函數(shù)的奇偶性定義：

1．偶函數(shù)：一般地，對于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么就叫做偶函數(shù)．

2．奇函數(shù)：一般地，對于函數(shù)的定義域的任意一個，都有，那么就叫做奇函數(shù)．

二、函數(shù)的奇偶性的幾個性質(zhì)

1、對稱性：奇（偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱；

2、整體性：奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對定義域內(nèi)任意一個都必須成立；

3、可逆性：是偶函數(shù)；奇函數(shù)；

4、等價性：；；

5、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱；

6、可分性：根據(jù)函數(shù)奇偶性可將函數(shù)分類為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。

7、判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義。 　　

8、如果一個奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義，則這個函數(shù)在x=0處的函數(shù)值一定為0。并且關(guān)于原點對稱。    

三、關(guān)于奇偶函數(shù)的圖像特征

一般地：

奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；

即：f(x)為奇函數(shù)<=>f(x)的圖像關(guān)于原點對稱 　　點（x,y）→（-x,-y） 　

偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)。

即： f(x)為偶函數(shù)<=>f(x)的圖像關(guān)于Y軸對稱 　　點（x,y）→（-x,y） 　　

奇函數(shù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同（例：奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上也是單調(diào)遞增。）

偶函數(shù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反（例：偶函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上單調(diào)遞減）。

2．函數(shù)奇偶性與單調(diào)性(最值)之間的關(guān)系

(1)若奇函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，且有最大值M，則f(x)在[－b，－a]上是增函數(shù)，且有最小值－M.

(2)若偶函數(shù)f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，則f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．

五、關(guān)于函數(shù)奇偶性的簡單應(yīng)用

1、函數(shù)的對稱性

如果函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線?______對稱．

一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的對稱軸方程是?______.

兩個函數(shù)與 的圖象關(guān)于直線對稱.

2、函數(shù)的周期性

函數(shù)的周期性的定義：設(shè)函數(shù)y＝f(x)，x∈D，若存在非零常數(shù)T，使得對任意的x∈D都有?________，則函數(shù)

f(x)為周期函數(shù)，T為y＝f(x)的一個周期．

(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．

(3)周期函數(shù)不一定有最小正周期，若T≠0是f(x)的周期，則kT(k∈N＋)也一定是f(x)的周期．

若函數(shù)f(x)對定義域中任意x滿足f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝－(a≠0)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，它的一個周期是?________.若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱;

六、函數(shù)的奇偶性的判斷

函數(shù)奇偶性的因素有兩個：定義域的對稱性和數(shù)量關(guān)系。判斷函數(shù)奇偶性就是判斷函數(shù)是否為奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)四種情況。

判斷函數(shù)奇偶性的方法：

（1）、利用奇、偶函數(shù)的定義，主要考查是否與、相等，判斷步驟如下：

     1、若定義域不對稱，則為非奇非偶函數(shù)；

     若定義域?qū)ΨQ，則有成為奇（偶）函數(shù)的可能，到底怎樣，取決于數(shù)量關(guān)系怎樣成立？

     若成立，則為偶函數(shù)；若成立，則為奇函數(shù)；

    若成立，則為既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)；若都不成立，則為非奇非偶函數(shù)。

2．討論函數(shù)奇偶性時，注意定義域優(yōu)先原則．

3．由奇偶函數(shù)的圖象的對稱性，只要知道函數(shù)在原點的一側(cè)區(qū)間上的有關(guān)性質(zhì)，就可得出函數(shù)在其

   對稱區(qū)間上的性質(zhì)．

4．若T是f(x)的一個周期，則kT(k≠0，k∈Z)也是f(x)的周期．

5．(1)若函數(shù)f(x)存在兩條平行于y軸的對稱軸，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；若函數(shù)f(x)具有奇偶性，又

     有一條平行于y軸的對稱軸，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)．

6．注意函數(shù)性質(zhì)的逆向應(yīng)用．

（2）、圖像法：　

     f(x)為奇函數(shù)<=>f(x)的圖像關(guān)于原點對稱 　　點（x,y）→（-x,-y） 　　

     f(x)為偶函數(shù)<=>f(x)的圖像關(guān)于Y軸對稱 　　點（x,y）→（-x,y） 　　

（3）、特值法：根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，在定義域內(nèi)取特殊值自變量，計算后根據(jù)因變量的關(guān)系判斷

