紐約金秋，海水澄澈，天空湛藍。午后的陽光遍灑金輝，秋風(fēng)襲掠之后，始見落葉飄零。雖然秋高氣爽，心情振奮，但是寒意漸起，莫名的憂傷總是揮之不去。學(xué)期伊始，很多新生入學(xué)，朝氣蓬勃，青春洋溢。看著他們，令老顧不禁懷念起當(dāng)年入學(xué)的情形。

當(dāng)時的清華園文藝氣息非常濃厚，經(jīng)常有各種音樂會、個人演唱會。每天夜晚東大操場上都有人在演練吉他彈唱。每天下午團委和文藝社團排練室都傳來陣陣琴聲，單簧管、雙簧管、長笛等樂器混雜成厚重的織體，間或被長號、小號的高音所撕裂。一天傍晚，金得哲、李雪松在主樓后廳舉行演唱會，他們演唱了Simon和Garfunkel的 《斯卡布羅集市》（Scarborough Fair）感人至深。歌曲旋律優(yōu)美動聽，歌詞傷感婉約，吉他配器飄逸悠遠，Simon和Garfunkel的和聲渾然一體，動人心弦，堪稱民謠中的經(jīng)典。后來，老顧和樂隊朋友郝佳良、陳皓無數(shù)次演奏過這首樂曲。郝佳良用激越嘹亮的小號吹出了醇厚柔美的感覺，陳皓單簧管的音色更是純凈無暇，令人感傷。到了博士階段，老顧和清華樂隊的朋友經(jīng)常在麻省理工排練，曾經(jīng)用高音薩克斯來演奏“Scarborough Fair”，但總覺得Soprano Saxophone華麗絢爛的音色，無法表達這首樂曲所蘊藏的悵惘和憂傷。再后來，老顧到紐約工作，經(jīng)常到中央公園游覽。Simon和Garfunkel曾經(jīng)分道揚鑣，后于1981年復(fù)合，在中央公園舉行了一場免費音樂會。在夕陽西下、皓月初升之際，這對搭檔再次演唱了這首老歌，成為永恒。

“Scarborough Fair”一唱三嘆，每句歌詞之后，都要加上一句嘆惋“Parsley，Sage，Rosemary and Thyme”，翻譯過來就是“荷蘭芹、鼠尾草、迷迭香和百里香”，四種香料的名稱，這令老顧大惑不解。后來，老顧游覽Scarborough fair的所在地，英格蘭的約克郡。和紐約（New York）相比，具有兩千年歷史的約克郡（old York）古老陰郁，歷史文化極其厚重。這里的惠特比修道院（Whitby Abbey）是吸血鬼的誕生地；約克大教堂（York Minister）是北歐最大的哥特式教堂，具有多層地基。歷史上羅馬人、諾曼人、維京人、盎格魯-薩克遜人曾經(jīng)多次征服過這片土地，他們摧毀被征服者的教堂，在原址上重建自己的教堂。斯卡布羅集市曾經(jīng)是北歐海盜維京人斂財銷贓的據(jù)點，游吟詩人在集市上即興創(chuàng)作，膾炙人口的民謠流傳下來，從而啟迪了保羅西蒙和葛芬柯。老顧詢問當(dāng)?shù)氐囊晃唤淌谂笥?，“荷蘭芹、鼠尾草、迷迭香和百里香”的含義。教授朋友給老顧解釋了一段慘痛的歷史掌故。1347年，穆斯林和熱那亞的基督徒殖民者之間爆發(fā)了戰(zhàn)爭。戰(zhàn)爭中，穆斯林軍隊爆發(fā)了黑死病。穆斯林軍將病者裝上了彈射器，投射到熱那亞城中?？謶值臒崮莵喨颂踊亓艘獯罄l(fā)了全歐洲的瘟疫。黑死病奪去了歐洲幾乎一半的人口，使得人們對教會和信仰大失所望。瘟疫中卻有一群盜徒穿行于死亡遍布的街市，大肆偷盜。當(dāng)他們被逮捕后交待了抵御瘟疫侵襲的秘方，其中主要的成分就是荷蘭芹、鼠尾草、迷迭香和百里香。由此，歷史上留下了“四賊醋”的大名：Parsley，Sage，Rosemary and Thyme。由于瘟疫的恐怖，人們用將這一秘方廣泛傳播，演化成民謠中起興的咒語。“Scarborough Fair”的歌詞居然有如此慘烈的文化背景，民族戰(zhàn)爭，宗教戰(zhàn)爭，瘟疫黑死病，宗教改革，難怪有一種難以名狀的哀傷和凄美。數(shù)百年之后，這些歷史的傷痕被歲月?lián)崞?，慘痛的記憶被轉(zhuǎn)化成優(yōu)美的旋律和典雅的歌詞。雖然人類文明提升到了古人難以想象的高度，醫(yī)療日益發(fā)達，科學(xué)日益昌明，但是宗教戰(zhàn)爭、全球性瘟疫的陰影依然揮之不去。

