線性代數(shù)到底在講什么？”剛接觸這門學(xué)科的同學(xué)可能都會(huì)提類似的問(wèn)題。簡(jiǎn)短的回答就是：

        （1）我們所處的世界、宇宙太復(fù)雜了，很多現(xiàn)象都無(wú)法理解，更談不上用數(shù)學(xué)去描述；

        （2）有一些符合特定條件的復(fù)雜問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的線性問(wèn)題，線性問(wèn)題就完全可以理解、完全可以被數(shù)學(xué)所描述（怎么把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)為線性問(wèn)題是別的學(xué)科要解決的，比如說(shuō)微積分）；

        （3）線性代數(shù)就是研究怎么解決線性問(wèn)題的。

簡(jiǎn)短的回答結(jié)束，下面會(huì)在該回答基礎(chǔ)展開，給出更詳細(xì)的闡述。

1.1 三體

科幻小說(shuō)《三體》描述了一個(gè)三體世界，這是一個(gè)周圍有三個(gè)“太陽(yáng)”的行星（這樣的行星在宇宙中是有原形的）：

在引力的作用下，三個(gè)“太陽(yáng)”互相推拉，導(dǎo)致它們的運(yùn)行軌跡十分復(fù)雜，這樣的問(wèn)題可以稱為“三體問(wèn)題”。其中的行星（下圖中最小的球體），也就是三體世界被牽扯著四處運(yùn)動(dòng)：

這樣導(dǎo)致的結(jié)果是，三體世界上的環(huán)境非常惡劣：如果三個(gè)“太陽(yáng)”同時(shí)靠近它，那么溫度就會(huì)非常高；三個(gè)“太陽(yáng)”同時(shí)遠(yuǎn)離，則又變成冰封大陸；只有在三個(gè)“太陽(yáng)”不遠(yuǎn)不近、不多不少的靠近它時(shí)，會(huì)有那么一段適合生物發(fā)展的時(shí)期。

在這樣殘酷的環(huán)境中，反復(fù)地毀滅和創(chuàng)造下，孕育出了比人類先進(jìn)很多的三體文明。就是這樣的先進(jìn)文明也沒有辦法預(yù)測(cè)三個(gè)“太陽(yáng)”的軌跡。有可能短暫地預(yù)測(cè)成功了，但是偶爾路過(guò)的彗星，或者遠(yuǎn)處的超新星爆炸等，又會(huì)給非常不穩(wěn)定的三體系統(tǒng)帶來(lái)攪動(dòng)，導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)軌跡重新變得撲朔迷離。

1.2 散熱

三體的例子很遙遠(yuǎn)，下面來(lái)看一個(gè)生活中的例子。下面是電腦里面的顯卡，左側(cè)是顯卡風(fēng)扇。從動(dòng)圖中可以看出，工作中的顯卡有的地方溫度很高，風(fēng)扇吹出來(lái)的風(fēng)不斷在給顯卡降溫：

由于各種器件的存在，以及氣流的相互影響，導(dǎo)致風(fēng)的運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜。假如要去計(jì)算某一時(shí)刻、某一點(diǎn)的風(fēng)力大小和方向，可想而知難度會(huì)有多大。

相對(duì)于復(fù)雜的世界而言，線性問(wèn)題是非常簡(jiǎn)單的。下面籠統(tǒng)說(shuō)下什么是線性問(wèn)題。

2.1 線性

有一類幾何對(duì)象，比如立方體、直線、平面，看上去都是有棱有角的，都是“直”的，在數(shù)學(xué)中稱為 線性（這么說(shuō)肯定不嚴(yán)格，可以暫時(shí)這么通俗地理解）：

2.2 線性問(wèn)題

要處理它們，以及和它們相關(guān)的問(wèn)題就非常簡(jiǎn)單。比如在高中就學(xué)過(guò)，兩根直線可以用兩個(gè)線性方程來(lái)表示，想求它們交點(diǎn)的話：

聯(lián)立出兩者的方程組，求出該方程組的解就可以得到交點(diǎn)：

這里舉的例子很簡(jiǎn)單，隨著后面的深入學(xué)習(xí)就會(huì)知道，線性問(wèn)題還是有一定的復(fù)雜性，不然不會(huì)需要《線性代數(shù)》這門學(xué)科來(lái)研究線性問(wèn)題。

復(fù)雜的世界介紹了，簡(jiǎn)單的線性問(wèn)題也介紹了，之前說(shuō)了，某些復(fù)雜問(wèn)題可以轉(zhuǎn)為簡(jiǎn)單的線性問(wèn)題，或者稱為復(fù)雜問(wèn)題可以 線性化 ，下面就來(lái)看幾個(gè)例子。

3.1 靜態(tài)

不規(guī)則曲線挺復(fù)雜的，不過(guò)在一定的條件下，  點(diǎn)附近的曲線可以用一根直線來(lái)代替（這是《單變量微積分》中的內(nèi)容）：