    函數(shù)奇偶性。 　　

（4）、性質(zhì)法 　　

（5）、函數(shù)奇、偶性的運算：利用已知函數(shù)的奇偶性及以下準(zhǔn)則（前提條件為兩個函數(shù)的定義域交集不為空集）：

 1)若f(x)與g(x)都是奇函數(shù)，則在f(x)與g(x)的定義域的公共區(qū)間上，

   f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)都是奇函數(shù)，f(x)·g(x)與為偶函數(shù)．

2)若f(x)與g(x)都是偶函數(shù)，則在f(x)與g(x)的定義域的公共區(qū)間上，

      f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)·g(x)，都是偶函數(shù)．

3）奇函數(shù)與偶函數(shù)的和（差）既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)；

   4)若f(x)與g(x)中一個為奇函數(shù)，另一個為偶函數(shù)，則在f(x)與g(x)的定義域的公共區(qū)間上，

   f(x)·g(x)，都為奇函數(shù)．

3．若y＝f(x)為奇函數(shù)，且y＝f(x)在x＝0處有意義，則f(0)＝0.

性質(zhì)

  1、偶函數(shù)沒有反函數(shù)（偶函數(shù)在定義域內(nèi)非單調(diào)函數(shù)），奇函數(shù)的反函數(shù)仍是奇函數(shù)。 　　

  2、偶函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在定義內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同。  

3、對于F（x）=f[g(x)]：若g(x)是偶函數(shù)且f(x)是偶函數(shù)，則F[x]是偶函數(shù) 　

 　若g(x)奇函數(shù)且f(x)是奇函數(shù)，則F（x）是奇函數(shù) 　　

   若g(x)奇函數(shù)且f(x)是偶函數(shù)，則F（x）是偶函數(shù) 　　

5、奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點對稱

案例分析：

考點一、判斷函數(shù)的奇偶性

例1．判斷下列函數(shù)是否是偶函數(shù)．（1）           （2）

（3）f (x) = x + x3 +x5；                   （4）f (x) = x2 +1；（5）f (x) = x + 1；                      （6）f (x) = x2，x∈[–1，3]；

（7）f (x) = 0.

變式訓(xùn)練

1、判斷下列函數(shù)的是否具有奇偶性：(1) f (x) = x + x3；              (2) f (x) = – x2；(3) h (x) = x3 +1；             (4) k (x) =，x[–1，2]；

(5) f (x) = (x + 1) (x – 1)；               (6) g (x) = x (x + 1)；(7) h (x) = x +；                        (8) k (x) =.

2、下面四個結(jié)論中，正確命題的個數(shù)是(　　)

①偶函數(shù)的圖像一定與y軸相交；②函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是f(0)＝0；

③偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；④既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)＝0(x∈R)．

A．1         B．2          C．3                     D．4

考點二、分段函數(shù)的奇偶性

解析：分別討論每一個區(qū)間與其對稱區(qū)間上的對稱性，是否符合奇偶性的定義．

例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：

①

②

分析：先驗證函數(shù)定義域的對稱性，再考察．

解：（1）＞0且＞=＜＜，它具有對稱性．因為，所以是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)．

（2）當(dāng)＞0時，－＜0，于是

當(dāng)＜0時，－＞0，于是

綜上可知，在R－∪R+上，是奇函數(shù)．

例2、判斷函數(shù)f(x)＝的奇偶性．

     思路點撥：分x＞0或x＜0兩種情況計算f(－x)，然后再判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系．

     解：函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱．

①當(dāng)x＞0時，－x＜0，

則f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．

②當(dāng)x＜0時，－x＞0，

則f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1

＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)．

由①②知，當(dāng)x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)時，

都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．

【名師點撥】　分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段證明f(－x)與f(x)的關(guān)系，只有當(dāng)對稱的兩段上都滿足相同的關(guān)系時，才能判斷其奇偶性．也可根據(jù)圖象判定．

