn)出不同的思維層次，均具有個(gè)體差異性。一旦這種理解的差異性外化，其在解題過程中的思考嘗試與表現(xiàn)形式也就具有多樣性特征導(dǎo)致解題繁簡(jiǎn)的不同。學(xué)生繼續(xù)思考問題（1），由ΔBPA中∠BPA已知，因此要求tan∠PBA，只需表示出邊BP、AP 的長(zhǎng)度，由于∠BPC的特圖3殊性，可考慮延長(zhǎng)CP得解法三。 
由于在ΔAPB與ΔBPC中借助已知角∠BPA與待求角∠PBA，可以表示線段PC，PA，因此，將各量集中到ΔAPC中求解。
教師點(diǎn)評(píng)：以上解法與解法一本質(zhì)相同，只是建立等式的方式相異。這告訴我們，在解題時(shí)如果不能注重分析條件間的聯(lián)系，就會(huì)導(dǎo)致解題兜圈子，使簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化。大家想想，問題中有如此多的角，它們有什么關(guān)系嗎？
解法深思：“小蕾已露數(shù)點(diǎn)紅” 數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)只注重?cái)?shù)學(xué)形式層面的知識(shí)，而應(yīng)更重視數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)層面的內(nèi)容，讓學(xué)生以積極的心態(tài)調(diào)動(dòng)已有的認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)，去經(jīng)歷理解、感受數(shù)學(xué)思想和觀念、技能與方法。奧加涅相指出，“必須重視，很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性?！焙芏鄷r(shí)候，教師僅僅游走在學(xué)生思維的邊緣，只關(guān)注習(xí)題在鞏固知識(shí)方面的效用，單純追求習(xí)題量的積累，忽視其課堂教學(xué)的“生成”功能與知識(shí)的聯(lián)系功能，只有當(dāng)我們真正站在學(xué)生的角度思考問題，充分暴露解題思維，才可能理解學(xué)生，幫助學(xué)生把解答中缺失的思維找回來，才可能理解教學(xué)，實(shí)現(xiàn)由單一的機(jī)械重復(fù)訓(xùn)練向主體探究的自我建構(gòu)的轉(zhuǎn)變。 受以上解法的啟示，注意到求tan∠PBA的實(shí)質(zhì)為建立關(guān)于∠PBA的三角方程，因此可以通過邊角之間的聯(lián)系，利用正弦定理建立方程解題。
教師點(diǎn)評(píng)：一個(gè)數(shù)量，兩種算法，即得到一個(gè)等量關(guān)系，這種思維方法稱為“算兩次”，又稱富比尼（G·Fubini）原理。它在解決此題時(shí)，構(gòu)思精巧，過程簡(jiǎn)約，干脆利落，給人以美感，其作用耐人尋味。 在習(xí)題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一道題所可能涉及的知識(shí)與方法進(jìn)行多角度、多層面的深入思考，發(fā)表對(duì)問題的獨(dú)到見解，努力做到以知識(shí)為支撐點(diǎn)、以能力為再生點(diǎn)、以思維訓(xùn)練為落腳點(diǎn)，用數(shù)學(xué)思想和方法來指導(dǎo)解題，將題研“深”、拓“廣”、鉆“透”，將課堂發(fā)展為一個(gè)思維發(fā)散和碰撞的“激發(fā)場(chǎng)”，讓學(xué)生在交流中形成思維發(fā)散的新穎性與獨(dú)特性，有利于全面系統(tǒng)地掌握解題規(guī)律，加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系，并不斷將新學(xué)習(xí)的知識(shí)方法納入已有的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使所學(xué)知識(shí)方法“升華”為數(shù)學(xué)思想，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，形成科學(xué)思維和提高習(xí)題教學(xué)效果的有效途徑．受剛才學(xué)生成功運(yùn)用“算兩次”方法的啟示，又有學(xué)生提供下面解法： 
考慮到ΔBPC為特殊三角形，通過將線段PB或PC“算兩次”，特別地，若對(duì)ＰＣ“算兩次”，則問題近乎“一望而解”。
教師總結(jié)：一道優(yōu)秀的數(shù)學(xué)題蘊(yùn)藏著豐富的解題信息，只要我們用心探索，勇于思考，必可覓得“終南捷徑”。 一道數(shù)學(xué)題的解答，并不是問題的終結(jié)，因?yàn)榱?xí)題教學(xué)的目的在于，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值，為學(xué)生提供一個(gè)思考的機(jī)會(huì)，提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力，激發(fā)學(xué)生探究問題的根源的興趣與心向。因此，對(duì)“只緣身在此山中”的問題雖有較完美的解決，如果教師注重問題和學(xué)生經(jīng)驗(yàn)、課外知識(shí)的聯(lián)系和融合，以問題為載體，站在一定的高度加以審視，力“識(shí)廬山真面目”，對(duì)問題延伸探究，引領(lǐng)學(xué)生追本溯源，從中發(fā)掘題目的精髓，看清問題的本質(zhì)，這樣，學(xué)生才能用更高的觀點(diǎn)、更廣的視野、更理性的眼光去思考數(shù)學(xué)問題，使數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)更為高效真實(shí)。
