早期的各種歷法嘗試,為隋唐天文學(xué)步入鼎盛時期創(chuàng)造了條件。北齊天文學(xué)家張子信避居海島三十年,觀測證明了太陽周年視運動的不均勻性,從而徹底推翻了關(guān)于太陽每日在黃道上的行移度數(shù)相等的傳統(tǒng)認(rèn)識。這使人想到,比他稍早了解這一點的戴法興,他的說法或許并非學(xué)無師承。張子信還研究了日、月、五星運動速度變化的規(guī)律和計算問題,這些工作后來被劉孝孫、劉焯、張胄玄、僧行等人所繼承,使隋唐歷法得到了全面的進步。

隋初實行《開皇歷》,它是隋文帝寵臣張賓根據(jù)何承天的《元嘉歷》微加增損而成的,明顯落后于當(dāng)時的天文學(xué)水平。劉孝孫、劉焯批駁張賓歷法粗疏錯訛,不懂歲差和定朔計算,但卻遭到誣陷,直至被斥罷官。開皇十四年(594年),大臣楊素等人奏稱《開皇歷》所算日食不合,并向楊堅推薦張胄玄修制新歷,三年之后,張胄玄將新歷獻(xiàn)給文帝,隨后下詔頒行。張胄玄巧言令色,深得楊堅的完信。

當(dāng)時,劉焯罷官后閑居家中,以教書著述為業(yè),于隋文帝仁壽四年(604年)寫成《歷書》十卷,這就是歷史上著名的《皇極歷》?！痘蕵O歷》由于所用之法與張胄玄新歷頗相乖爽,因而遭到張胄玄及太史令袁充的極力排斥,使這部優(yōu)秀歷法終于未能施行。劉焯曾反唇相譏,直言張冑玄新歷實為劉孝孫所作,這個內(nèi)幕的真象當(dāng)然已不能詳知,但是應(yīng)該承認(rèn)的是,二人的新歷都或多或少地接受了劉孝孫歷法中的合理成分。不過,張胄玄新歷以冬至點起于虛宿五度,稍后他自己也覺得過于粗疏,于是等到劉焯去世后又重新做了修訂,并以《大業(yè)歷》的形式于開皇十七年(597年)頒行,一直使用到隋代滅亡。

張胄玄初學(xué)祖沖之的方法,又受到張子信學(xué)說的很大影響?！洞髽I(yè)歷》考慮到張子信關(guān)于行星運動不均勻性的發(fā)現(xiàn),利用等差級數(shù)求和的方法編制了一個會合周期中的行星位置表,大大提高了行星運行的計算精度。他不牽強附會于數(shù)字而是根據(jù)五星運動的真實狀況調(diào)整制定歷法,這使《大業(yè)歷》所推的五星會合周期的精度冠列各歷之首?！洞髽I(yè)歷》還考慮了月球視差對交食的影響,創(chuàng)立了月球在黃道南、北,離黃白交點度數(shù)等決定發(fā)生交食與否的判別方法,討論了日食食分隨太陽位置的變化等改正,這些都構(gòu)成了《大業(yè)歷》不同于以前歷法的重要特點。

《皇極歷》的革新也是多方面的,其中最主要的是為解決日、月不均勻運動問題而創(chuàng)立了等間距二次差內(nèi)插法公式,用以推算日食所在位置、交食的終始時刻、食分大小等,并首創(chuàng)躔衰盈縮的計算方法,由此得出定朔和定氣的改正數(shù)同時又首次提出視差對日食的影響以及求改正數(shù),均為后世所師法。

我們知道,由于各種原因,月亮每月的實際行度是不同的,用月亮的這個實際運動來修正根據(jù)月亮的平均運動所算出的朔、望時刻(即平朔、平望),其修正結(jié)果就是定朔、定望。早在東漢未年,劉洪在《乾象歷》中計算交食時已經(jīng)引進了定朔和定望,但安排歷日仍然恪守平朔、平望。南朝年邁的何承天曾想改變這種情況,然而提議一出,反對之聲四起,他也只好撤回了定朔主張?，F(xiàn)在的情況與以前又有不同,由于張子信太陽運動不均勻性的認(rèn)識和劉焯等間距二次差內(nèi)插法公式的發(fā)明,使定朔、交食和五星運動的計算精度都已大為提高。