1、如果函數(shù)f(x)＝，其奇偶性怎樣？

解：當(dāng)x＞0時，f(x)＝x3－3x2＋1，－x＜0，f(－x)＝－(－x)3－3(－x)2＋1＝x3－3x2＋1＝f(x)．

    當(dāng)x＜0時，f(x)＝－x3－3x2＋1.－x＞0，f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝f(x)．

    綜上可得f(－x)＝f(x)

    ∴f(x)為偶函數(shù)．

考點二、利用奇偶函數(shù)圖像的對稱性質(zhì)

由偶函數(shù)的定義可得：

偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，反過來， 若一個函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù).

由奇函數(shù)的定義可得：

奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，反過來， 若一個函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，則這個

函數(shù)是奇函數(shù)

例1、設(shè)奇函數(shù)的定義域為，若當(dāng)時， 的圖象如右圖,則不等式的解是       

例2．如圖，給出了奇函數(shù)y = f (x)的局總圖象，求f (– 4).

例3．如圖，給出了偶函數(shù)y = f (x)的局部圖象，試比較f (1)與 f (3) 的大小.

1．奇函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖象必過點(　　)

A．(a，f(－a))　　　　B．(－a，f(a))     C．(－a，－f(a))  D．(a，f())

解析：∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－a)＝－f(a)，即自變量?。璦時，函數(shù)值為－f(a)，故圖象必過點(－a，－f(a))．

答案：C

2．若函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，其圖象與x軸有兩個交點，則方程f(x)＝0的所有實根之和是(　　)

    A．2              B．1          C．0              D．－1

解析：∵偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，∴f(x)與x軸的兩個交點關(guān)于y軸對稱，若一根為x1，則另一根必為－x1，故f(x)＝0的所有實根之和為0.

答案：C

3．已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈(0,2)時，f(x)＝2x2，則f(7)＝(　　)

   A．－2                 B．2      C．－98               D．98

解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f[4＋(－1)]＝f(－1)．

    又∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，∴f(7)＝－2，故選A.

    答案：A

考點三、根據(jù)奇偶性求函數(shù)解析式

例3、已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝2x2＋3x－1，求f(x)的解析式．

分析：由奇函數(shù)的定義知f(0)＝0，再由f(－x)＝－f(x)計算當(dāng)x<0時f(x)的表達(dá)式，構(gòu)成定義在R上的奇函數(shù)．

解：∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．

     ∵當(dāng)x<0時，－x>0，∴f(x)＝－f(－x)＝－2x2＋3x＋1.

  又∵奇函數(shù)f(x)在原點的定義，f(0)＝0.

  ∴f(x)＝

1、設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f(x)＝2x2－x，則f(1)＝(　　)

A．－3           B．－1            C．1               D．3

[解析]　本題主要考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的求法．f(1)＝－f(－1)＝－[2(－1)2－(－1)]＝－3， 

       故選A.

2、已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)＝x(1＋)，求當(dāng)x∈(－∞，0)時f(x)的解析式．

解：設(shè)x∈(－∞，0)，則－x∈(0，＋∞)．由已知得f(－x)＝－x(1＋)＝－x(1－)．

∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝x(1－)．

即f(x)＝x(1－)，∴當(dāng)x∈(－∞，0)時，f(x)的解析式為f(x)＝x(1－)．

考點三、利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍

例1、已知函數(shù)的定義域為，且同時滿足下列條件：

     （1）是奇函數(shù)；（2）在定義域上單調(diào)遞減；（3）

           求的取值范圍.

 ，則,

1、設(shè)定義在[－2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若f(1－m)<f(m)，求實數(shù)m的取值范圍．

分析：利用奇函數(shù)性質(zhì)知f(x)在[－2,2]上是減函數(shù)，再結(jié)合單調(diào)性，脫去符號“f”，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式(組)．

解∵f(x)在[－2,2]上為奇函數(shù)，且在[0,2]上單調(diào)遞減，故f(x)在[－2,2]上為減函數(shù)，又f(1－m)<f(m)．

∴　即解得－1≤m<.

