一道北京西城統(tǒng)考幾綜的探究與延伸

                              ——關于共頂點旋轉的探究

首先我們來看一道2017-2018學年北京市西城區(qū)九年級上學期期末測試的一道幾何綜合題：

【引例1】如圖1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，點C在線段OB上，OC＝2BC，AO邊上的一點D滿足∠OCD＝30°．將△OCD繞點O逆時針旋轉α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D兩點的對應點分別為點C′，D′，連接AC′，BD′，取AC′的中點M，連接OM。

（1）如圖2，當C′D′∥AB時，α＝　  °，此時OM和BD′之間的位置關系為　  ；

我們直接來看第2問。

【分析】對于中點問題，在北京的幾綜中，有兩種常見輔助線：倍長中線、三角形中位線。對于輔助線，如果一條輔助線做出來只有一條結論，那么這條輔助線在此題中，基本沒有什么用。所以，本題中我們選擇了構造中位線的方法。

而對于位置關系，由幾何直觀及圖形，我們很容易判斷出MO⊥BD的結論，對于證明，也是很自然的可以想到延長MO交BD于P。繼而可以得到∠AOM+∠BOP=180°-∠AOB=90°，由∠AOM=∠OBP，可以得到∠BPO=90°，進而得到MO⊥BD。

【注】本題目的難度不大，重點是構造中位線這一經(jīng)典輔助線，下面我畫出點M、C、D、P的軌跡，有興趣的讀者可以進一步探究。

接下來我們再來看一道經(jīng)典題目：

【引例2】已知：四邊形ABCD和AEFG均為正方形，連接BE、DG，作AM⊥DG于H，交BE于M，求證：BM=EM。

相信不少讀者在看完這兩道題之后，便能馬上想到一個幾何學中的重要定理：婆羅摩笈多定理（下文簡稱“婆氏定理”）。

【定理展示】對于一對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形ABCD，直線EF過對角線交點M，則AF=FD?BC⊥ME。

其證明如下：

當然，婆氏定理還有許多推廣和結論，有興趣的讀者可以繼續(xù)探索.如可以保留AF=FD的結論，探究AC不垂直于BD時是否存在一特殊位置的點M滿足MF⊥BC（提示：M在過AC中點且垂直于BD的直線與過BD中點且垂直于AC的直線的交點）。                    

在題目2中，我們將兩直角三角形形繞直角頂點旋轉，下面我們思考讓其中一個底角共頂點的情況，即上圖。

我們來嘗試探究該圖形的性質(zhì)，類似于婆氏定理，我們?nèi)E中點F，經(jīng)過一番嘗試，發(fā)現(xiàn)連接AF、DF后出現(xiàn)一個等腰Rt△AFD?，F(xiàn)在我們來嘗試證明。

由F是BE中點，便想到構造三角形中位線，我們倍長ED、BA至點H、G，此時出現(xiàn)等腰Rt△HCE、等腰Rt△GCB.很顯然的能夠看到有△BCH≌△GCE，于是∠HIE=∠HCE=90°，由中位線定理可以得到AF=DF且AF⊥DF，當然這樣的結論還能夠進一步推廣，得到一個有意思的結論，但是未能想到證明，故等研究成熟再發(fā)表。

我們嘗試將連續(xù)四個等腰直角三角形依次連接，探究會出現(xiàn)怎樣的性質(zhì)。

仿照上述構造，我們?nèi)E中點I，連接AI、DI、IH、IF，運用上述結論，我們可以得到△HID≌△FIA，∠FJH=∠HIF=90°。我們可以得到，四邊形ADFE的對角線互相垂直（其中點四邊形為正方形）。

我們可以得到任意一個四邊形，在其邊外側構造一個正方形，將相對的正方形的中心連起，得出兩條線段，線段的長度相等且互相垂直，即AC⊥BD且AC=BD。（注：當四邊形為凹四邊形時亦成立。）

這里讓我想起了拿破侖定理.即以任意三角形的三條邊為邊，向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的中心恰為另一個等邊三角形的頂點。

拿破侖定理有許多推廣，如我們向內(nèi)構造等邊三角形或BAC三點共線時命題依然成立，或者向外作與原三角形相似的三個三角形，其外心構成的三角形與這三個三角形相似。

在諸多推廣中，有一個最具一般性的推廣，道格拉斯—紐曼定理。

由于該定理較為專業(yè)，我們只寫出該定理的結論：從任意一n邊形π₀開始，以其每一條邊為底，構造一個頂角為2π/n的等腰三角形，其頂點又形成一個多邊形π₁，以其每一邊為底，構造一個頂角為4π/n的等腰三角形……類似地作下去，每一次所構造的等腰三角形的頂角均增加一倍。當?shù)玫蕉噙呅桅?sub>n-2時，該多邊形為正n邊形。（限于篇幅和其專業(yè)性，我們略去了很多討論，這嚴格來講是不嚴謹?shù)模。┰摱ɡ淼淖C明收錄于常庚哲的著作《復數(shù)計算與幾何證題》，有興趣的讀者可查閱。