【知識背景】

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩。而由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”。

如圖，將軍在圖中點A處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營，問：將軍怎么走能使得路程最短？這個問題被稱為“將軍飲馬”的問題，便流傳至今.

【問題原型】將軍飲馬 造橋選址

【涉及知識】兩點之間線段最短;垂線段最短;三角形兩邊三邊關(guān)系; 軸對稱;平移.

【常見模型】

一、兩定一動型：

問題：在直線l上找一個動點P，使動點P到兩定點A與B的距離之和最小，即PA+PB最小.

二、兩動一定型：

問題：在∠MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得△BAC的周長最小.

三、兩定兩動型(造橋選址)：

問題：已知，A,B是兩個定點，在定直線L上找兩個動點M與N，且MN長度等于定長d(動點M位于動點N左側(cè))，使AM+NM+NB的值最小.

四、垂線段最短型：

問題：在∠NOM的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得AB+BC最短.

【應(yīng)用舉例】

1.（2019春·東陽市期末）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形內(nèi)部有一動點P滿足S△PAB＝1/3S矩形ABCD，則點P到A，B兩點的距離之和PA+PB的最小值為（ ）

A．5 B．2√13 C．2√2 D．4√2

【解答】設(shè)△ABP中AB邊上的高是h．

∵S△PAB＝1/3S矩形ABCD，∴1/2AB·h＝1/3AB·AD，∴h＝2/3AD＝2，

∴動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關(guān)于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．

在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝2+2＝4，

∴由勾股定理可求得BE＝4√2，即PA+PB的最小值為4√2．故選：D．

2.（2019·港南區(qū)四模）如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，∠AOB＝30°，OP＝8，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，則△PMN周長的最小值為（ ）

A．5 B．6 C．8 D．10

【解答】分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN．

∵點P關(guān)于OA的對稱點為C，關(guān)于OB的對稱點為D，

∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；

∵點P關(guān)于OB的對稱點為D，

∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，

∴OC＝OD＝OP＝8cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，

∴△COD是等邊三角形，∴CD＝OC＝OD＝8．

∴△PMN的周長的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝8，故選：C．

3. （2019春·梁溪區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長為3，E、F是對角線BD上的兩個動點，且EF＝√2，連接AE、AF，則AE+AF的最小值為（ ）

A．2√5 B．3√2 C．9/2 D．22/5

【解答】如圖作AH∥BD，使得AH＝EF＝√2，連接CH交BD于F，則AE+AF的值最?。?/p>

∵AH＝EF，AH∥EF，∴四邊形EFHA是平行四邊形，∴EA＝FH，

∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，

在Rt△CAH中，由勾股定理可求得CH＝2√5，

∴AE+AF的最小值2√5，故選：A．

4.（2019秋·沙坪壩區(qū)校級月考）如圖已知EF∥GH，AC⊥EF于點C，BD⊥EF于點D交HG于點K．AC＝3，DK＝2，BK＝4．

（1）若CD＝6，點M是CD上一點，當(dāng)點M到點A和點B的距離相等時，求CM的長；

（2）若CD＝13/2，點P是HG上一點，點Q是EF上一點，連接AP，PQ，QB，求AP+PQ+QB的最小值．

【解答】（1）如圖1中，連接AB，作線段AB的中垂線MN，交AB于N，交EF于M，連接AM，BM．設(shè)DM＝x．

（2）如圖2中，如圖，作點A故直線GH 的對稱點A′，點B關(guān)于直線EF的對稱點B′，連接A′B′交GH于點P，交EF于點Q，作B′H⊥CA交CA的延長線于H．

則此時AP+PQ+QB的值最小．

根據(jù)對稱的性質(zhì)可知：PA＝PA′，QB＝QB′，

∴PA+PQ+QB＝PA′+PQ+QB′＝A′B′，

∴PA+PQ+PB的最小值為線段A′B′的長，

【總結(jié)反思】

我們已經(jīng)知道，類似的“將軍飲馬”問題，最關(guān)鍵的就是要作對稱，但怎么做，可能大家并不是十分明確，我們再來好好體會一下：

首先，明確定點，定線，動點．

1．必然是作定點關(guān)于定線的對稱點！

2．作的次數(shù)需要看動點個數(shù)！有幾個動點在哪些定線上，那么相應(yīng)的定點就要做關(guān)于這些定線的對稱點．

原題，只要在一條定線上找一個動點，那只需作定點關(guān)于定線的一個對稱點．

變式1，要在兩條定線找兩個動點，則需要作作定點關(guān)于定線的兩個對稱點，即兩次．

變式2，要在兩條定線找兩個動點，則需要作作定點關(guān)于定線的對稱點與定點關(guān)于定線的對稱點，也是2個，即2次．

3．作完對稱點如何連接也需看作對稱次數(shù)！

原題，把對稱點直接連接另一個定點，則連線與定線上的交點，即為動點．

變式1，把兩個對稱點連接，與定線上的交點即為動點，分別與定點(軍營A)相連．

變式2，把兩個對稱點連接，與定線上的交點即為動點，分別與定點相連．

如果用口訣來總結(jié)，那就是：定點定線作對稱，次數(shù)就看動點數(shù)． 一次對稱直連定， 兩次對稱先相連．