變式體驗1　如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5，－3]上是增函數(shù)，且最大值是－4，那么f(x)在x∈[3,5]上是(　　)

           A．增函數(shù)且最大值是4　　　B．增函數(shù)且最小值是4

           C．減函數(shù)且最大值是4      D．減函數(shù)且最小值是4

解析：作一個符合條件的函數(shù)的簡圖．觀察圖形，可知f(x)在[3,5]上是增函數(shù)，且最小值為4.

答案：B

變式訓(xùn)練：

1、已知奇函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且 則的取值范圍為

A.         B.         C.           D.

2、下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是(　　)

A．y＝－x3，x∈R　　　　　　B．y＝sinx，x∈R

C．y＝x，x∈R               D．y＝x，x∈R

4．設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是(　　)

A．f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)                B．f(x)－|g(x)|是奇函數(shù)

C．|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù)                 D．|f(x)|－g(x)是奇函數(shù)

5．若f(x)＝＋a是奇函數(shù)，則a＝______.

考點五、函數(shù)奇偶性的證明、奇偶函數(shù)的單調(diào)性

例1、已知函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.

（1）試判斷f(x)的奇偶性；

（2）若-≤a≤，求f(x)的最小值.

解：(1)當(dāng)a=0時，函數(shù)f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),

此時,f(x)為偶函數(shù).當(dāng)a≠0時，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,

f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此時，f(x) 為非奇非偶函數(shù).

（2）當(dāng)x≤a時,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+,

    ∵a≤,故函數(shù)f(x)在（-∞，a］上單調(diào)遞減，

    從而函數(shù)f(x)在（-∞，a］上的最小值為f(a)=a2+1.

    當(dāng)x≥a時，函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+,

    ∵a≥-，故函數(shù)f(x)在［a，+∞）上單調(diào)遞增，從而函數(shù)f(x)在［a，+∞)上的

       最小值為f(a)=a2+1.

     綜上得，當(dāng)-≤a≤時，函數(shù)f(x)的最小值為a2+1.

例2、已知f(x)＝是奇函數(shù)．

(1)求a、b的值；

解：(1)∵f(x)＋f(－x)＝0恒成立，即－＝0恒成立，

    則2(a＋b)x2＋2a＝0對任意的實數(shù)x恒成立．∴a＝b＝0.

考點五、函數(shù)奇偶性的簡單應(yīng)用

例1、若f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3在(0，＋∞)上的最大值是8，求f(x)在(－∞，0)上的最小值．

    分析：注意到g(x)＝x5＋ax3＋bx是奇函數(shù)，則g(－x)＋g(x)＝0.

解：當(dāng)x>0時，f(x)≤8，則當(dāng)x<0時，－x>0，f(－x)≤8，設(shè)x∈(－∞，0)，則

f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3

＝－[(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＋3]＋6

＝－f(－x)＋6≥－8＋6＝－2.

所以f(x)在(－∞，0)上的最小值是－2.

1、已知f(x)與g(x)都是定義在R上的奇函數(shù)，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋3，且F(－2)＝5，則F(2)＝　1　；

解：(1)因為f(x)與g(x)都是奇函數(shù)，

所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)，

所以F(x)＋F(－x)＝af(x)＋bg(x)＋3＋a[－f(x)]＋b[－g(x)]＋3＝6，

所以F(x)＝6－F(－x)，

所以F(2)＝6－F(－2)＝6－5＝1.

2、已知函數(shù)f(x)＝x3＋sinx的定義域為(－1,1)，則滿足不等式f(a2－1)＋f(1－2a)<0的a的取值范圍是　(0,1)　.

