一

綜性已知，是些啥？

不少學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)難學(xué)，特別是課余時(shí)間與學(xué)生交流時(shí)，有學(xué)生說(shuō)：一道數(shù)學(xué)解答題，不知從啥地方入手？也有學(xué)生說(shuō)：對(duì)于幾何解答題，總感覺(jué)書(shū)寫(xiě)很亂，不知哪里出了問(wèn)題?更有學(xué)生說(shuō)：平常時(shí)間充足，可多想想，一到了考試的時(shí)候，時(shí)間顯得太緊缺，為何？

帶著以上諸多問(wèn)題，借助復(fù)習(xí)第十一章 三角形 時(shí)，我巧妙使用復(fù)習(xí)題11中的解答題.創(chuàng)造性地提出數(shù)學(xué)已知中的三種已知說(shuō)法，具體如下：

一是“直性已知”：直接使用，有時(shí)也需要簡(jiǎn)單地“小加工”再用.

二是“綜性已知”：加工后用，通常解題是從這個(gè)已知條件入手的.

三是“隱性已知”：巧妙借用，眾多隱含關(guān)系的已知條件不需全用.

比如這樣一道復(fù)習(xí)題：

五邊形ABCDE的內(nèi)角都相等，AF⊥CD，垂足為F.求∠EAF的度數(shù)？

此題是一道數(shù)學(xué)解答題，題中有兩句話：

第一句“五邊形ABCDE的內(nèi)角都相等”，既是“綜性已知”，其中又暗含“隱性已知”：五邊形的內(nèi)角和等于（5-2）180°=540°.很明顯，書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程時(shí)，就得從這已知入手.

第二句“AF⊥CD，垂足為F”，是一個(gè)“綜性已知”不可以直接使用之，必須依據(jù)垂直的定義，得出兩個(gè)直角的存在，對(duì)于解決本題，自然想到在四邊形AFDE中去運(yùn)用較妥.

二

綜性已知，如何用？

綜性已知，無(wú)處不在.解決數(shù)學(xué)解答題時(shí)，如何用好所有的已知條件，是數(shù)學(xué)素能之一.

經(jīng)過(guò)先讓學(xué)生自主剖析，再小組交流，后統(tǒng)一小結(jié)提升，最終達(dá)成書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程的一般原則主要有如下三條：

（一）從已知條件出發(fā)原則.

所有的數(shù)學(xué)題，已知條件個(gè)個(gè)有效，常規(guī)題中一般不存在多余的已知或者閑置的已知.所以書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程時(shí)，就要牢記從已知出發(fā)進(jìn)行書(shū)寫(xiě)，這就避免了無(wú)從下手的困惑.

也許“已知”能得出不少的“可知”，不需要全部搬上來(lái)，要有的放矢地選用.

選擇講究的是一個(gè)有用，沒(méi)用的就不必要寫(xiě)上去，這就解決了亂寫(xiě)一通的糾結(jié). 

（二）對(duì)綜性已知加工原則.

直性已知，直接使用，比如邊長(zhǎng)有一個(gè)具體的數(shù)據(jù)，某個(gè)角等于已知的一個(gè)度數(shù)等.綜性已知不可以直接使用，必須經(jīng)過(guò)適宜的加工，否則只能導(dǎo)致書(shū)寫(xiě)出亂子，最終吃力不討好.

綜性已知的加工是一門(mén)大學(xué)問(wèn).需要平常多練，最終達(dá)到熟能生巧的程度極佳.

通過(guò)“觀圖形”、“記已知”、“想結(jié)論”三部曲，解決一道幾何解答題時(shí)，三部曲有時(shí)是同步的，重要的是注重其銜接，單打單就耽誤時(shí)間咯！由綜性已知分解出來(lái)的結(jié)果可能很多，終極目標(biāo)是走到求證或者解答那步，加工的本領(lǐng)高，數(shù)學(xué)沉淀厚，長(zhǎng)久之后水到聚成易.

（三）對(duì)隱性已知嫻熟原則.

光抓住綜性已知，有時(shí)也會(huì)卡殼.此時(shí)有可能是對(duì)于隱性已知不熟或者遺忘了，這是覺(jué)得數(shù)學(xué)題難做那部分學(xué)生存在的最大弊端之一，解決辦法就是對(duì)學(xué)過(guò)的隱含定理得記熟.

最早學(xué)過(guò)的“同角或補(bǔ)角的余角相等”定理，只要題圖中出現(xiàn)了直角或者高或者垂直關(guān)系，都可以或者有可能用得上這個(gè)定理，借助該定理能得出角相等的有用結(jié)論，不能忘！

再比如“對(duì)頂角相等”這條性質(zhì)，只要題圖中，出現(xiàn)兩線相交或者某一條線段延長(zhǎng)線，就有可能存在對(duì)頂角，不需要已知條件說(shuō)，更不需要題后來(lái)個(gè)“溫馨提醒”，直接用就是！

知道一個(gè)多邊形的邊數(shù)，就可以知道其內(nèi)角和，也不需要題目自身提醒或者主食等. 

