H25.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)（不與O，B重合）。過點(diǎn)P作射線l⊥AB，分別交BC，弧BC于點(diǎn)D，E，在射線l上取點(diǎn)F，使FC=FD。（1）求證：FC是⊙O的切線；（2）當(dāng)點(diǎn)E是弧BC的中點(diǎn)時(shí)，①若∠BAC=60°，判斷以O(shè)，B，E，C為頂點(diǎn)四邊形的形狀，說明理由；②若tan∠ABC=3/4，AB=20，求DE的長。

解讀：

（1）欲證FC是⊙O的切線，只需證∠OCF=90°即可。

為此，連結(jié)OC，由FP⊥AB，得∠B+∠PDB=90°，

由FC=FD，得∠FDC= ∠FCD，

又∠FDC=∠PDB，

得∠B+∠FCD =90°，

由OB=OC，得∠B=∠OCB，

所以∠OCB +∠FCD =90°，

即∠OCF=90°，

所以FC是⊙O的切線；

（2）①連CE，BE，OE，利用垂徑定理和等邊三角形性質(zhì)，

可以證明四邊形OBEC的對角線互相垂直平分，從而判定

四邊形OBEC為菱形。

理由：由點(diǎn)E為弧BC的中點(diǎn)，得OE垂直平分BC，

設(shè)垂足為點(diǎn)G，

由OC=OB，得OE平分∠COB，

由當(dāng)A=60°時(shí)，得∠COB=120°，

所以∠COE=60°，且OC=OE

因而等邊△OCE，

所以BC垂直平分OE，

即四邊形OBEC為菱形；

②在Rt△OBG中，

OB=10，tan∠ABC=3/4

設(shè)OG=3k，BG=4k，

則OB=5k=10，k=2，

所以O(shè)G=6，BG=8，EG=4，

在Rt△DEG中，EG=4

tan∠GED= tan∠ABC=3/4

設(shè)DG=3m，GE=4m=4，

則m=1,DE=5m=5。

綜述：

1.切線的判定，判定定理（找直角）是首選。

2.菱形的判定，方法很多，此處用對角線互相垂直平分較合適。

3.求線段長。在直角三角形中，利用角等，三角函數(shù)值等作轉(zhuǎn)換。

4.本題過程比較繁瑣，能發(fā)現(xiàn)的等角，相似，垂直眾多，作出合適的選擇很考驗(yàn)基本功。