 解方程組的時(shí)候發(fā)生了什么？ ----淺談高斯消元法的幾何意義 解方程組作為經(jīng)典的代數(shù)問(wèn)題，經(jīng)常與幾何聯(lián)系起來(lái)， 例如兩直線相交于一點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)二元一次方程組的一個(gè)解。 在線性代數(shù)（Linear Algebra）中，高斯消元法(Gauss Elimination)是解方程組的一種方法，利用了方程組的三種初等變換： T1：交換兩個(gè)方程的位置 T2：方程兩邊同乘以不為零的一個(gè)系數(shù) T3：將某一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上 利用高斯消元法解方程組已經(jīng)是老生常談，但是，在對(duì)方程組進(jìn)行初等變換的時(shí)候，是否有人考慮過(guò)它們的幾何意義呢？ 來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子  兩條直線AB,CD相交于E點(diǎn)，點(diǎn)的位置看得很清楚。 這兩條直線對(duì)應(yīng)的方程組是  解這個(gè)方程組的過(guò)程倒很簡(jiǎn)單， 直接把2式乘三(Gauss Elimination的T2)， 再加上1式(Gauss Elimination的T3)， 化簡(jiǎn)后(Gauss Elimination的T1、T2)得到  解得x=0.4, y=2.4 答案自然不必多說(shuō)。但是我們的關(guān)注的重點(diǎn)并不是這個(gè)方程組，而是它對(duì)應(yīng)的幾何意義。 仔細(xì)分析過(guò)程， 我們把2式乘上三(Gauss Elimination的T2)，對(duì)應(yīng)的圖像并沒(méi)有發(fā)生變化。 但是在加上1式之后(Gauss Elimination的T3)，圖像突然改變了，直線CD猝不及防地變成了垂直于y軸的直線… …就像這樣  What happened？？？  Gauss Elimination的T3： “將某一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上”， 似乎讓整個(gè)方程組的圖像發(fā)生了本質(zhì)的改變?。。?/strong> 直接觀察直線似乎不能得出什么結(jié)論，考慮到消元法這個(gè)過(guò)程改變了未知量前的系數(shù)。 我們不妨從系數(shù)的角度來(lái)思考。 眾所周知，對(duì)于形如ax+by=c的直線，其系數(shù)a,b具有實(shí)際性的意義。容易得到（a,b）就是這條直線的法向量坐標(biāo)，法向量即垂直于這條直線的向量。我們把它畫下來(lái)：  向量FG和FH分別是兩條直線的法向量， 其方向由x,y前的系數(shù)決定。 顯然考慮消元法過(guò)程的本質(zhì)，在這個(gè)例子中，就是將本來(lái)均不為零的x,y前的系數(shù)之一變成零。 在畫出法向量的前提下重復(fù)一次消元，看結(jié)果如何 我們首先把2式乘三(Gauss Elimination的T2)，其法向量也隨之變長(zhǎng)。這一步不難理解：   進(jìn)行下一步， 情況出現(xiàn)了戲劇性的轉(zhuǎn)變——把兩個(gè)式子相加 (Gauss Elimination的T3)， 等式左邊未知量對(duì)應(yīng)的系數(shù)加起來(lái)了   表現(xiàn)在向量上，就是兩個(gè)直線的法向量的坐標(biāo)之和。 因此，這一步用法向量表示的話，就是兩個(gè)法向量相加： 相加的結(jié)果是一個(gè)新的法向量FK，其坐標(biāo)為（0，-5）, 對(duì)應(yīng)于新方程組中的第二個(gè)等式。 易知這個(gè)法向量對(duì)應(yīng)的直線是平行于x軸的， 解方程得到其具體位置， 圖中已用紅色標(biāo)記了相加所得法向量及其對(duì)應(yīng)直線， 結(jié)果是直線恰好過(guò)原方程組兩直線的交點(diǎn)E， 這是巧合嗎？ 所有人都會(huì)理所當(dāng)然的回答“不是” 但是似乎很少會(huì)有人想，為什么？ 