切空間是在某一點(diǎn)所有的切向量組成的線性空間。切空間是微分流形在一點(diǎn)處所決定的向量空間，是歐氏空間中光滑曲線的切線、光滑曲面的切平面的推廣。

為了理解切空間，首先要清楚什么是切向量。歐式空間中的切向量很直觀，完全可以想象得出來，但對(duì)于更一般的流形而言，這樣直觀的切向量已經(jīng)不復(fù)存在，所以必須要重新定義出與歐式空間中切向量相容的切向量。

歐式空間中的切向量聯(lián)系著方向?qū)?shù)，而流形上函數(shù)仍然有方向?qū)?shù)，這就啟發(fā)了我們?nèi)ザx流形上的切向量。

把流形上的函數(shù)f(x)限制在光滑曲線x(t)上，那么函數(shù)成為f(x(t))，此時(shí)函數(shù)沿曲線在p點(diǎn)的方向?qū)?shù)為

在p點(diǎn)選取局部坐標(biāo)系x=(x1,?,xn)，那么上式可以表示成

此時(shí)將微分算子Xp定義作在p點(diǎn)的切向量，這樣就符合了切向量和方向?qū)?shù)的關(guān)系，也符合了切向量的含義，而且與歐式空間中切向量相符。

那么受此啟發(fā)，可以將流形上在p點(diǎn)的切向量直接定義成具有線性性和萊布尼茨性質(zhì)的映射v:

而在p點(diǎn)的所有切向量便構(gòu)成了p點(diǎn)的切空間，這與歐式空間相同。進(jìn)一步可知，p點(diǎn)處的切空間維數(shù)與流形的維數(shù)相同，而且有自然定義的基底:

直觀一點(diǎn)來說，切空間就是流形在一點(diǎn)的線性化，是包含此點(diǎn)最簡(jiǎn)單的空間，借助這一“簡(jiǎn)單”，便可以過得更多關(guān)于流形本身的性質(zhì)，對(duì)比一下歐式空間的話，這些是很好想像的。