前面的文章已經(jīng)對行列式和矩陣做了簡單介紹，在經(jīng)過向量與平面方程的鋪墊后，讓我們以新的視角去審視行列式與矩陣。

行列式

　　如果有兩個向量<a₁, a₂>和<b₁, b₂>，那么這兩個向量組成的行列式是：

　　看起來只是表示一個簡單的計算，僅僅計算了一個數(shù)值，但是別忘了，行列式是由向量組成的，它一定會表示向量間的某種關系。

　　在《線性代數(shù)筆記4——向量3（叉積）》中我們看到，二階行列式表示了二維平面中以兩個向量為臨邊的平行四邊形的面積；三階行列式表示在三維空間中以三個向量為臨邊的平行六面體的體積；推廣到n維空間，n階行列式表示在n維空間中圖形的n維體積。實際上我們無法有效表示出三維以上的空間。對于物理世界中更多維的空間，絕大多數(shù)人都無法想象，但是數(shù)學卻可以給出明確的定義。

　　對于n維空間的行列式，可以表示為：

D_n = |A_n×n|

　　其中A是一個n×n的矩陣。

　　行列式是由向量引出的，解釋的也是向量的性質(zhì)，在看到行列式時一定要在頭腦中映射出向量，實際上線性代數(shù)的本質(zhì)就是對向量的研究。

行列式的性質(zhì)

　　性質(zhì)1，如果D_n= |A|中某行的元素全為0，那么D_n = 0

　　這個性質(zhì)較為明顯，在多維空間中，行列式表示的是體積，如果其中一個維度的模為0，那么體積也是0。

　　性質(zhì)2，如果D_n= |A|中某兩行元素對應成比例，那么D_n = 0

　　很多時候我們都喜歡用實例推導性質(zhì)，像下邊這樣：

　　或者用代數(shù)形式：

　　但是性質(zhì)應當由定義推導，然后用計算去驗證，而不是用計算去推導?，F(xiàn)在我們嘗試用行列式的定義去推導。行列式表示的是向量間的關系，以二維空間為例，如果某兩行元素對應成比例，那么說明一種一個向量是另一個向量的延伸，它們的夾角是0°或180°，即二者平行，兩個平行的向量圍成的面積是0：

　　性質(zhì)3，如果D_n= |A|中某兩行元素互換，那么互換后的行列式變號，即|A|= -|A|

　　兩個向量的模長是a和b，與x軸的夾角分別是α和β，如下圖所示：

　　平行四邊形的面積：

　　如果兩個向量互換：

　　在代數(shù)學中，角度、面積、體積可以是負的。用計算去驗證：

　　性質(zhì)4，倍乘性質(zhì)

　　實際上是將外部的k乘到其中的一行，把平行四邊形的一條邊擴大k倍，則面積也擴大了k倍，如下圖所示：

　　需要注意的是行列式與矩陣的區(qū)別，矩陣擴大k倍是將矩陣中的全部元素都乘以k（矩陣中的每個元素都對應了一個向量的分量，這在下文關于矩陣的介紹中會有所說明），這將有下面的關系：

　　性質(zhì)5，倍加性質(zhì)

　　對于更高階的行列式也一樣。下圖平行四邊形的斜邊展示了一個向量加上另一個向量的k倍：

　　兩個平行四邊形的面積是相同的，所以倍加公式成立。

　　性質(zhì)6，單行可拆（加）性

　　其中*號表元素完全相同，從左到右叫加，從右到左叫拆。以二階行列式為例：

　　為了簡單，將<b₁,b₂>和<a_1,a₂>分別設置在兩個坐標軸上，如下圖示：

　　<a_1,a₂><b₁,b₂>所圍平行四邊形面積是a₂ b₂，<a_1,a₂><c₁,c₂>所圍平行四邊形面積是a₂ c₂，<a_1,a₂>< b₁+c₁, b₂+c₂>所圍平行四邊形面積是a₂(b₂+c₂)，由此可見性質(zhì)6成立。

　　性質(zhì)7，以上所有作用于行的性質(zhì)也可以作用于列上，即|A| = |A^T|

行列式的意義

　　行列式是由向量組成的，當D_n = |A| ≠ 0 時，意味著組成|A|的向量全部獨立。所謂獨立，就是向量圍成的n維空間中圖形的n維體積不為0。這似乎沒有太大價值，但是如果把行列式轉(zhuǎn)換為方程組就意義重大了，以二階行列式為例：

