調(diào)和級(jí)數(shù)雖然形式上很簡(jiǎn)單，但是包含了許多有趣的數(shù)學(xué)、一些具有挑戰(zhàn)性的奧數(shù)題、幾個(gè)出人意料的應(yīng)用、甚至一個(gè)著名的未解決的問題。而有關(guān)調(diào)和級(jí)數(shù)的許多問題背后的答案都與我們最初的直覺相違背，因此非常值得了解與學(xué)習(xí)。

▌為什么該級(jí)數(shù)稱為"調(diào)和"？
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▲ 中世紀(jì)畢氏音程木刻畫，在圖中顯示畢達(dá)哥拉斯正在使用鐘與其他樂器。

這個(gè)名字起源于希臘人，我們知道希臘人在許多學(xué)科上都造詣?lì)H深。畢達(dá)哥拉斯是第一個(gè)研究由各種長(zhǎng)度的弦所發(fā)出的音符的人。如果將一根撥弦時(shí)發(fā)出中央  音的弦，它的長(zhǎng)度剪至原來的 ，這根弦便能發(fā)出  音符（音樂家們稱從  到  為一個(gè)*五度音程*）。如果弦的長(zhǎng)度減半,它將發(fā)出高音 ，即高出一個(gè)倍頻程。這些音符和它們對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)是畢達(dá)哥里斯的和聲學(xué)基礎(chǔ)。

在調(diào)和級(jí)數(shù)中， 和  的調(diào)和均值為 。現(xiàn)在將這些數(shù)字取倒數(shù)，即

形成等差數(shù)列，因此,那些取倒數(shù)即為等差數(shù)列的數(shù)列，也就是調(diào)和級(jí)數(shù)。

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▲ 立方體和八面體

畢達(dá)哥拉斯的思想由數(shù)學(xué)占主要地位，但它也非常接近於神秘主義。例如,他指出立方體有  個(gè)面、 個(gè)頂點(diǎn)和  個(gè)邊。由于 、 和  是調(diào)和級(jí)數(shù)，畢達(dá)哥拉斯立方體是一個(gè)“和諧”物體。還有其他"和諧"物體嗎？有得——八面體，它有  個(gè)面, 個(gè)邊和 個(gè)頂點(diǎn)。還有其他的嗎？雖然這是個(gè)簡(jiǎn)單的問題，但我還沒深入地思考過，這部分還需要了解歐拉的多面體公式和佩爾方程的解的內(nèi)容。

▌?wù){(diào)和級(jí)數(shù)的值
不像等差級(jí)數(shù)和幾何級(jí)的公式，調(diào)和級(jí)數(shù)的值沒有簡(jiǎn)單的公式對(duì)應(yīng)

即便如此，我們也可以回答這個(gè)問題：調(diào)和級(jí)數(shù)“取極限”究竟是怎樣？

也許你會(huì)認(rèn)為調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于某個(gè)常數(shù)，因?yàn)殡S著項(xiàng)的增多，所增加的項(xiàng)在逐漸變小。確實(shí)如此，但是如果你用簡(jiǎn)單的計(jì)算器或臺(tái)式電腦試著計(jì)算，你會(huì)得到一個(gè)有限的數(shù)字。這是因?yàn)橐话愕倪\(yùn)算器只能處理一定大小(通常為 )的數(shù)字,并且將  視為零。這樣的計(jì)算器會(huì)告訴你，調(diào)和級(jí)數(shù)的總和是大約 ，如果你讓它運(yùn)行足夠長(zhǎng)時(shí)間的話。

然而，實(shí)際情況恰恰相反——這個(gè)數(shù)列的和會(huì)無休止地增長(zhǎng)。這個(gè)令人驚訝的結(jié)果首先被600多年前的法國(guó)數(shù)學(xué)家尼克爾·奧里斯姆（Nichole Oresme）使用比較審斂法所證實(shí)。他指出，如果你把該級(jí)數(shù)

中的某些項(xiàng)換成更小的項(xiàng)