由以上解法可知，圖１中有∠PBA＝∠PCB＝∠PAC，即本題的背景為三角形的布洛卡（Brocard）點(diǎn)：若Ｐ是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝ω，則點(diǎn)Ｐ稱作△ABC的第一類布洛卡點(diǎn)（正布洛卡點(diǎn)）；若∠QBA ＝∠QCB＝∠QAC＝ω′，則點(diǎn)Ｑ稱作△ABC的第二類布洛卡點(diǎn)（負(fù)布洛卡點(diǎn)），其中ω，ω′稱為布洛卡角。任意三角形都有兩個(gè)布洛卡點(diǎn)，且△ABC的正布洛卡點(diǎn)為△ACB的負(fù)布洛卡點(diǎn)。
根據(jù)布洛卡角所在圖形，結(jié)合余弦定理，我們有如下解法： 教師總結(jié)：解法九、十雖然曲折，但我們從中收獲布洛卡角的兩條性質(zhì)：（1）cotw＝（ａ2＋ｂ2 ＋ｃ2）÷４S。其中Ｓ為ΔABC的面積；（2）cotw＝cotω′＝cotＡ＋cotＢ＋cotＣ。這表明數(shù)學(xué)中眾多的知識(shí)點(diǎn)并不“孤單”，不正說明了“數(shù)學(xué)有趣”嗎？ 波利亞說：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣有利于學(xué)生的知識(shí)的遷移與內(nèi)化，習(xí)得結(jié)構(gòu)化的、互相聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)，為形成和發(fā)展良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)打下基礎(chǔ)。 有意思的是，由布洛卡點(diǎn)的幾何意義并結(jié)合解法二，可以得到問題（2）的純幾何解法。考慮到條件中涉及到直角三角形，而勾股定理是描述直角三角形三邊的內(nèi)在關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，因此，可以構(gòu)造直角三角形求解。
教師點(diǎn)評(píng)：這正是代數(shù)運(yùn)算顯其表，幾何性質(zhì)蘊(yùn)其中，看來此題也是一道初中幾何問題，可以構(gòu)造直角三角形與相似三角形知識(shí)解決。正余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是正余弦定理的特例，對(duì)斜三角形添加輔助線構(gòu)造直角三角形，再利用邊角關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，不失為一種解三角形之道。從這種意義來講，勾股定理與正余弦定理在解三角形時(shí)實(shí)質(zhì)是等效的。數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，不單表現(xiàn)在鄰近概念的聯(lián)系，或知識(shí)的表層聯(lián)系與單向聯(lián)系，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)通過解法的展示與評(píng)價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)知識(shí)的多向、深層次聯(lián)系性，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的運(yùn)用既“知其然”又“知其所以然”，以學(xué)會(huì)有效合理的選擇解題方法。學(xué)生探索其他解法，作PD⊥ AC于點(diǎn)Ｄ，由ΔADP∽ΔCPB求解，或過點(diǎn)Ｃ作CF⊥AP于F，結(jié)合ΔAFC∽ΔCBP得解。限于篇幅，不再詳述。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“一題多解”既要重問題，更應(yīng)重主體、重過程，發(fā)揮習(xí)題的教學(xué)功能，達(dá)到知識(shí)方法的舉一反三與合縱連橫；也要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，形成探究意識(shí)。與其讓學(xué)生疲于應(yīng)付大容量“一招一式”的簡(jiǎn)單模仿與高密度“一題一法”的重復(fù)訓(xùn)練，窒息其智慧，不如選擇一道好題，通過深入研究，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)興趣，啟迪思維，引導(dǎo)思想。若對(duì)經(jīng)典例題充分進(jìn)行挖掘，注重培養(yǎng)探索“一題多解”的習(xí)慣，不但可以促進(jìn)學(xué)生理解和掌握顯性知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生靈活運(yùn)用多方面的知識(shí)，還可以挖掘其中隱性的思想方法，完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，激發(fā)探求欲望，提高創(chuàng)新能力；而且能讓教師對(duì)習(xí)題的研究更加深入，有利于自己的課堂由解題向積累轉(zhuǎn)變，由鞏固向探究轉(zhuǎn)變，也有利于增加教與學(xué)的透明度，使教師更加準(zhǔn)確地把握教學(xué)目標(biāo)和要求，發(fā)現(xiàn)學(xué)生運(yùn)用與聯(lián)系知識(shí)的不足之處，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到質(zhì)的提高，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)；也同時(shí)幫助深刻理解學(xué)生知識(shí)的系統(tǒng)性、特殊性和廣泛性，從而使學(xué)生開拓知識(shí)視野，逐步將學(xué)生引入勝境。
總之，數(shù)學(xué)教學(xué)中，過程往往比結(jié)果更美麗，我們不要為了趕路而忘了欣賞沿途的風(fēng)景。如果習(xí)題教學(xué)是教師“無私奉獻(xiàn)”的壟斷，或是個(gè)別學(xué)生“繁榮活躍”的表演，這樣大多數(shù)學(xué)生只能“懂而不會(huì)”，達(dá)不到聞一知十的效果。只有教學(xué)過程是一個(gè)探究發(fā)現(xiàn)的過程，才能見微知著，才會(huì)更富有樂趣。
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