除法豎式那么重要嗎？立足教材是數(shù)學(xué)教育回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)的源頭。本人對(duì)人教版教材在除法豎式計(jì)算教學(xué)知識(shí)點(diǎn)的有關(guān)教材編排、教學(xué)目標(biāo)以及內(nèi)容分布進(jìn)行了收集。

在課標(biāo)2011年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，小學(xué)階段有關(guān)除法豎式的知識(shí)在階段目標(biāo)中的知識(shí)與技能目標(biāo)的“數(shù)與運(yùn)算”領(lǐng)域有所闡述：

從表1、2中我們可以看到，人教版將除法筆算分段納入各個(gè)年級(jí)的教學(xué)。整數(shù)、小數(shù)除法的豎式計(jì)算涉足到二至五年級(jí)，而運(yùn)算方法主要在二至四年級(jí)，五年級(jí)將整數(shù)除法豎式拓展到小數(shù)部分，其運(yùn)算方法依賴前期整數(shù)除法的運(yùn)算法則?？梢?jiàn)除法豎式教學(xué)在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中是非常重要的。因此，了解學(xué)生學(xué)習(xí)整數(shù)除法豎式困難成為一種必要，讓學(xué)生的錯(cuò)誤可見(jiàn)、可分析。

有教育專家說(shuō)，“學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所犯的錯(cuò)誤是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要資源”。基于人教版教材中關(guān)于整數(shù)除法豎式的教學(xué)內(nèi)容主要安排在三、四年級(jí)，為了克服除法豎式難教、難學(xué)的現(xiàn)狀，對(duì)我校三、四年級(jí)368名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，來(lái)探索小學(xué)三、四在整數(shù)除法豎式計(jì)算過(guò)程中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤類型以及錯(cuò)誤的原因。

三年級(jí)的題目主要以除數(shù)是一位數(shù)的內(nèi)容為主，涉及到有無(wú)余數(shù)，中間與末尾有無(wú)商“0”及被除數(shù)與部分商和除數(shù)的乘積相減時(shí)需要借位等問(wèn)題。

四年級(jí)主要是除數(shù)是兩位數(shù)的除法為主（被除數(shù)仍是三位數(shù)），商仍在整數(shù)范圍，由于被除數(shù)、除數(shù)的數(shù)位有所增多，四年級(jí)整數(shù)除法豎式中涉及到的題目類型也有所增加。

根據(jù)知識(shí)點(diǎn)的不同，將兩個(gè)年級(jí)分別根據(jù)相應(yīng)內(nèi)容設(shè)計(jì)題目，兩個(gè)年級(jí)測(cè)查的題目總量一樣，都是24道題目。

根據(jù)測(cè)查結(jié)果，四年級(jí)的錯(cuò)題數(shù)量要明顯多于三年級(jí)的錯(cuò)題數(shù)量。

（二）錯(cuò)因歸類，辯析成因

1.三年級(jí)錯(cuò)題分析

從表3來(lái)看學(xué)生錯(cuò)誤情況，有余數(shù)的題目錯(cuò)誤率高于沒(méi)有余數(shù)的題目；從表6來(lái)看，三年級(jí)計(jì)算錯(cuò)題主要集中在“0”的處理上。在相關(guān)商有商零的兩類錯(cuò)誤題數(shù)96題，占到總錯(cuò)題128題的75%，尤其是商中間有零的除法占到總錯(cuò)題數(shù)的61.7%。測(cè)查結(jié)果顯示，如果被除數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均為除數(shù)的倍數(shù)，學(xué)生的錯(cuò)誤相對(duì)較少。如：903÷3，學(xué)生知道商的十位有“0”，有時(shí)會(huì)忽略；654÷6這類沒(méi)有余數(shù)，相較于932÷9有余數(shù)的錯(cuò)誤率較低（見(jiàn)表3）。

2.四年級(jí)錯(cuò)題分析

（1）除數(shù)的特征對(duì)題目錯(cuò)誤率的影響

四年級(jí)的除法豎式計(jì)算內(nèi)容將除數(shù)從一位數(shù)擴(kuò)充到了兩位數(shù)，并從整十?dāng)?shù)逐步過(guò)渡到一般的兩位數(shù)。