　　可以看到，對于全部獨立的向量，方程組有唯一解，否則方程組無解或有無數(shù)解。當|A| ≠ 0時，說明至少有一個向量是“多余”的，正是這個多余的向量使得n維體積為0。以階行列式為例，當體積為0時，說明三個向量在同一平面內(nèi)，這意味著，一定可以通過倍乘和倍加性質(zhì)用另外兩個向量表示第三個向量，從而完全消除第三個向量。N元一次方程組需要N個完全不同的等式，現(xiàn)在少了一個等式，所以無法得到唯一解。

　　線性代數(shù)研究的是向量之間的關系，向量間最重要的關系就是獨立或不獨立，行列式是否等于0正是這種關系的有效描述。

行列式的計算

　　這里只介紹三階行列式的計算，更多階還是交給計算機吧。

矩陣

　　矩陣在前幾章已經(jīng)有過介紹，這里需要強調(diào)的是，矩陣是由向量組成的。

　　從列上看，A由n個m維列向量組成：

　　從行上看，A由m個n維行向量組成：

矩陣的秩

　　如果一個矩陣A_m×n存在k階子式不為0，且任意k+1階子式全為0，稱這個矩陣的秩是k，r(A)=k。

　　子式是行列式，如果A是一個3×4矩陣，它的一個2階子式和一個3階子式是：

　　這有什么用呢？

　　在行列式的意義中我們提到：向量間最重要的關系就是獨立或不獨立，行列式是否等于0正是這種關系的有效描述。由此看來，矩陣的秩r(A) = k表示矩陣中一定存在一個k階行列式，這個行列式中的向量全部獨立；且矩陣中對于任意k+1階子式，都存在至少一個多余的向量。簡言之，秩意味著矩陣中有且僅有k個獨立向量。

行階梯形矩陣

　　行階梯矩陣是非零矩陣，它滿足這樣的性質(zhì)：1）如果有0行，則0行種最下方；2）從行上看，從左邊起，出現(xiàn)連續(xù)0的個數(shù)自上而下嚴格遞增，如下所示：

　　若行階梯矩陣還滿足：1）臺角位置元速為1；2）臺角正上方元素全為0，則稱該矩陣為行最簡階梯矩陣，如下所示：

　　這有什么用呢？還是聯(lián)系向量來看問題，在行階梯矩陣中，階梯數(shù)就是矩陣中獨立向量的個數(shù)，也就是矩陣的秩；如果矩陣的秩是k，該矩陣一定能通過“初等變換”轉(zhuǎn)化為階梯矩陣，進而轉(zhuǎn)化為行最簡階梯矩陣。

矩陣的初等變換

　　在經(jīng)過變換后，矩陣表示的“數(shù)表”改變了，但是如果將矩陣看方程組，那么方程組的本質(zhì)沒有變，可以將初等變換看成方程組的消元過程。

　　變換1 ，互換變換

　　變換2，倍率變換

　　變換3，倍加變換

可逆矩陣與行最簡階梯矩陣

　　先給出結論，可逆矩陣一定能夠通過若干次變換，轉(zhuǎn)換成同階單位矩陣，如下所示：

　　示例

　　將下列兩個矩陣化為行最簡階梯矩陣：

　　1) A_3×3

　　首先計算矩陣的秩，A的最高階子式是3階。根據(jù)矩陣的性質(zhì)：某行的元素全為0，那么D_n = 0；|A| = |A^T|，所以D₃=0。

　　現(xiàn)在取一個二階子式：

　　所以矩陣的秩r(A) = 2，這說明矩陣有2個獨立向量，或者說矩陣中的第三個向量是多余的，因此矩陣可變換為：

　　再來看D₂，因為D₂≠0，所以D₂組成的矩陣可逆，也就是：

　　由此看來可逆的矩陣一定沒有多余向量。既然方程組有唯一解，那么矩陣必然能夠最終變換為右側單位矩陣的形式，由此，A的行最簡階梯矩陣是：

　　2) A_4×3

　　4×3矩陣，必然有矩陣的秩r(A) ≤ 3，說明行向量中一定有至少一個是多余的。由于行向量之間沒有明顯的倍數(shù)關系，所以我們將最右一行視為多余向量：

　　經(jīng)過倍加變換：

　　此時可以看出，<0,9,10>和<0,-1,1>圍成的平行四邊形面積不為0，<1,2,3>是空間向量，與前兩者不在同一維度，所以：

　　D₃對應的矩陣有逆矩陣，并且可變換為同階單位矩陣，所以：