百折千回恒成立 ◆?◆?◆ 文 | 楊春波 恒成立問題是高中數學的重要題型,在高考中常與函數、導數、不等式結合以壓軸題的身份出現,是整個高中教學的重點,也是難點。 已知某含參的函數不等式恒成立,求參數的取值范圍是高中的一類熱點問題,這類問題的處理思路大致有兩種:一種是分離參數,再去求分離后所得不含參函數的最值;另一種是直接去處理這個函數,為了得到含參函數的最值,往往需要對參數進行分類,去討論單調性與最值。 很多問題在兩種思路的處理難度上差別不大——兩種方法均可,但有些問題其中一種思路明顯優(yōu)于另一種思路,甚至只有一種思路可行,這需要大家解題時先觀察判斷,解完題后多思考總結。 筆者近日發(fā)現2016年高考四川卷理科數學第21題是一道不可多得的恒成立問題,值得細細品味。它就像一瓶陳釀老酒,越品越香,越咂味越濃。此題第(Ⅱ)問難度不低,筆者的求解過程也是曲曲折折,反反復復,最終收獲了不少解題感悟,與讀者分享如下。 一 試題呈現 二 分析與解 第(Ⅰ)問較常規(guī),只是求導之后別忘記定義域就好。 下面用“含參分類討論”和“參變量分離”的方法逐一試之。 2.1 直接移項,含參分類討論 于是,必有a>0!但這又該如何處理呢?多項式和指數型混雜在一起的感覺很棘手。 2.2 參變量分離 2.3 逼上梁山 兩次等價轉化均以失敗告終,被逼無奈,只能另謀出路。吸取剛才的教訓:總是因為函數結構過于復雜而草草收場。 每一次求導之后,導函數的符號都不易判定?右側這個函數竟如此詭異,讓人捉摸不透。 2.4 善于聯想 2.5?再次投入分類討論的懷抱 三 解題啟示 以上解題過程百折千回,從中我們至少可以獲得以下啟示: 1 遇到問題,先試常規(guī)思路。如本題面對恒成立問題,先嘗試了兩種等價轉化方法——含參分類討論和參變量分離。如若行不通,則考慮調轉思路。解題要學會變通。 2 與其望題興嘆,不如勇敢嘗試。大多數嘗試都是有價值的,即使失敗的方法也能為我們提供點滴線索。如本題中參變量分離的方法幫我們確定了最終答案的形式,這在最后的分類討論里,指導我們由求解a的取值范圍轉向證明a≥1/2符合題意。明確目標之后,解題會變得順暢。 3 多積累掌握一些經典結論,做題時才能觸發(fā)靈感,廣泛聯系。 4 不等式放縮很靈活,沒有定式、定法,技巧性較強。只有不斷練習,多次嘗試,才能領悟深刻。放縮的方式也并不唯一,有時還可轉向函數視角求最值,從而避免放縮過頭。本題中,當a≥1/2時,我們尋找到了證明F′(x)>0的三種放縮方式,雖然大同小異,但也各有千秋,望讀者細心體會。 5 解題時要瞻前顧后,綜合考慮多種方法。沒有哪種方法是萬能的,是包解百題的。高考壓軸題往往是綜合了多種方法和策略的,切忌過分迷戀一種方法,幻想一招制敵。 |
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