這的確不是巧合，具體我們之后再說(shuō)， 現(xiàn)在回到解方程的過(guò)程中： 我們換個(gè)角度，消去y，再看圖像： 2式乘二(Gauss Elimination的T2)，即將向量FH延長(zhǎng)一倍： 然后將向量FG減去向量FH，得到向量HG， 其對(duì)應(yīng)直線用藍(lán)色標(biāo)記： 可以看到，向量HG平行于x軸，對(duì)應(yīng)直線依然經(jīng)過(guò)交點(diǎn)E 顯然，兩次消元的結(jié)果都是 將原方程對(duì)應(yīng)直線的法向量轉(zhuǎn)化成了平行于坐標(biāo)軸的法向量 其對(duì)應(yīng)直線正好經(jīng)過(guò)兩直線的交點(diǎn)。 為什么法向量直接簡(jiǎn)單的加減就可以使結(jié)果法向量平行于坐標(biāo)軸呢？ 這就依賴于第一步對(duì)方程兩邊同時(shí)乘上的系數(shù)了。 不難發(fā)現(xiàn)， 通過(guò)乘上系數(shù)(Gauss Elimination的T2)使得兩個(gè)直線法向量的x或者y方向的分量相等或者相反，再利用高斯消元法的第三條(Gauss Elimination的T3)，我們就能輕易地得到一個(gè)平行于坐標(biāo)軸的法向量，這就是消元過(guò)程中發(fā)生的事。 利用未知量的系數(shù)與直線法向量坐標(biāo)的關(guān)系，消元過(guò)程就可以用圖像來(lái)一步步表示了。 值得注意的是， 在解方程的過(guò)程中，我們把兩個(gè)基本沒(méi)什么關(guān)系的法向量給撮合成了互相垂直的向量。 實(shí)際上，不僅僅是二元一次方程組，即使是在三元甚至四元，也就是對(duì)應(yīng)三維四維的空間中，通過(guò)某種操作，我們?nèi)匀豢梢园褞讉€(gè)隨意給出的線性無(wú)關(guān)的向量最終轉(zhuǎn)化為互相垂直的向量。 這種操作不僅有， 我們還給它起了名字 ——“施密特正交規(guī)范化操作”（咳咳，是方法）， 這個(gè)我們以后會(huì)深入學(xué)習(xí)，此處只是粗略提及，不作贅述 那么，該討論的最后一個(gè)問(wèn)題，就是我們的“理所當(dāng)然” 為什么，消元過(guò)程得到的法向量所對(duì)應(yīng)的直線， 恰好經(jīng)過(guò)原方程組對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)？ 因?yàn)橐恍┪覀兪煲暉o(wú)睹的東西——初等變換不改變方程組的解 這似乎值得推敲，又像是一句廢話， 而我們要在這里好好說(shuō)上一說(shuō) 高斯消元法依賴的初等變換，改變的方程的形式，卻沒(méi)有改變方程的解，又是怎么回事呢？ 稍稍一想，就能明白： 第一種變換——改變方程順序——自然不會(huì)影響方程的解 第二種變換對(duì)方程兩邊乘上的非零系數(shù)，自然可以同時(shí)消去，方程本身并無(wú)變化 第三種變換則值得品味——兩個(gè)方程相加為什么沒(méi)有改變?cè)瓉?lái)的解呢？ 看起來(lái)方程的形式發(fā)生了非常大的變化， 甚至?xí)?dǎo)致某一個(gè)未知量的消失（即消元過(guò)程）。 如圖： 我們可以把得到的方程寫成這樣： 自然地看出來(lái)，原方程組的解一定適用于這個(gè)方程（這就是那個(gè)為什么的答案），但是這個(gè)方程還可能有其他的解，所以我們往往把它和某一個(gè)原方程聯(lián)立求解。 綜上所述， 利用了方程組的初等變換的高斯消元法， 其幾何意義可以從直線的法向量的角度思考。 其實(shí)不僅僅是法向量，直線的方向向量也可以。 因?yàn)椋╝,b）為法向量的直線， 其方向向量可以寫成（-b,a）， 也是和未知量系數(shù)直接相關(guān)的， 不過(guò)稍顯復(fù)雜，不多說(shuō)。 供稿：北京理工大學(xué) 李修遠(yuǎn) （原創(chuàng)） 編輯：北京理工大學(xué) 楊玲 走過(guò)路過(guò)，不要錯(cuò)過(guò)這個(gè)公眾號(hào)哦！ |
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來(lái)自： 火樹(shù)銀花5 > 《教育 思考》