不規(guī)則曲線也蠻復(fù)雜的，也是在一定的條件下，  附近的曲面可以用一個(gè)平面來(lái)代替（這是《多變量微積分》中的內(nèi)容）：

3.2 動(dòng)態(tài)

在5G通信中，會(huì)遇到各種各樣復(fù)雜的周期波，我們可以通過(guò)正弦函數(shù)來(lái)近似這些周期波（這是《信號(hào)與系統(tǒng)》中的內(nèi)容）：

為什么要用正弦函數(shù)來(lái)近似？這是因?yàn)?，如果將一根線段旋轉(zhuǎn)一圈，記錄該線段在 y 軸上的軌跡，得到的就是正弦函數(shù)：

也就是說(shuō)，正弦函數(shù)實(shí)際上是運(yùn)動(dòng)的線段，也是線性的。那么用正弦函數(shù)來(lái)近似周期波，就相當(dāng)于將各種復(fù)雜的周期波的問(wèn)題給線性化了。

之前的例子比較直覺，下面通過(guò)人臉識(shí)別給出一個(gè)具體的例子，雖然相對(duì)于真正的應(yīng)用而言，這個(gè)例子已經(jīng)極度簡(jiǎn)化了，大家還是可以看到是怎么通過(guò)線性化來(lái)解決像人臉識(shí)別這樣的復(fù)雜問(wèn)題的（下面的圖片出自 這里）。

下圖中，有兩張照片是同一個(gè)人的：

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，人是很容易分辨出來(lái)的，但計(jì)算機(jī)應(yīng)該怎么辦呢？其中一種方法就是將之線性化。首先，給出此人更多的照片：

將其中某張照片分為眼、鼻、嘴三個(gè)部位，這是人臉最重要的三個(gè)部位。通過(guò)某種算法，可以用三個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)分別表示這三個(gè)部位，比如下圖得到的分別是 150 、30、20：

將所有這些照片分別算出來(lái)，用三維坐標(biāo)來(lái)表示得到的結(jié)果，比如上圖得到的結(jié)果就是  (150,30,20) 。將這些三維坐標(biāo)用點(diǎn)標(biāo)注在直角坐標(biāo)系中，發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)都落在某平面上，或該平面的附近。因此，可認(rèn)為此人的臉線性化為了該平面：

將人臉線性化為平面后，再給出一張新的照片，按照剛才的方法算出這張照片的三維坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)不在平面上或者平面附近，就可以判斷不是此人的照片：

總結(jié)下，人臉識(shí)別就是把之前的人臉線性化為平面，然后判斷新的照片是否在該平面內(nèi)：

這里面有兩個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：

        （1）怎么表示人臉線性化后的平面？

        （2）怎么判斷人臉是否在該平面內(nèi)？

線性代數(shù)提供了這兩個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方案。

5.1 向量和向量空間

第一個(gè)問(wèn)題，怎么表示人臉線性化后的平面？線性代數(shù)提供了向量或向量空間來(lái)表示平面、直線以及立體等線性的幾何對(duì)象：

5.2 矩陣函數(shù)

第二個(gè)問(wèn)題，怎么判斷人臉是否在該平面內(nèi)？線性代數(shù)提供了關(guān)于向量和向量空間的函數(shù)，也就矩陣函數(shù)，或者簡(jiǎn)稱為矩陣。這樣可以很方便的判斷出新的照片是否在之前線性化得到的平面上（下面的不等于就表示不在平面上）：

綜上，線性代數(shù)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是如何解決線性問(wèn)題（再重復(fù)一下，如何把復(fù)雜問(wèn)題線性化是別的學(xué)科的內(nèi)容，比如《微積分》、《信號(hào)與系統(tǒng)》等），我們的《線性代數(shù)》課程會(huì)討論的線性問(wèn)題如下：

• 什么是向量、向量空間

• 關(guān)于向量、向量空間的函數(shù)，也稱為矩陣函數(shù)

• 對(duì)矩陣函數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)變換（之前沒有提到這點(diǎn)，但是對(duì)于復(fù)雜的線性問(wèn)題，需要進(jìn)行坐標(biāo)變換）

掌握了以上內(nèi)容，才具備了處理復(fù)雜問(wèn)題的部分基礎(chǔ)能力，因此線性代數(shù)是工科、理科的必修科目。我們的《線性代數(shù)》課程會(huì)對(duì)這些內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)介紹，最后也會(huì)回答之前提到的人臉識(shí)別中的與線性代數(shù)相關(guān)的細(xì)節(jié)，讓我們帶著好奇心前行吧。

我們通過(guò)通俗易懂、圖形化的方式，對(duì)《線性代數(shù)》、《單變量微積分》、《多變量微積分》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》進(jìn)行了精講，可以直接點(diǎn)擊下面這個(gè)圖片購(gòu)買包含這些內(nèi)容的圖解合集（已經(jīng)購(gòu)買了單科的用戶，也可以通過(guò)補(bǔ)差升級(jí)到合集）：