從運(yùn)算法則上來(lái)講，除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法與除數(shù)是一位數(shù)的除法類似，試商時(shí)只需考慮除數(shù)的十位數(shù)字就可以了，此類題目在難易程度上要比除數(shù)是一般兩位數(shù)的題目要簡(jiǎn)單。但從測(cè)試的結(jié)果來(lái)看，卻并非如此。

如下表所示，在四年級(jí)的題目中，除數(shù)為整十?dāng)?shù)的除法總錯(cuò)題數(shù)是152道，平均每題有約11人出錯(cuò)，對(duì)于除數(shù)是一般兩位數(shù)的題目，總錯(cuò)題數(shù)是96道，平均每題有約10人出錯(cuò)，兩類題目的平均錯(cuò)題數(shù)相差近1題。這個(gè)結(jié)果與最初的預(yù)期是不同的。

仔細(xì)分析學(xué)生錯(cuò)誤原因，主要在于其第一類題目（t1.3-t1.6）錯(cuò)誤率相對(duì)較低。該類題目雖然除數(shù)為一般兩位數(shù)，但是商為一位數(shù)，且余數(shù)為零。在學(xué)生已知余數(shù)為零的情況下，試商時(shí)可以綜合考慮除數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字。首先根據(jù)除數(shù)的十位數(shù)字確定商的范圍，接下來(lái)就只要滿足讓商與除數(shù)的個(gè)位數(shù)字相乘的結(jié)果等于被除數(shù)的個(gè)位數(shù)字就可以了，這反而在無(wú)形之中降低了題目的難度。因此雖然同為除數(shù)是一般兩位數(shù)的除法，t1.3-t1.6的錯(cuò)題數(shù)相對(duì)較少。

在除數(shù)為整十?dāng)?shù)的題目中，該類題目與其他除數(shù)為整十?dāng)?shù)題目的不同之處在于其被除數(shù)、除數(shù)的個(gè)位數(shù)字均為零，并且余數(shù)的個(gè)位數(shù)字也是零。由于學(xué)生在解題時(shí)已經(jīng)學(xué)過(guò)了商不變的性質(zhì)，在做題時(shí)將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)縮小相同倍數(shù)以求得商，但是余數(shù)的末尾又往往不寫零，從而造成計(jì)算出錯(cuò)。因此雖然該類題目錯(cuò)誤率較高，但是與除數(shù)為一般兩位數(shù)的題目錯(cuò)誤原因不同，學(xué)生的困難不在試商，而在于對(duì)商不變性質(zhì)的理解上。

（2）試商問(wèn)題

T2.11這道題的錯(cuò)誤率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其它的題目，從下圖可知學(xué)生的錯(cuò)誤主要在試商。商小了的錯(cuò)誤在除法豎式計(jì)算中是極普遍的錯(cuò)誤。

關(guān)于學(xué)生試商問(wèn)題，本人也對(duì)所有錯(cuò)題進(jìn)行了一次統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如預(yù)期。

對(duì)于商是兩位數(shù)的除法，運(yùn)算的法則是一般按照四舍五入法，把除數(shù)看成和它接近的整十?dāng)?shù)來(lái)試商。用四舍的方法試商，除數(shù)看小了，商容易偏大，要把商調(diào)小用五入的方法試商，除數(shù)看大了，商容易偏小，要把商調(diào)大。學(xué)生在解題時(shí)往往是按照法則操作，做到這里，運(yùn)算過(guò)程己經(jīng)“完畢”，對(duì)于結(jié)果合理性的判斷和驗(yàn)證常常被學(xué)生忽略，因此導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤。這類錯(cuò)誤通常發(fā)生在除數(shù)的個(gè)位數(shù)字較大的情況下。

研究的目的是為了更好地把握課堂，本研究采用調(diào)查研究的實(shí)證方法，了解xx學(xué)校三、四年級(jí)學(xué)生對(duì)整數(shù)除法豎式理解的現(xiàn)狀及錯(cuò)誤成因。綜合上面的錯(cuò)誤，思考三、四年級(jí)的主要錯(cuò)因與教學(xué)建議：

1.學(xué)生在被除數(shù)各個(gè)數(shù)位上與除數(shù)的關(guān)系上的困難

三年級(jí)試卷中除數(shù)是一位數(shù)、被除數(shù)是兩位數(shù)或三位數(shù)題目的錯(cuò)誤進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)被除數(shù)各位數(shù)字均是除數(shù)倍數(shù)的題目相比同類其他題目錯(cuò)誤率較低。