老歐洲的文化傳統(tǒng)中，最為純粹和厚重的當(dāng)屬數(shù)學(xué)。人類幾乎出于先天的本能就會欣賞音樂。對于數(shù)學(xué)的品鑒卻需要長期的專業(yè)訓(xùn)練。但是從帶給人們的美學(xué)價值和精神震撼程度而言，數(shù)學(xué)更為崇高、激烈和持久。自從法國數(shù)學(xué)家蒙日在十八世紀(jì)初葉開啟了最優(yōu)傳輸理論的研究，數(shù)百年來無數(shù)的純粹數(shù)學(xué)家、應(yīng)用數(shù)學(xué)家、計算機科學(xué)家、工程師都為這一理論而心醉神迷，從各個角度為這一理論的發(fā)展做出了貢獻。純粹數(shù)學(xué)家證明了解的存在性、唯一性和正則性；應(yīng)用數(shù)學(xué)家設(shè)計迭代格式，證明收斂階，誤差估計，數(shù)值穩(wěn)定性；計算機科學(xué)家設(shè)計數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，并行算法，提高算法魯棒性和效率；工程師用來進行圖像增強，病理分析，統(tǒng)計推斷，生成模型，設(shè)計光學(xué)器件等等。由于社會分工和職業(yè)訓(xùn)練，很少有人能夠透徹理解這一理論上下游的全景，只能專注于相對局限的一部分理論或算法。例如純粹數(shù)學(xué)家嘔心瀝血發(fā)展出來的各種先驗估計的技巧，對于絕大多數(shù)的計算機科學(xué)家而言無法直接應(yīng)用，因而缺乏動力去鉆研，由此也錯過了領(lǐng)略深層次美感的機會。近期，由于最優(yōu)傳輸理論日益成為深度學(xué)習(xí)的理論基礎(chǔ)之一，整個社會對于最優(yōu)傳輸理論的學(xué)習(xí)熱情日益高漲，相信最優(yōu)傳輸理論和蒙日-安培方程理論會逐漸深入人心，在工程醫(yī)療領(lǐng)域發(fā)揚光大。

最優(yōu)傳輸映射在度量空間，特別是黎曼流形上依然存在，但是其正則性分析相對困難。球面上的最優(yōu)傳輸理論比較成熟，但是目前在工程領(lǐng)域應(yīng)用不多。相信依隨三維打印技術(shù)的成熟，球面最優(yōu)傳輸理論終將大放異彩。這里，我們討論球面最優(yōu)傳輸理論的一個經(jīng)典應(yīng)用：由曲率來構(gòu)造曲面，即凸幾何中的Weyl problem，Minkowski problem和Alexandroff problem。

由微分幾何的經(jīng)典理論，三維空間中的曲面由第一基本形式（黎曼度量）和第二基本形式共同決定。黎曼度量決定了曲面的內(nèi)蘊幾何，可以測量曲面上曲線的長度，曲線間的夾角，區(qū)域的面積，同時也決定了曲面的高斯曲率。第二基本形式?jīng)Q定了曲面的主曲率，平均曲率。但是對于凸曲面而言，僅僅黎曼度量就決定了曲面在三維空間中的嵌入。