并將它的某部分括起來，這個(gè)級(jí)數(shù)就變成

這個(gè)總和就顯而易見地比我們?cè)J(rèn)為的調(diào)和級(jí)數(shù)還要小。

用  表示調(diào)和級(jí)數(shù)的  項(xiàng)部分和，也叫作第  個(gè)調(diào)和數(shù)。奧里斯姆認(rèn)為

因此，隨著增加的項(xiàng)越來越多， 增長(zhǎng)的速度越來越慢?？梢杂^察到一個(gè)很有意思的現(xiàn)象，便是除了 ，以外， 不再等于任何整數(shù)。我看到這個(gè)問題在不止一篇數(shù)學(xué)奧林匹克試卷中出現(xiàn)過，而這個(gè)問題的解答，因其推理的嚴(yán)謹(jǐn)，同樣是值得研究的。

設(shè)  ，取整數(shù)  使得 ，有

令  的最小公倍數(shù)為  ，其中  為奇數(shù)?，F(xiàn)在等式兩邊同時(shí)乘以這個(gè)數(shù)字，可得


當(dāng)乘以這個(gè)最小公倍數(shù)時(shí)，等式左側(cè)的所有項(xiàng)都將是整數(shù)，但有一項(xiàng)除外：

不是整數(shù)，因?yàn)?nbsp; 是奇數(shù)，所以等式左側(cè)不是整數(shù)。因此等式右側(cè)也不是整數(shù)。這意味著這  不是整數(shù)。

▌創(chuàng)紀(jì)錄的降雨量

如果我們手頭有張空白的百年降雨量表格?，F(xiàn)在預(yù)計(jì)百年內(nèi)會(huì)有多少次打破降雨紀(jì)錄？當(dāng)然假設(shè)降雨量是隨機(jī)的，因?yàn)槿魏我荒甑慕涤炅繉?duì)以后任何一年的降雨量沒有影響。

第一年無疑是創(chuàng)紀(jì)錄的一年。在第二年，降雨量有同等的可能性大于或小于第一年的降雨量。因此，第二年也創(chuàng)紀(jì)錄的可能性為  。因此，在保存紀(jì)錄的頭兩年，預(yù)計(jì)創(chuàng)紀(jì)錄的年數(shù)為 。繼續(xù)到第三年。第三次觀測(cè)的概率為 ，因此三年內(nèi)記錄的降雨量創(chuàng)紀(jì)錄預(yù)期數(shù)量為 。繼續(xù)這一推理，得出的結(jié)論是，經(jīng)過  次觀測(cè)對(duì)應(yīng)的預(yù)期創(chuàng)記錄年數(shù)是

你猜一百年的降雨量表中打破降雨量記錄的次數(shù)是多少？如果是 ，那幾乎是正確的，因?yàn)檎{(diào)和數(shù)列的前一百個(gè)項(xiàng)的總和是 。

即使在某一年降雨量創(chuàng)紀(jì)錄之后，沒有人會(huì)懷疑這一紀(jì)錄將在未來某個(gè)時(shí)候被打破——也許在明年。因?yàn)闊o限次的觀測(cè)對(duì)應(yīng)創(chuàng)紀(jì)錄年數(shù)顯然是無窮大。我們有直觀的理由相信調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的。

以下是  取不同的值時(shí)所對(duì)應(yīng)的 ：

▌交通流量?

在不允許超車的單行道交通中，一輛慢車后面跟著一堆想超車但不能超車的汽車。如果  輛汽車行駛，將形成多少條車流？如同上一個(gè)例子，這就像在問將觀察到多少低速記錄一樣，我們知道答案：

因?yàn)檐嚵髦泻筌囁俣纫欢〞?huì)比前車慢，所以兩車的間隔會(huì)更大。這解釋了為什么在長(zhǎng)隧道出口附近的汽車往往比隧道入口附近的汽車行駛得更快，并且車流較稀疏時(shí)車與車的間隔也會(huì)更大。

▌更好的檢測(cè)方法
假設(shè)你有一百根類似的木梁，并希望找到他們產(chǎn)生斷裂應(yīng)變的力的最小值  。您制作了一個(gè)簡(jiǎn)單的機(jī)器，將逐漸增大的力施加到水平放置的木梁上。通過逐漸增加力的大小，直到木梁斷裂，你可以找到每根木梁的斷裂應(yīng)力  。假設(shè)我們用  表示第 根木梁的斷裂應(yīng)力。