盡管兩題同為兩位數(shù)除以一位數(shù)、余數(shù)為零的除法，但是學(xué)生在實(shí)際解題的過(guò)程中思維的過(guò)程有很大差異，這也就造成了被除數(shù)各位數(shù)字不全為除數(shù)倍數(shù)的題目錯(cuò)題數(shù)更多。

2.學(xué)生在確定商上的困難

總共2208道題，學(xué)生總錯(cuò)題數(shù)356題，錯(cuò)題率約為16%，其中，主要錯(cuò)誤在商的中間與末尾商零的題目與商的首位數(shù)字寫錯(cuò)。

①商的首位數(shù)字寫錯(cuò)位置

在四年級(jí)的全部題目中，容易出現(xiàn)該類錯(cuò)誤的題目多為除數(shù)為整十?dāng)?shù)即除數(shù)末尾有零的除法。

②商中間或末尾沒(méi)寫零

題目中的錯(cuò)題雖然沒(méi)有寫零，但是可以明顯地看出學(xué)生在豎式運(yùn)算的過(guò)程中，明確地知道被除數(shù)的十位數(shù)字是不夠的，或者個(gè)位上還有數(shù)字，因此在商的十位或個(gè)位數(shù)字上留出了位置。學(xué)生在十位或末尾沒(méi)有寫零主要是商不變性質(zhì)的理解不夠。

1.小學(xué)生解題的過(guò)程易受先前學(xué)習(xí)影響

學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，是新知識(shí)體系的建立過(guò)程，同時(shí)也是對(duì)舊知識(shí)體系的顛覆或補(bǔ)充的過(guò)程。從計(jì)算過(guò)程來(lái)看，學(xué)生先將被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大倍，使除數(shù)變成整數(shù)，然后從被除數(shù)的末尾開(kāi)始除起，并最終得到了結(jié)果。這一點(diǎn)，顯然是從乘法豎式的計(jì)算方法而來(lái)的，學(xué)生的己有經(jīng)驗(yàn)對(duì)新的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了消極影響。

2.學(xué)生思維的靈活性有待增強(qiáng)

在學(xué)生熟練掌握了除法的計(jì)算法則之后，計(jì)算的過(guò)程就不再像以前那樣，學(xué)生不會(huì)在頭腦中“分小棒”了，而只是不斷重復(fù)著試商，相乘、相減、落數(shù)、試商、相乘、相減……”這個(gè)不斷循環(huán)往復(fù)的過(guò)程?！霸谶@個(gè)階段學(xué)生已經(jīng)到了運(yùn)算技能的自動(dòng)化階段，獲得了運(yùn)算的速度和較高的正確率，但是逐步失去了對(duì)該行為的意識(shí)控制。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的思維要不斷在上述幾個(gè)步驟之間調(diào)整，進(jìn)行不同的運(yùn)算。對(duì)于小學(xué)生來(lái)講，思維的靈活性發(fā)展還不夠完善，往往兼顧了一個(gè)特點(diǎn)就會(huì)忽略另一方面的特征，難免出現(xiàn)錯(cuò)誤。

總之，除法豎式計(jì)算是思維訓(xùn)練的好素材,了解了學(xué)生數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的類型與原因，需要教師在教學(xué)中對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤予以恰當(dāng)?shù)某C正。

仔仔興高采烈地從學(xué)校里回來(lái)，問(wèn)媽媽：“爸爸呢？”媽媽看到仔仔興奮的樣子，奇怪地問(wèn)：“爸爸在家，你找爸爸做什么？”“我向爸爸要5角錢?！?“為什么？”媽媽問(wèn)道?！霸诳紨?shù)學(xué)以前，爸爸對(duì)我說(shuō)‘如果考了100分，就給我1元錢，考80分給8角?！裉欤覕?shù)學(xué)考了45分?！弊凶谢卮鹫f(shuō)。媽媽吃驚地問(wèn)：“什么！數(shù)學(xué)才考45分？”仔仔得意地說(shuō)：“是呀，數(shù)學(xué)上要4舍5入，因此，爸爸必須付5角錢?！?/p>