圖1：源球面，高斯球面，凸曲面。

我們記凸曲面為，并且用極坐標(biāo)來表示凸曲面，, 即用定義在單位球面上的正值函數(shù)來表達徑向長度。令是單位球面上的一點，沿著方向的射線和凸曲面交于點。假設(shè)曲面在點處的單位法向量為，高斯映射將曲面映射到單位球面上：，。我們將曲面的黎曼度量記為，將曲面的高斯曲率記為，單位球面上的面元記為，曲面上的面元記為。從參數(shù)單位球面（源域）到高斯單位球（目標(biāo)域）的映射為復(fù)合映射：，。我們下面解釋下面的幾個經(jīng)典問題。

Ricci 流：給定帶有黎曼度量的曲面，給定目標(biāo)高斯曲率，滿足高斯-博納條件，則存在共形因子函數(shù)，滿足，這里是曲面的初始度量，黎曼度量誘導(dǎo)曲率等于。這里未知的共形因子函數(shù)可以由經(jīng)典的Ricci流方法得到。離散曲面Ricci流的理論和算法也非常成熟。因此，從曲率求度量的計算問題應(yīng)該已經(jīng)是被完全解決了。但是，我們只得到黎曼度量，有時需要進一步得到曲面在歐式空間中的等距嵌入或者浸入。

Minkowski問題：我們在目標(biāo)域高斯球上給出高斯曲率，即給定高斯球上的任意一點，相應(yīng)的正值高斯曲率為，滿足條件

,

求取曲面的極坐標(biāo)表示。等價的，高斯映射將曲面的面元推前到高斯球面上，在高斯球面上得到一個測度

，

從這一推前測度來求取凸曲面。

從計算角度而言，這一問題可以如下求解。首先我們將Minkowski問題離散化。我們將高斯球進行胞腔分解，，計算積分

，

令法向量為，面積為，滿足限制

,

我們欲求一個凸多面體，相應(yīng)面的法向量為，面積為。

圖2：離散Minkowski問題。

這里凸多面體的支撐平面方程為，這里平面的高度未知。這些支撐平面構(gòu)成的凸多面體記為，這里。我們構(gòu)造能量函數(shù)為凸多面體的體積：，極大化凸多面體的體積，滿足限制。多面體體積關(guān)于支撐平面高度的偏導(dǎo)數(shù)等于相應(yīng)面的面積：

，

由此可以證明離散Minkowski問題解的存在性。再由Brunn-Minkowski不等式證明解的唯一性。

我們再將高斯球的剖分逐步加細，得到一系列的凸多面體，從中選擇子列收斂到光滑解。

Alexandrov問題

Alexandrov問題 映射將高斯球的面元拉回到定義域上，得到拉回測度，滿足限制：

,

我們希望從拉回測度求得曲面的極坐標(biāo)表示，使得。

每個光滑的嚴(yán)格凸曲面都（廣義勒讓德）對偶于另外一個凸曲面，對于任意一個，平面是凸曲面的一個支撐平面。由曲面的嚴(yán)格凸性，我們得到高斯映射為光滑雙射：。我們有如下的廣義對偶性：