以這種方式進(jìn)行的銷毀測(cè)試有一個(gè)缺點(diǎn)。雖然最后你知道了  根木梁的斷裂應(yīng)力 ，但在這個(gè)過程中你也毀壞了所有木梁。實(shí)際上我們想知道的并不是每根木梁斷裂應(yīng)力的精確值 ，而是  的最小值，其中 。于是你改成以下實(shí)驗(yàn)。

測(cè)試第一根木梁使其產(chǎn)生斷裂，并記錄下第一根木梁的斷裂應(yīng)力()。然后，測(cè)試第二根木梁，不斷增加作用在木梁中心的力  直至  的大小，但不要超過 。如果木梁沒有斷裂，說明這跟木梁的斷裂應(yīng)力大于 。如果木梁斷裂了，則記錄第二根木梁的斷裂應(yīng)力  。然后測(cè)試第三根木梁，使作用在木梁中心的力增加至  和  中的最小值。如果木梁斷裂了，記錄下斷裂應(yīng)力 ，如果沒有斷裂，則繼續(xù)做下一根木梁的測(cè)試。

這個(gè)實(shí)驗(yàn)不斷地記錄木梁斷裂應(yīng)力的最小值，只有那些斷裂應(yīng)力打破新低記錄的木梁才會(huì)被毀壞，因此如果試驗(yàn)?zāi)玖旱臄?shù)目為 ，則有  根木梁會(huì)被毀壞，而如果試驗(yàn)?zāi)玖?nbsp; 根，則有  根被毀壞。

▌洗牌

洗牌（從數(shù)學(xué)上講）最簡(jiǎn)單的方法被稱為"隨機(jī)頂部"洗牌。卡牌組的頂部卡被隨機(jī)地插入到卡牌組中。那么，必須重復(fù)多少次這樣的洗牌以后我們才能視這個(gè)卡牌組為“隨機(jī)的”洗過牌了呢？

我們知道，一開始置底的那張卡牌，在有另一張卡牌放置到它底下之前，這張卡牌（記為  ）一直都是在置底的?，F(xiàn)在從卡牌組頂部取出一張卡牌，再隨即地放回卡牌組里，有  種可能的情況，這張卡牌被放置到  底下的概率為 ，因此平均下來經(jīng)過  次這樣的洗牌就會(huì)有一張牌置于  的底下。而因?yàn)橛辛说谝粡埮浦糜?nbsp; 的底下了，也就是  的底下有兩個(gè)放牌的空間，所以這一次每一張牌經(jīng)過洗牌后置于 的底下的概率就變成了 ，同樣地預(yù)計(jì)經(jīng)過  次的洗牌會(huì)有第二張牌置于B的底下。因此，預(yù)計(jì)經(jīng)過  的洗牌會(huì)有兩張牌置于  的底下。請(qǐng)注意，現(xiàn)在置于  底下的牌的順序時(shí)隨機(jī)的。不斷重復(fù)這樣的洗牌，整副卡牌置于  底下所需要的次數(shù)是

如此一來，  底下的卡牌順序都是隨機(jī)的，想要整副卡牌順序都是隨機(jī)的，只需要再洗一次牌，將  隨機(jī)地放入卡牌組中。因此，隨機(jī)地洗完整副牌所需的次數(shù)是：


▌穿越沙漠

這個(gè)問題在二次大戰(zhàn)中引起了極大的關(guān)注，以至于有傳言稱，這是德國(guó)人設(shè)計(jì)出來并散布到英國(guó)的，以此分散英國(guó)科學(xué)家的注意力。

問題是這樣，現(xiàn)在要乘吉普車穿越沙漠，但中途并沒有燃料補(bǔ)給，也不能在車?yán)飻y帶足以穿越沙漠的燃料。目前你沒有時(shí)間建立中途的補(bǔ)給站，但好消息是，手頭有的是吉普車?，F(xiàn)在的問題是，如何使用最少的燃料穿越沙漠？

我們以一輛吉普車能行駛一箱油的距離所耗油量作計(jì)量單位。如果兩輛吉普車一起出發(fā)，則先一起走  箱油的距離，然后吉普車  將  箱油倒給吉普車 ，然后用剩下的  箱油返回原點(diǎn)。此時(shí)，吉普車  行駛距離合計(jì)為  箱油。