解：因為f(x)＝x3＋sinx，x∈(－1,1)是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，所以f(a2－1)＋f(1－2a)<0，即f(a2－1)<f(2a－1)．

1、設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對稱，

   則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=

2、定義在{x|x∈R，x≠1}上的函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=-f（1+x），當(dāng)x＞1時，f(x)＝，則函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g(x)＝cosπ(x+)(?3≤x≤5)的圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和等于

3、設(shè)函數(shù)f（x）對x∈R都滿足f（3+x）=-f（3-x），且方程f（x）=0恰有6個不同的實數(shù)根，

   則這6個實數(shù)根的和為     

4、設(shè)函數(shù)f（x）對x∈R都滿足f（3+x）=f（3-x），且函數(shù)y=f（x）恰有6個不同的零點，則這6個零點

   的和為   

5、函數(shù)f（x）在定義域R上不是常數(shù)函數(shù)，且f（x）滿足條件：對任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），

   f（1+x）=-f（x），則f（x）是（　?。?/p>

  A．奇函數(shù)但非偶函數(shù)  B．偶函數(shù)但非奇函數(shù)  C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)   D．是非奇非偶函數(shù)

考點六、抽象函數(shù)奇偶性的判斷

例1、已知函數(shù)f(x)，x∈R，若對任意實數(shù)a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．求證：f(x)為奇函數(shù)．

證明　設(shè)a＝0，則f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.

又設(shè)a＝－x，b＝x，則f(0)＝f(－x)＋f(x)．

∴f(－x)＝－f(x)．

∴f(x)是奇函數(shù)．

變式遷移3　證明　令x1＝0，x2＝x，

則得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)①

又令x1＝x，x2＝0，得

f(x)＋f(x)＝2f(x)f(0)②

由①、②得f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．

例2、已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意的a、b∈R都滿足：f(ab)＝af(b)＋bf(a)，

(1)求f(0)、f(1)的值．

(2)證明f(x)為奇函數(shù)．

解：(1)令a＝b＝0，∴f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0.

         令a＝b＝1，∴f(1)＝1f(1)＋1f(1)＝2f(1)，

         ∴f(1)＝0.

(2)證明：∵a，b∈R，∴可賦a、b為某些特殊值．

         令a＝b＝－1，則f(－1)＝0.

         ∵f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)＋0，

         ∴f(x)為奇函數(shù)．

1、已知函數(shù)f(x)對一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．

分析：判定函數(shù)的奇偶性應(yīng)湊f(－x)的形式，令y＝－x即可．

解：(1)證明：由題意知，f(x)的定義域是R，它關(guān)于原點對稱．在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，

令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)；令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.

把f(0)＝0代入f(0)＝f(x)＋f(－x)，得

f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函數(shù)．

(2)解：由f(－3)＝a，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x)是奇函數(shù)，得f(12)＝2f(6)＝4f(3)＝－4f(－3)＝－4a.

例3、已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,y∈R時，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).

（1）求證：f(x)是奇函數(shù)；

（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-,試求f(x)在區(qū)間［-2，6］上的最值.

（1）證明： ∵函數(shù)定義域為R，其定義域關(guān)于原點對稱.

∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,

∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),

∴f(x)為奇函數(shù).

（2）解：方法一  設(shè)x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y），

∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R+，f（x）＜0,

∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).

∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是減函數(shù).又∵f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0，

∴f（x）在（-∞,+∞）上是減函數(shù).∴f（-2）為最大值，f(6)為最小值.

∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.

∴所求f(x)在區(qū)間［-2，6］上的最大值為1，最小值為-3.

方法二  設(shè)x1＜x2,且x1,x2∈R.

則f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).

∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上單調(diào)遞減.

∴f（-2）為最大值，f（6）為最小值.∵f（1）=-，

∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.

∴所求f(x）在區(qū)間［-2，6］上的最大值為1，最小值為-3.

考點七、函數(shù)的周期性及應(yīng)用

例1、設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x＝1對稱，當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.

(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；

(2)當(dāng)x∈[2,4]時，求f(x)的解析式；

(3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．　

解：(1)因為y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，且f(x)為奇函數(shù)，所以f(2－x)＝f(x)．

因為f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，

所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．

(2)因為x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.

設(shè)x∈[－2,0]，則－x∈[0,2]，又f(x)是奇函數(shù)，

所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.

