一、教學(xué)目標(biāo)

1．經(jīng)歷探索及驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；(重點(diǎn))

2．掌握勾股定理，并運(yùn)用它解決簡(jiǎn)單的計(jì)算題；(重點(diǎn))

3．了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法．(難點(diǎn)）　　　　　　　　　　　　　　　

二、教學(xué)過(guò)程

（一）情境導(dǎo)入

如圖所示的圖形像一棵枝葉茂盛、姿態(tài)優(yōu)美的樹(shù)，這就是著名的畢達(dá)哥拉斯樹(shù)，它由若干個(gè)圖形組成，而每個(gè)圖形的基本元素是三個(gè)正方形和一個(gè)直角三角形．各組圖形大小不一，但形狀一致，結(jié)構(gòu)奇巧．你能說(shuō)說(shuō)其中的奧秘嗎？

（二）合作探究

探究點(diǎn)一：勾股定理

【類型一】 直接運(yùn)用勾股定理

 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：

(1)AC的長(zhǎng)；

(2)S_△ABC；

(3)CD的長(zhǎng)．

解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，

          ∴AC＝＝12cm；

(2)      S_△ABC＝CB·AC＝×5×12

＝30(cm²)；

(3)      ∵S_△ABC＝AC·BC＝CD·AB，

∴CD＝＝cm.

方法總結(jié)：解答此類問(wèn)題，一般是先利用勾股定理求出第三邊，然后利用兩種方法表示出同一個(gè)直角三角形的面積，然后根據(jù)面積相等得出一個(gè)方程，再解這個(gè)方程即可．

【類型二】 分類討論思想在勾股定理中的應(yīng)用

 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC邊上的高AD＝12，試求△ABC的周長(zhǎng)．

解：此題應(yīng)分兩種情況說(shuō)明：

(1)      當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖①所示．

           在Rt△ABD中，

            BD＝＝＝9.

          在Rt△ACD中，

           CD＝＝＝5，

        ∴BC＝5＋9＝14，

       ∴△ABC的周長(zhǎng)為15＋13＋14＝42；

(2)      當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖②所示．

      在Rt△ABD中，

      BD＝＝＝9.

    在Rt△ACD中，

    CD＝＝＝5，∴BC＝9－5＝4，

   ∴△ABC的周長(zhǎng)為15＋13＋4＝32.

   ∴當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為42；

   當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為32.

方法總結(jié)：解題時(shí)要考慮全面，對(duì)于存在的可能情況，可作出相應(yīng)的圖形，判斷是否符合題意．

【類型三】 勾股定理的證明

 探索與研究：

方法1：如圖：

對(duì)任意的符合條件的直角三角形ABC繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得直角三角形AED，

所以∠BAE＝90°，且四邊形ACFD是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形ABFE的面積相等，而四邊形ABFE的面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和．

根據(jù)圖示寫出證明勾股定理的過(guò)程；

方法2：如圖：

該圖形是由任意的符合條件的兩個(gè)全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根據(jù)圖示再寫出一種證明勾股定理的方法嗎？

解析：方法1：根據(jù)四邊形ABFE面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和進(jìn)行解答；方法2：根據(jù)△ABC和Rt△ACD的面積之和等于Rt△ABD和△BCD的面積之和解答．

解：方法1：

S_{正方形ACFD}＝S_{四邊形ABFE}＝S_△BAE＋S_△BFE，即b²＝c²＋(b＋a)(b－a)，

整理得2b²＝c²＋b²－a²，

∴a²＋b²＝c²；

方法2：此圖也可以看成Rt△BEA繞其直角頂點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移得到．

∵S_{四邊形ABCD}＝S_△ABC＋S_△ACD，

S_{四邊形ABCD}＝S_△ABD＋S_△BCD，

∴S_△ABC＋S_△ACD＝S_△ABD＋S_△BCD，

即b²＋ab＝c²＋a(b－a)，

整理得b²＋ab＝c²＋a(b－a)，b²＋ab＝c²＋ab－a²，

∴a²＋b²＝c².

方法總結(jié)：證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理證明勾股定理．

探究點(diǎn)二：勾股定理與圖形的面積

 如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2.則最大的正方形E的面積是________．

解析：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得正方形A、B的面積和為S₁，正方形C、D的面積和為S₂，S₁＋S₂＝S₃，即S₃＝2＋5＋1＋2＝10.故答案為10.

方法總結(jié)：能夠發(fā)現(xiàn)正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)正好是兩個(gè)直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形A、B、C、D的面積和即是最大正方形的面積．

（三）板書設(shè)計(jì)

1．勾股定理

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a²＋b²＝c².

2．勾股定理的證明

“趙爽弦圖”、“劉徽青朱出入圖”、“詹姆斯·加菲爾德拼圖”、“畢達(dá)哥拉斯圖”．

3．勾股定理與圖形的面積

三、教學(xué)反思

課堂教學(xué)中，要注意調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性．讓學(xué)生滿懷激情地投入到學(xué)習(xí)中，提高課堂效率．勾股定理的驗(yàn)證既是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是本節(jié)課的難點(diǎn)，為了突破這一難點(diǎn)，設(shè)計(jì)一些拼圖活動(dòng)，并自制精巧的課件讓學(xué)生從形上感知，再層層設(shè)問(wèn)，從面積(數(shù))入手，師生共同探究突破本節(jié)課的難點(diǎn)．