使用定朔編排歷譜會出現(xiàn)一種令古人十分尷尬的情況。由于定朔的長度不同使歷月的安排有可能出現(xiàn)連續(xù)三個甚至更多的大月和小月,這顯然違反了古人固守的相間安排大小月,最多有兩個連大月的習(xí)慣。何承天為此放棄了定朔改革唐初道士傅仁均的《戊寅元歷》(武德二年,619年)開始用定朔排歷,但貞觀十九年九月后的四個連大月,則使歷家議論紛紛,最后也不得不迎合世俗,重新恢復(fù)使用平朔。

猶豫多年的定朔法終于被李淳風(fēng)固定了下來,唐麟德二年(665年),他以《皇極歷》為基礎(chǔ)編定《麟德歷》,并得以頒行。《麟德歷》正式使用定朔編排歷譜不過李淳風(fēng)在對待連大月過多的問題上聰明地要了一個花招,從而既保證了定朔法的繼續(xù)使用,又不致使那些定朔法的反對者感到新術(shù)與舊制格格不入。李淳風(fēng)為避免《麟德歷》出現(xiàn)四個大月或三個小月相連的特殊現(xiàn)象,或者把朔日下推日,使第三個小月變成大月;或者上退一日,使第四個大月変成小月。他把這種方法另立新名叫作'進朔',不過連他自己恐怕也沒有想到,這套遷就的方法竟使用了長達(dá)六百年之久,直到元郭守敬制定《授時歷》時才被徹底革除。劉焯創(chuàng)立的定氣法在唐僧一行的《大衍歷》中得到了發(fā)展。一行本名張遂出家之前就已是一位知名的學(xué)者。

開元九年(721年),由于《麟徳歷》屢次出現(xiàn)日食預(yù)報的失敗,唐玄宗于是詔僧一行撰作新歷。為此他花了六年時間實測編算待新歷草成,他竟與世長辭了。《大衍歷》采用平氣注歷,而用定氣計算太陽的視運動,實際因襲了《皇極歷》的舊法。僧一行又在《皇極歷》的基礎(chǔ)上發(fā)明了不等間距二次差內(nèi)插法計算公式,因為他正確地認(rèn)識到,太陽運行速度以冬至最快,夏至最慢,這顯然糾正了劉婥的錯誤。他在交食預(yù)報中又考慮了視差的影響,并創(chuàng)立了一套計算方法?！洞笱軞v》中這些優(yōu)良的部分對后來天文學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了積極的影響。

《大衍歷》幾乎遭到了與《大業(yè)歷》同樣的指責(zé),有人說它抄自印度的《九執(zhí)歷》,這一點當(dāng)然很難斷定。從時間上看,《九執(zhí)歷》于公元718年已由唐代天文學(xué)家瞿曇悉達(dá)介紹到了中國,而提出質(zhì)疑的竟是這位天文家的兒子瞿曇譔另一位則是編修《大衍歷》的參預(yù)者陳玄景。不過在比較了《大衍歷》、《麟德歷》和《九執(zhí)歷》之后人們確認(rèn),《大衍歷》應(yīng)是最為準(zhǔn)確的。然而這一切并不意味著《大衍歷》就完美無缺,事實上,僧一行在掩蓋某些缺陷時做得非常巧妙。他曾用這個歷法推算開元十二年(724年)七月朔及次年十二月朔應(yīng)該發(fā)生日食,但最后都未能觀測到,這可能是由于《大衍歷》過分地以它的數(shù)據(jù)附會《易經(jīng)》象數(shù)而影響了天文數(shù)據(jù)的精確性,但僧一行卻說,那是唐玄宗的德行感動了上天的緣故。

值得注意的是,定氣法自劉焯的《皇極歷》以后雖然逐漸被用來推算交食,但直至清《時憲歷》為止,中國人卻始終沒有用它來注歷,甚至《時憲歷》用以排歷的定氣,也是完全移用西方天文學(xué)的數(shù)值,毫無中國的傳統(tǒng),這一點似乎很難理解。

唐代歷法的改革更為大膽,《戌寅元歷》廢除間周;《麟德歷》廢除章蔀紀(jì)元的古法;徐昴的《宣明歷》求近點月和交點月數(shù)值精密,并在日食計算方面創(chuàng)立時差、氣差、刻差三項改正法,十分優(yōu)秀;曹士《符天歷》雖行于民間,但不用上元積年,已開后代歷法之先河。曹氏的改革在后晉馬重績的《調(diào)元歷》中曾經(jīng)一度被繼承了下來,但沒有成功,直到元《授時歷》オ最終完成。