三

綜性已知，怎么玩？

數(shù)學(xué)學(xué)好的最高境界之一是會(huì)玩數(shù)學(xué).這里所說(shuō)的“玩”，主要指的是得心應(yīng)手的熟度、立竿見(jiàn)影的準(zhǔn)度與感悟至深的速度.玩出力度、玩出花樣、玩出開(kāi)心，成功至半，漸漸贏！

本質(zhì)上講：玩數(shù)學(xué)，就是會(huì)對(duì)題給綜性已知，懂得如何加工與朝著哪個(gè)方向加工.

就以復(fù)習(xí)題11第12題為例，談?wù)勗趺赐妫?br>

已知“四邊形ABCD”是第一個(gè)綜性已知，可以利用四邊形內(nèi)角和定理解題；也可以說(shuō)成是一個(gè)隱性已知，能夠借助四邊形內(nèi)角和公式計(jì)算得出∠ABC＋∠ADC=180°.這個(gè)結(jié)論一般的學(xué)生不會(huì)想到，能夠想到的學(xué)生屬于數(shù)學(xué)素養(yǎng)較強(qiáng)的那種，其實(shí)可以告訴學(xué)生：一組對(duì)角互補(bǔ)（或特殊化成“兩個(gè)角分別是直角”）的四邊形，另一組對(duì)角一定互補(bǔ).這種四邊形也可以叫做“對(duì)角互補(bǔ)四邊形”，其中像本題這樣的四邊形是一組對(duì)角分別為直角的四邊形.

已知“BE平分∠ABC”是第二個(gè)綜性已知，目前能夠給我們帶來(lái)的好處是能夠知曉有兩個(gè)角相等，后續(xù)“DF平分∠ADC”類(lèi)似，兩者連起來(lái)看：能夠得出∠EBF與∠EDF互余，當(dāng)然需要與前面的已知一起作用，可以達(dá)成這步思維，本題思路自然而然就清晰了！

面對(duì)求證“BE∥DF”，想到的是圖中有“F型圖”同位角出現(xiàn)了，或者“U型圖”同旁內(nèi)角出現(xiàn)了，主要看解題者的選擇，相信大部分學(xué)生選擇走“兩直線平行，同位角相等”這條路子，畢竟走同旁內(nèi)角之路，還是要用上同位角與鄰補(bǔ)角打組合拳，顯得有點(diǎn)復(fù)雜化.

實(shí)際教學(xué)中，也是這般操作的，從作業(yè)的情況來(lái)看做對(duì)率89%，還是有點(diǎn)小成就的. 學(xué)海無(wú)涯，教無(wú)止境.臨近下課我拋出一個(gè)問(wèn)題：

按照以往解題習(xí)慣，總愛(ài)問(wèn)問(wèn)自己“本題涉及哪些知識(shí)點(diǎn)與方法點(diǎn)？”、“有沒(méi)有其它的變化呢？”，對(duì)于對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的同學(xué)，課后可以繼續(xù)磨一磨哦！比方說(shuō)，在我過(guò)去的教學(xué)過(guò)程中，我曾經(jīng)出過(guò)一道這樣的題“一組對(duì)角分別是直角的四邊形中，另一組對(duì)角的平分線有何種特殊的位置關(guān)系，寫(xiě)出并證明您認(rèn)為正確的結(jié)論.”，同學(xué)們可以試一試自主搞定！

可喜的是：

第二天竟然有學(xué)生在作業(yè)本上給出了兩種不同類(lèi)型的“變式題”.

有學(xué)生當(dāng)成了作業(yè)1：

在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BE交BC于點(diǎn)F.求證：DF平分∠ADC.

這是一道證明角平分線的幾何題，變式模式是將題給條件中的一個(gè)已知與原題的求證更換，是不是為真，若為真，需要給出詳細(xì)的證明過(guò)程；若不成立，則舉一個(gè)反例即可.

有學(xué)生當(dāng)成了作業(yè)2：

在四邊形ABCD中，∠A=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，DF∥BE.求證：∠C=90°.

更有學(xué)生再變式為：

在四邊形ABCD中，∠A=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，DF∥BE.求證：BC⊥CD.

最終也完成得不錯(cuò)，比起前一部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，多了一步：證明兩條線段相互垂直.在八年級(jí)現(xiàn)階段學(xué)生來(lái)說(shuō)，只能走垂直定義路子，想方設(shè)法證明∠BCD=90°即可.請(qǐng)看：

學(xué)習(xí)主要靠學(xué)生自主，其用意就是發(fā)自內(nèi)心想學(xué)并學(xué)會(huì)學(xué)好.當(dāng)一個(gè)學(xué)生每天晚上在家能夠靜下心來(lái)，將白天課堂上所學(xué)捋清楚，再努力將對(duì)應(yīng)教科書(shū)上的習(xí)題（含教輔書(shū)上對(duì)應(yīng)的習(xí)題）做完，一般情況下，數(shù)學(xué)是不會(huì)難學(xué)的.也就不存在非要找教輔機(jī)構(gòu)去補(bǔ)課.

有了好的學(xué)習(xí)方法，還要有好的習(xí)慣，不必糾結(jié)一天兩天甚至一個(gè)星期有沒(méi)有效果，只有真正掌握透徹，將要點(diǎn)消化儲(chǔ)存在大腦里，將解題書(shū)寫(xiě)過(guò)程常規(guī)化（第一步對(duì)綜性已知進(jìn)行加工，逐層推理，步步有據(jù)，最終達(dá)成目標(biāo)），猶如套路一般搞定，日積月累終贏！