高考要求

導(dǎo)數(shù)是中學(xué)限選內(nèi)容中較為重要的知識，本節(jié)內(nèi)容主要是在導(dǎo)數(shù)的定義，常用求等公式 四則運算求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則等問題上對考生進行訓(xùn)練與指導(dǎo)

重難點歸納

1 深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念，了解用定義求簡單的導(dǎo)數(shù)

表示函數(shù)的平均改變量，它是Δx的函數(shù)，而f′(x₀)表示一個數(shù)值，即f′(x)=，知道導(dǎo)數(shù)的等價形式

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2 求導(dǎo)其本質(zhì)是求極限，在求極限的過程中，力求使所求極限的結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為已知極限的形式，即導(dǎo)數(shù)的定義，這是順利求導(dǎo)的關(guān)鍵

3 對于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡，再求導(dǎo)的基本原則，求導(dǎo)時，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤

4 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，像鏈條一樣，必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能丟掉其中的一環(huán) 必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的，分清其間的復(fù)合關(guān)系

典型題例示范講解

例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

命題意圖 本題3個小題分別考查了導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法，以及抽象函數(shù)求導(dǎo)的思想方法 這是導(dǎo)數(shù)中比較典型的求導(dǎo)類型

知識依托 解答本題的閃光點是要分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)和特征，挖掘量的隱含條件，將問題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

錯解分析 本題難點在求導(dǎo)過程中符號判斷不清，復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)分解為基本函數(shù)出差錯

技巧與方法 先分析函數(shù)式結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)復(fù)合函數(shù)的式子特征，按照求導(dǎo)法則進行求導(dǎo)

(2)解 y=μ³,μ=ax－bsin²ωx,μ=av－by

v=x,y=sinγ γ=ωx

y′=(μ³)′=3μ²·μ′=3μ²(av－by)′=3μ²(av′－by′)=3μ²(av′－by′γ′)

=3(ax－bsin²ωx)²(a－bωsin2ωx)

(3)解法一 設(shè)y=f(μ),μ=,v=x²+1,則y′_x=y′_μμ′_v·v′_x=f′(μ)·v^－·2x

=f′()··2x =

解法二 y′=［f()］′=f′()·()′

=f′()·(x²+1)·(x²+1)′=f′()·(x²+1) ·2x

=f′()

例2利用導(dǎo)數(shù)求和

(1)S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1(x≠0,n∈N^*)

(2)S_n=C+2C+3C+…+nC,(n∈N^*)

命題意圖 培養(yǎng)考生的思維的靈活性以及在建立知識體系中知識點靈活融合的能力

知識依托 通過對數(shù)列的通項進行聯(lián)想，合理運用逆向思維 由求導(dǎo)公式(xⁿ)′=nx^n－1,可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導(dǎo)數(shù) 關(guān)鍵要抓住數(shù)列通項的形式結(jié)構(gòu)

錯解分析 本題難點是考生易犯思維定勢的錯誤，受此影響而不善于聯(lián)想

技巧與方法 第(1)題要分x=1和x≠1討論，等式兩邊都求導(dǎo)

解 (1)當(dāng)x=1時S_n=1+2+3+…+n=n(n+1);

當(dāng)x≠1時，∵x+x²+x³+…+xⁿ=,兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得

(x+x²+x³+…+xⁿ)′=()′即S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1=

(2)∵(1+x)ⁿ=1+Cx+Cx²+…+Cxⁿ,

兩邊都是關(guān)于x的可導(dǎo)函數(shù)，求導(dǎo)得n(1+x)^n－1=C+2Cx+3Cx²+…+nCx^n－1,

令x=1得，n·2^n－1=C+2C+3C+…+nC,即S_n=C+2C+…+nC=n·2^n－1

例3 已知曲線C y=x³－3x²+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(x₀,y₀)(x₀≠0)，求直線l的方程及切點坐標(biāo)

解 由l過原點，知k=(x₀≠0),點(x₀,y₀)在曲線C上，y₀=x₀³－3x₀²+2x₀,

∴=x₀²－3x₀+2 y′=3x²－6x+2,k=3x₀²－6x₀+2又k=,∴3x₀²－6x₀+2=x₀²－3x₀+2

2x₀²－3x₀=0,∴x₀=0或x₀= 由x≠0,知x₀= ∴y₀=()³－3()²+2·=－

∴k==－ ∴l方程y=－x 切點(，－)

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