當(dāng)x∈[2,4]時，x－4∈[－2,0]，

所以f(x)＝f(x－4)＝2(x－4)＋(x－4)2＝2x－8＋x2－8x＋16＝x2－6x＋8.

即當(dāng)x∈[2,4]時，f(x)＝x2－6x＋8.

(3)由x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2，可得f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，

又x∈[2,4]時，f(x)＝x2－6x＋8，可得f(3)＝－1，

所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，而f(x＋4)＝f(x)，

所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]×503＝0.

1、設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足：①f(x)＝f(2－x)；②當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x2.

(1)判斷函數(shù)f(x)是否是周期函數(shù)；

(2)求f(5.5)的值．

例2、已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x＋2)＝－f(x)．

(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；

(2)若f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2 014]上的所有x的個數(shù)．

(1)證明　∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，

         ∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．

(2)解　當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x，設(shè)－1≤x≤0，則0≤－x≤1，

      ∴f(－x)＝(－x)＝－x.∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，

       ∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.故f(x)＝x(－1≤x≤1)．

        又設(shè)1<x<3，則－1<x－2<1，∴f(x－2)＝(x－2)．

       又∵f(x)是以4為周期的周期函數(shù)

         ∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，∴－f(x)＝(x－2)，∴f(x)＝－(x－2)(1<x<3)．

        ∴f(x)＝

由f(x)＝－，解得x＝－1.∵f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，∴f(x)＝－的所有x＝4n－1(n∈Z)．

令0≤4n－1≤2 014，則≤n≤.又∵n∈Z，∴1≤n≤503(n∈Z)，

∴在[0,2 014]上共有503個x使f(x)＝－.

考點八、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例1、定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)，對任意x、y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)且f(0)≠0.

(1)求證：f(0)＝1；

(2)判斷y＝f(x)的奇偶性；

(3)若存在正常數(shù)C，使f()＝0.

①求證：對任意x∈R，有f(x＋C)＝－f(x)成立；

②試問函數(shù)f(x)是不是周期函數(shù)？如果是，找出它的一個周期；如果不是，請說明理由．

分析：(1)用賦值法；(2)依題設(shè)構(gòu)造f(－x)與f(x)的關(guān)系；(3)存在型問題，可由存在入手推導(dǎo)相關(guān)結(jié)論．

解 ：(1)證明：令x＝y(tǒng)＝0，則2f(0)＝2f2(0)．

又f(0)≠0，所以f(0)＝1.

(2)令x＝0，則f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，

所以f(y)＝f(－y)，即f(x)＝f(－x)，

又x∈R，所以f(x)為偶函數(shù)．

(3)①證明：用x＋，(C>0)替換x，y，則f(x＋＋)＋f(x＋－)＝2f(x＋)·f()．

又f()＝0，所以f(x＋C)＋f(x)＝0，即f(x＋C)＝－f(x)；

②由①的結(jié)論知f(x＋2C)＝－f(x＋C)＝f(x)(C>0)，

所以f(x)是周期函數(shù)，2C就是它的一個周期．

點評：特殊值法是解決抽象函數(shù)問題常用的有效方法，通過所給關(guān)系式，對其中的變量進(jìn)行有效賦值，注意借助具體模

      型思考，聯(lián)系解題目標(biāo)賦值．

1、設(shè)f(x)是定義在[－1,1]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,0]時，f(x)＝g(2－x)，且當(dāng)x∈[2,3]時，g(x)＝2a(x－2)－4(x－2)3.

(1)求f(x)的表達(dá)式；

(2)是否存在正實數(shù)a(a>6)，使函數(shù)f(x)的圖象最高點在直線y＝12上，若存在，求出正實數(shù)a的值；若不存在，

  請說明理由．

【解析】(1)當(dāng)x∈[－1,0]時，2－x∈[2,3]，

f(x)＝g(2－x)＝2a(－x)－4(－x)3＝4x3－2ax，

因為y＝f(x)在[－1,1]是偶函數(shù)，

所以當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝f(－x)＝－4x3＋2ax.

