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文章轉(zhuǎn)自：初中數(shù)學(xué)綜合題的教與學(xué)；作者：劉護(hù)靈 開篇：學(xué)問學(xué)問，就是邊學(xué)邊問，邊問邊學(xué)。沒有問題，或者提不出問題，或者害怕提出新問題，或者只會(huì)短時(shí)間的按照已有的模式套路解決已有的問題，而不能解決暫時(shí)無套路的新問題，正是應(yīng)試教育的悲哀，也是為考而教的不足，泯滅的可能是學(xué)生個(gè)人甚至民族的創(chuàng)造力。
有些社會(huì)補(bǔ)習(xí)機(jī)構(gòu)把數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)異化為“記模型”“練模型”“套模型”的應(yīng)試訓(xùn)練，表面上可以對(duì)付平時(shí)的考試（因?yàn)槠綍r(shí)的考試出題時(shí)沒有像出中高考題需要數(shù)位專家長(zhǎng)達(dá)1月以上的出新題的過程），由此帶來學(xué)生的思維固化?；诖?，筆者在2016年申報(bào)了一個(gè)課題《在科雅育人的理念下培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維》，在2018年結(jié)題，但是研究并未結(jié)束。本公眾號(hào)當(dāng)時(shí)就為這個(gè)課題而建設(shè)。現(xiàn)在繼續(xù)開展這個(gè)課題的研究。
出發(fā)點(diǎn)：數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué)。但解題教學(xué)要在解決問題中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的功能。 “a + m·b”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)． 當(dāng)m值為1 時(shí)，即可轉(zhuǎn)化為“a + b”之和最短問題，就可用我們常見的“飲馬問題”模型來處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題來處理．而當(dāng) m 取任意不為1 的正數(shù)時(shí)，若再以常規(guī)的軸對(duì)稱思想來解決問題，則無法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路．此類問題的處理通常以動(dòng)點(diǎn) P 所在圖像的不同來分類，一般分為 2 類研究． 即點(diǎn) P 在直線上運(yùn)動(dòng)( 胡不歸) 和點(diǎn) P 在圓( 阿氏圓) 上 運(yùn)動(dòng)． 先來看看何為“阿氏圓”． （阿波羅尼斯（約前 ２６２～約前 １９０），古希臘人，數(shù)學(xué)家．他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，阿波羅尼斯圓即來源于其中的幾何問題．） 這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓
令人好奇的問題1：如何在ggb或幾何畫板中，直接作出阿氏圓？一個(gè)是代數(shù)法（先建系），一個(gè)幾何法（圓截?。?/span>那么如何證明這個(gè)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓？ 對(duì)于初中學(xué)生，需要用兩次角平分線定理，但學(xué)生可能理解上有一定的困難。 對(duì)于高中學(xué)生，可以建系利用解析幾何的方法來證明。
所以這個(gè)內(nèi)容是放在高中才學(xué)的，但是現(xiàn)在部分省市有時(shí)中考也考阿氏圓（其實(shí)不應(yīng)該?。?/span>
例1:如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP、BP，求AP+1/2BP的最小值.(1)嘗試解決:為了解決這個(gè)問題，下面給出解題思路:如圖2，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD=1，當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PD最小，即最小值為AD的長(zhǎng)根號(hào)下37.反思1：在CB上取點(diǎn)D，使CD=1這個(gè)是怎么想到的？本質(zhì)是什么？實(shí)際上，構(gòu)造△PCD∽△BCP，把1/2BP轉(zhuǎn)化為PD是關(guān)鍵所在.(2)自主探索:在“問題提出”的條件不變的情況下，(3)拓展延伸:已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點(diǎn)P是弧CD上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值——.
套路總結(jié)
（看看，本來沒有套路，研究的人多了，總結(jié)出套路來了。） （總結(jié)出套路沒什么不對(duì)，解析幾何的“建，設(shè)，限，代，化”不是也是套路嗎？根據(jù)皮連生教授廣義教與學(xué)的理論，學(xué)習(xí)解題步驟就是掌握一種高級(jí)規(guī)則） 阿氏圓基本解法：構(gòu)造相似
后續(xù)：阿氏圓的問題是不是應(yīng)該放在高中更加合適？結(jié)論：
1.到兩定點(diǎn)的距離之商為定值的點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓。2.到兩定點(diǎn)的距離之和為定值(比這兩點(diǎn)之間的距離要大)的點(diǎn)的軌跡是橢圓。3.到兩定點(diǎn)的距離之差為定值(比這兩點(diǎn)之間的距離要小)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。4.到兩定點(diǎn)的距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線。聲明：如存圖片/音視頻/作者/來源等使用或標(biāo)注有誤，請(qǐng)隨時(shí)聯(lián)系微信ABC-shuxue處理。
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