如果三輛吉普車出發(fā)，則先一起走  箱油的距離，然后吉普車  分別給吉普車  和吉普車  倒入  箱油，此時(shí)吉普車  剩下  箱油，但吉普車  的油箱是滿的，這就跟上一種情況相同。當(dāng)吉普車  返回到吉普車  所在處時(shí)，吉普車  已經(jīng)沒油了，但他們有足夠的油一起回到原處。此時(shí)，吉普車  行駛距離合計(jì)為  箱油。

同樣地推理，四輛吉普車，可以行駛的最長(zhǎng)距離為  箱油的距離，則只需  輛吉普車你就能穿越沙漠，沙漠的距離計(jì)為

在這里，我們有一個(gè)新的級(jí)數(shù)，它也是調(diào)和級(jí)數(shù)(每一項(xiàng)都是等差級(jí)數(shù)的倒數(shù))，當(dāng)然也發(fā)散的

事實(shí)上，這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂性表明，通過使用這樣轉(zhuǎn)移油料大法，只要你有足夠多的吉普車就可以穿過無窮大的沙漠(*￣︶￣)。

▌其他級(jí)數(shù)
我們剛剛看到，即便刪除了調(diào)和級(jí)數(shù)的偶數(shù)項(xiàng)，余下項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)

級(jí)數(shù)依然發(fā)散。那么下面這個(gè)級(jí)數(shù)斂散性如何？

該級(jí)數(shù)刪除了調(diào)和級(jí)數(shù)中第一項(xiàng)和帶有合數(shù)（即非素?cái)?shù)）分母的所有項(xiàng)，剩余的分母都是素?cái)?shù)，你知道，素?cái)?shù)的分布會(huì)越來越稀疏，但非常令人驚訝的是，由素?cái)?shù)的倒數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)依然發(fā)散。

這個(gè)事實(shí)的證明有點(diǎn)復(fù)雜(雖然這只是大一水平的難度)，因此你可以嘗試著去證明下。當(dāng)你證得這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散的同時(shí)，你也可以推斷出質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無窮的。

與其刪掉分母為合數(shù)的項(xiàng)，不如讓我們來刪掉分母中含零的項(xiàng)。這看起來僅僅是在原有的調(diào)和級(jí)數(shù)中刪掉了分母為十的倍數(shù)的項(xiàng)。于是我們合理地作出這個(gè)級(jí)數(shù)依然發(fā)散的猜測(cè)，然而事實(shí)或許會(huì)違背你的直覺并使你震驚，因?yàn)槲覀兊倪@種猜測(cè)是錯(cuò)的。

我們首先看一下那些分母只有一位數(shù)的項(xiàng)，顯然只有9個(gè)，而且它們都小于1。因此他們的總和小于9。

然后，我們看級(jí)數(shù)中分母有兩位數(shù)的項(xiàng)。有  項(xiàng)，且都小于 。因此他們的總和小于 。

通常，級(jí)數(shù)中分母為  位數(shù)的項(xiàng)都有  項(xiàng)，且每一項(xiàng)都小于 ，因此它們的總和總是小于

這是一個(gè)幾何級(jí)數(shù)，項(xiàng)數(shù)趨于無窮時(shí)，總和等于90。因此,沒有包含零位數(shù)的詞的調(diào)和級(jí)數(shù)收斂。實(shí)際上可以進(jìn)行更精確的分析至小數(shù)點(diǎn)后五位，以得到該級(jí)數(shù)等于 。

▌與對(duì)數(shù)的聯(lián)系

早在14世紀(jì)，尼克爾·奧里斯姆已經(jīng)證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，但知道的人不多。17世紀(jì)時(shí)， 皮耶特羅·曼戈里、約翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部證明工作。

現(xiàn)在讓我們回到奧里斯姆的證明，即調(diào)和級(jí)數(shù)的分散。這是通過

調(diào)和級(jí)數(shù)和對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系更加緊密。利用一點(diǎn)微積分知識(shí)更仔細(xì)地分析奧里斯姆的不等式，會(huì)發(fā)現(xiàn)  與  的自然對(duì)數(shù)  的發(fā)散速度一致?？梢缘玫疆?dāng)  趨于無窮時(shí)， 兩者只相差一個(gè)常量值，通常用  表示。