(2)命題等價于f(x)max＝12，由于f(x)為偶函數(shù)，故只需考慮0≤x≤1的情況．f ′(x)＝－12x2＋2a (0≤x≤1，a>6)．

由f ′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)．

因為>1，所以當(dāng)0≤x≤1時，f ′(x)>0，

即f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增．

所以f(x)max＝f(1)＝12，所以a＝8.

綜上，存在a＝8使得f(x)的圖象的最高點在直線y＝12上．

鞏固練習(xí)：

1、f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝f(x)，又當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)＝2x－1，則f(log6)等于                                                                                                                                                                           (　　)．

A．－5  B．－6  C．－  D．－

解析　f(log6)＝－f(log26)＝－f(log26－2)．∵log26－2＝log2∈(0,1)，∴f＝，

∴f(log6)＝－.

答案　D

2．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(x＋2)，當(dāng)x∈[3,5]時，f(x)＝2－|x－4|，則下列不等式一定成立的是                                                                                                                                               (　　)．

A．>  B．f(sin 1)<f(cos 1)   C．< D．f(cos 2)>f(sin 2)

解析　當(dāng)x∈[－1,1]時，x＋4∈[3,5]，由f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝2－|x＋4－4|＝2－|x|，

顯然當(dāng)x∈[－1,0]時，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)為減函數(shù)，cos＝－，sin ＝>，又f＝f>f，所以f>f.

答案　A

4．已知函數(shù)f(x)＝則該函數(shù)是   (　　)．

A．偶函數(shù)，且單調(diào)遞增                         B．偶函數(shù)，且單調(diào)遞減 

C．奇函數(shù)，且單調(diào)遞增                         D． 奇函數(shù)，且單調(diào)遞減

解析　當(dāng)x>0時，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；當(dāng)x<0時，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．當(dāng)x＝0時，f(0)＝0，故f(x)為奇函數(shù)，且f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上為增函數(shù)，f(x)＝2x－1在(－∞，0)上為增函數(shù)，又x≥0時1－2－x≥0，x<0時2x－1<0，故f(x)為R上的增函數(shù)．

答案　C

1．函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x＋1)與f(x－1)都是奇函數(shù)，則   (　　)．

A．f(x)是偶函數(shù)  B．f(x)是奇函數(shù)

C．f(x)＝f(x＋2)  D．f(x＋3)是奇函數(shù)

解析　由已知條件，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)．由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，得f(－x＋2)＝－f(x)；由f(－x－1)＝－f(x－1)，得f(－x－2)＝－f(x)．則f(－x＋2)＝f(－x－2)，即f(x＋2)＝f(x－2)，由此可得f(x＋4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(x＋3)＝f(x－1)，即函數(shù)f(x＋3)也是奇函數(shù)．

答案　D

2．設(shè)函數(shù)D(x)＝則下列結(jié)論錯誤的是   (　　)．

A．D(x)的值域為{0,1}  B．D(x)是偶函數(shù)C．D(x)不是周期函數(shù)  D．D(x)不是單調(diào)函數(shù)

解析　顯然D(x)不單調(diào)，且D(x)的值域為{0,1}，因此選項A、D正確．若x是無理數(shù)，－x，x＋1是無理數(shù)；若x是有理數(shù)，－x，x＋1也是有理數(shù)．∴D(－x)＝D(x)，D(x＋1)＝D(x)．則D(x)是偶函數(shù)，D(x)為周期函數(shù)，B正確，C錯誤．

答案　C

3．f(x)＝2x＋sin x為定義在(－1,1)上的函數(shù)，則不等式f(1－a)＋f(1－2a)<0的解集是 ________.

解析　f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)，且f(x)為奇函數(shù)．于是原不等式為f(1－a)<f(2a－1)等價于解得<a<1.

答案　

4．若定義域為R的奇函數(shù)f(x)滿足f(1＋x)＝－f(x)，則下列結(jié)論：①f(x)的圖象關(guān)于點對稱；②f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱；③f(x)是周期函數(shù)，且2是它的一個周期；④f(x)在區(qū)間(－1,1)上是單調(diào)函數(shù)．其中所有正確的序號是________．

解析　由函數(shù)為奇函數(shù)且滿足f(1＋x)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，又f＝－f，f＝f，所以②③正確．

答案?、冖?/p>

5．若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________.