,

。

兩側(cè)取對數(shù)，我們得到

,

。

我們定義成本函數(shù)：，。給定兩個測度和，我們求解球面最優(yōu)傳輸問題：，

。

由Kontarovich對偶理論，這等價于優(yōu)化下面的能量：

,

具有限制。通過以上分析，我們得到

就是Kontarovich問題的解。

我們仔細理解下面的等式：

兩邊取指數(shù)映射，我們得到

。

右側(cè)是一族平面的極坐標(biāo)表示的內(nèi)包絡(luò)。固定點，變動，平面的極坐標(biāo)表示為：

，

這里是極徑。每張平面將歐式空間分成上半空間，和下半空間。所有下半空間的交集是一個凸集，其邊界曲面為凸曲面。左側(cè)意味著此凸曲面的極坐標(biāo)表示為。

---

我們下面討論Alexandrov問題的離散提法。給定離散點集

和相應(yīng)的目標(biāo)曲率

滿足

。

我們求極徑

，

得到點集

，

凸多面體是這些點的凸包（convex hull）。

調(diào)節(jié)極徑，使得的離散高斯曲率滿足

。

所謂高斯曲率就是過頂點所有支撐平面的法向量集合的球面面積。

對于任意的頂點，我們構(gòu)造平面

，

這些平面的內(nèi)包絡(luò)為

，

內(nèi)包絡(luò)向單位球面進行球心投影，得到球面的胞腔分解：

這里胞腔的面積單調(diào)依賴于。通過調(diào)節(jié)所有的，滿足歸一化條件

，

使得胞腔的面積等于，這等價于滿足離散高斯曲率條件。由最優(yōu)傳輸映射理論，我們可以得到唯一的解。

---

等價的，我們用計算幾何的語言來重新描述一下：我們定義球面的power距離：

，

得到球面的power diagram：

通過調(diào)節(jié)所有的power 權(quán)重，滿足歸一化條件，使得

胞腔的面積等于。

進一步，我們可以用變分法來求解，優(yōu)化下面的凸能量

,

優(yōu)化可以用牛頓法來進行。得到滿足條件的power diagram之后，離散最優(yōu)傳輸映射將每個胞腔映到相應(yīng)的樣本點： 。具體計算細節(jié)，請參閱【1】。

圖3：斯坦福兔子。

圖4. 斯坦福兔子共形映射到單位球面上。

圖5. 斯坦福兔子的球面最優(yōu)傳輸。

圖3是斯坦福兔子曲面，我們將其共形映射到單位球面上（圖4），這樣共形映射將兔子的面元推前到單位球面上，得到一個測度。球面上的面元作為目標(biāo)測度。我們用Alexandrov問題的解法計算了這兩個測度之間的最優(yōu)傳輸映射（圖5）。

圖6. Gargoyle模型。

圖7. 怪獸的共形映射。

圖8. 球面的最優(yōu)傳輸映射。

我們用怪獸的模型進行了同樣的實驗（圖6-8）。

---

對于連續(xù)情形的Alexandrov問題，我們可以用一系列離散Alexandrov問題的解來逼近連續(xù)解。

圖9. Max Planck的頭像，和解Alexandrov問題所得的凸曲面。

圖10. 共形映射的像和最優(yōu)傳輸映射的像。

圖9左幀顯示了Max Planck的頭像。我們將頭像曲面共形映射到單位球面上（圖10左幀），計算推前曲面面元和球面面元之間的最優(yōu)傳輸映射（圖10右?guī)?，并且求?span style="margin: 0px;padding: 0px;max-width: 100%;letter-spacing: 0.544px;box-sizing: border-box ;word-wrap: break-word ;">推前曲面面元所決定的凸曲面（圖9右?guī)?/p>

Weyl問題

Weyl問題是給定源球面上的黎曼度量，其誘導(dǎo)的曲率處處為正，求曲面的嵌入。Wely問題可以轉(zhuǎn)化成Alexandrov問題：首先由黎曼度量，我們可以計算曲面的面元，和高斯曲率，那么由曲面面元和高斯曲率的乘積給出。

小結(jié)

這里，我們介紹了球面最優(yōu)傳輸理論，并且將其應(yīng)用于微分幾何的經(jīng)典問題，Minkowski問題、Alexandrov問題和Weyl問題。Minkowski，Alexandrov和Weyl從不同的角度研究了如何從凸曲面的黎曼度量、高斯曲率來決定曲面的嵌入。這里介紹的方法可以直接推廣到任意維的空間。

（寫于UC Davis， Berkley和USC）

---

【1】L. Cui, X. Qi, C. Wen, N. Lei, X. Li，M. Zhang and X. Gu, "Spherical Optimal Transport", CAD Volume 115, Pages 181-193.