任一個圓的圓周長與它的直徑之比都等于一個固定的常數(shù)，這個常數(shù)就是圓周率，通常用π表示。圓周率是一個無理數(shù)，也就是一個無限不循環(huán)小數(shù)，因而用有限小數(shù)和分?jǐn)?shù)都不能準(zhǔn)確地表示它，只能表示出它的近似值。自古以來，世界各國數(shù)學(xué)家不斷進行艱辛研究，使圓周率愈益計算精確。圓周率的日益精確程度成為世界各國各個時代數(shù)學(xué)才能的量度標(biāo)志   。

祖沖之

南朝宋、齊時期大科學(xué)家祖沖之(429-500)在宋大明五年(461)任南徐州從事史時，刻苦鉆研數(shù)學(xué)，在前人研究成果的基礎(chǔ)上更開密法算出圓周率的過剩和不足近似值是8位有效數(shù)字，圓周率的真值在朒數(shù)和盈數(shù)之間，即3.1415926<π><3.1415927。祖沖之因此成為世界上第一個把π數(shù)值推算到小數(shù)點后第7位數(shù)字的人。祖沖之還給出π的兩個近似分?jǐn)?shù)值： 密率=355/113(≈3.14159292，精確到小數(shù)點后第6位)，約率=22/7(≈3.14285714，精確到小數(shù)點后第2位)。密率355/113是祖沖之在數(shù)學(xué)史上作出的杰出貢獻。在西方，直到15世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西和16世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家韋達才算得355/113這一數(shù)值，比祖沖之晚1000多年，因此日本數(shù)學(xué)史家三上義夫主張將355/113這一數(shù)值稱為“祖率”。祖沖之的密率是如何算得的，史書未見記載，相當(dāng)多的中國數(shù)學(xué)史學(xué)家認(rèn)為祖沖之繼續(xù)應(yīng)用了魏晉時數(shù)學(xué)家劉徽用割圓術(shù)來計算圓周率的方法。據(jù)此推斷，祖沖之要算到圓內(nèi)接正12288邊形和正24576邊形面積，才能得到準(zhǔn)確到小數(shù)點后7位數(shù)的圓周率   。

基本介紹

密率(density)是數(shù)論中的一個重要概念，是與哥德巴赫猜想及華林問題有關(guān)的概念。給定整數(shù)的集合A：a=a，a，a，…，a，…，其中a

密率

則0≤A(n)≤n，而0≤A(n)/n≤1，A(n)/n(n=1，2，…)的下確界稱為A的 密率，記為d(A)，即

密率

例如，集合A={0，2，4，6，8，…}的密率d(A)=1/2，集合A={1，3，5，7，…}的密率d(A)=1/2；而集合A={0，1，2，3，4，5，…}的密率d(A)=1   。

密率的簡單性質(zhì)

從密率的定義可得到它的一些簡單性質(zhì)：

1.若集合A不包含1(當(dāng)a>1)時，d(A)=0；

2.若a=1+r(n-1)(即A從a起，是以1為首項，r為公差的等差數(shù)列)，則d(A)=1/r；

3.每一個等比數(shù)列所成集合的密率是0；

4.所有完全平方數(shù)組成的集合，密率是0；

5.如果d(A)=0，而A包含1，則對任給的ε>0，一定可找到N≥1，使得A(N)<εN；>

6.集合A包含自然數(shù)全體的充分必要條件是

密率

7.設(shè)A，B是兩個數(shù)集，令A(yù)+B={a+b|a∈A，b∈B}(數(shù)論中集合相加均按此定義)，則d(A+B)≥d(A)+d(B)-d(A)·d(B)，更一般地有

密率

此即由施尼雷爾曼(Л.Г.Шнирельман)于1930年引入的施尼雷爾曼不等式。

8.若d(A)+d(B)≤1，則d(A+B)≥d(A)+d(B)，一般地，當(dāng)

密率

時，有

密率

這就是蘭道不等式。1931年，蘭道(E.G.H.Landau)猜想有上述不等式成立，但直到1942年才由曼(H.B.Mann)給出證明。1954年，凱皮爾曼(Kemperman)給出了一個新的簡單的證明   。