解析　由題意知，函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.

答案　0

6．已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝________.

解析　因為y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且x＝1時，y＝2，所以當(dāng)x＝－1時，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.

答案?。?

三、解答題(共25分)

7．(12分)已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意x，y，f(x)都滿足f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)．

(1)求f(1)，f(－1)的值；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性．

解　(1)因為對定義域內(nèi)任意x，y，f(x)滿足f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)，所以令x＝y(tǒng)＝1，得f(1)＝0，令x＝y(tǒng)＝－1，得f(－1)＝0.

(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)．

8．(13分)設(shè)定義在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上單調(diào)遞減，若f(1－m)<f(m)，求實數(shù)m的取值范圍．

解　由偶函數(shù)性質(zhì)知f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，且f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)，

因此f(1－m)<f(m)等價于

解得：<m≤2.

因此實數(shù)m的取值范圍是.

5．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0，常數(shù)a∈R)．

(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)若函數(shù)f(x)在x∈[2，＋∞)上為增函數(shù)．求實數(shù)a的取值范圍．

解　(1)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0}，

當(dāng)a＝0時，f(x)＝x2，(x≠0)

顯然為偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，

因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，

所以函數(shù)f(x)＝x2＋既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．

(2)f′(x)＝2x－＝，

當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，則f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，

當(dāng)a>0時，由f′(x)＝>0，

解得x> ，由f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，

可知 ≤2.解得0<a≤16.

綜上可知實數(shù)a的取值范圍是(－∞，16]．

4．設(shè)是定義在上的一個函數(shù)，則函數(shù)

在上一定是（    ）

A．奇函數(shù)                 B．偶函數(shù)   C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)   D．非奇非偶函數(shù)

4.   A  

5．已知函數(shù)，，

則的奇偶性依次為（    ）

A．偶函數(shù)，奇函數(shù)      B．奇函數(shù)，偶函數(shù)  C．偶函數(shù)，偶函數(shù)      D．奇函數(shù)，奇函數(shù)

5.   D   ，畫出的圖象可觀察到它關(guān)于原點對稱

  或當(dāng)時，，則

當(dāng)時，，則

7. 已知冪函數(shù)的圖像過點，則函數(shù)的最小正周期是（  ）

、          、        、         、

6．已知函數(shù)f(x)＝，若方程f(x)＝x＋a有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為(　　)

A．(－∞，0]  B．[0,1)

C．(－∞，1)  D．[0，＋∞)

解析：當(dāng)x>0時，因為f(x)＝f(x－1)，所以當(dāng)x>0時，f(x)是以1為周期的函數(shù)，又當(dāng)0<x≤1時，x－1≤0，所以f(x)＝f(x－1)＝21－x－1＝2·()x－1.方程f(x)＝x＋a的根的個數(shù)可看成是兩個函數(shù)y＝f(x)與y＝x＋a的圖象的交點個數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，如圖，由圖象可知，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，1)．

答案：C

24．已知函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，則f（1）的值（　　）

    A．恒為正數(shù)      B．恒為負(fù)數(shù)     C．恒為0     D．可正可負(fù)

6．已知函數(shù)f(x)在(－1,1)上有定義，，當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時，f(x)<0，且對任意x、y∈(－1,1)都有f(x)＋f(y)＝，試證明：

(1)f(x)為奇函數(shù)；

(2)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減．

證明　(1)函數(shù)f(x)的定義域為(－1,1)，

再由f(x)＋f(y)＝，

令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0，

令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f＝f(0)＝0，

∴f(x)＝－f(－x)，即f(x)為奇函數(shù)．

(2)先證f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減．令0<x1<x2<1，則f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f.

∵0<x1<x2<1，∴x2－x1>0,1－x1x2>0，

即>0.

又∵(x2－x1)－(1－x2x1)＝(x2－1)(x1＋1)<0，

∴x2－x1<1－x2x1，∴0<<1.

由題意，知f<0，即f(x2)<f(x1)，

∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)＝0，

∴f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減.