阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線(xiàn)論》確實(shí)可以看成是古希臘幾何的登峰造極之作！————

克萊因《古今數(shù)學(xué)思想》

前言

古希臘數(shù)學(xué)的黃金時(shí)代曾誕生了著名的“古希臘數(shù)學(xué)三杰”，其中的歐幾里得和阿基米德都是我們比較熟悉的數(shù)學(xué)家，而大多數(shù)人卻都對(duì)其中最后一名數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯比較陌生。但出人意料的是，盡管阿基米德是公認(rèn)的古希臘最杰出的數(shù)學(xué)家，但真正能代表古希臘幾何學(xué)最高成就的著作恰恰來(lái)自這位我們不太熟悉的數(shù)學(xué)家。阿波羅尼奧斯的杰出成就在于他系統(tǒng)地建立和發(fā)展了古典的圓錐曲線(xiàn)論，而后完成了集大成之作《圓錐曲線(xiàn)論》。這聽(tīng)起來(lái)似乎像是天方夜譚，圓錐曲線(xiàn)居然是兩千多年前就已經(jīng)出現(xiàn)的？！

圓錐曲線(xiàn)論在我國(guó)是高中數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容之一，它往往讓不太擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)的學(xué)生感到非常頭痛。由于其復(fù)雜性，圓錐曲線(xiàn)論比歐式幾何難學(xué)，但事實(shí)上，它們卻是差不多同一時(shí)代的產(chǎn)物。課本給我們的錯(cuò)覺(jué)是圓錐曲線(xiàn)論應(yīng)該是是笛卡爾時(shí)代的數(shù)學(xué)，但它確確實(shí)實(shí)來(lái)自公元前的古希臘。

阿波羅尼奧斯

阿波羅尼奧斯(Apollonius)出生于小亞細(xì)亞地區(qū)的佩加(Perga，今屬土耳其)，因此他常常也被稱(chēng)為Apollonius of Perga，阿波羅尼奧斯的生卒年不詳，大約生活在公元前三世紀(jì)中后期。他的青年時(shí)期是在當(dāng)時(shí)的“智慧之都”亞歷山大城（今埃及的亞歷山大港）度過(guò)的，做為強(qiáng)盛的托勒密王朝的首都，亞歷山大城是當(dāng)時(shí)的地中海地區(qū)的政治和經(jīng)濟(jì)文化中心，也是數(shù)學(xué)發(fā)達(dá)之地。阿波羅尼奧斯在這里跟隨歐幾里得的后繼者們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在托勒密四世時(shí)期(前221~前205)，阿波羅尼奧斯已經(jīng)頗具名氣。

后來(lái)他又前往帕加馬（Pergamum）王國(guó)，并受到國(guó)王阿塔羅斯一世的賞識(shí)，后來(lái)阿波羅尼奧斯所完成的巨著《圓錐曲線(xiàn)論》中的后5卷名義上都是獻(xiàn)給這位國(guó)王的。除此之外，阿波羅尼奧斯的其他生平事跡都沒(méi)有文獻(xiàn)記載過(guò)，因此他的事跡并不廣為人知，這也是他在后世名氣不如歐幾里得和阿基米德的原因之一。

事實(shí)上，在阿波羅尼奧斯之前，就有數(shù)學(xué)家考慮過(guò)圓錐曲線(xiàn)，例如梅內(nèi)克繆斯和著名的阿基米德，但由于沒(méi)有找到合適而統(tǒng)一的數(shù)學(xué)描述方法，他們都沒(méi)有將研究推進(jìn)下去。而阿波羅尼奧斯的創(chuàng)舉正在與他找到了圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一描述方式，也就是用不同的平面去橫截兩個(gè)對(duì)頂?shù)膱A錐，從而得到不同的圓錐曲線(xiàn)，也就是橢圓，拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)(阿波羅尼奧斯是第一個(gè)意識(shí)到雙曲線(xiàn)有兩個(gè)分支的數(shù)學(xué)家)。通過(guò)這樣的方法，他成功地系統(tǒng)討論了關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)，而后將這些結(jié)果全部總結(jié)進(jìn)了《圓錐曲線(xiàn)論》一書(shū)中。

做為歐幾里得的“門(mén)徒”，阿波羅尼奧斯充分繼承了歐幾里得的數(shù)學(xué)精神，這完全提現(xiàn)在了《圓錐曲線(xiàn)論》一書(shū)的寫(xiě)作方法上?！秷A錐曲線(xiàn)論》和《幾何原本》一樣，也是通過(guò)盡可能少的定義和公理，進(jìn)而推導(dǎo)出整個(gè)理論體系。但也必須指出，阿波羅尼奧斯在寫(xiě)作此書(shū)時(shí)，借鑒和使用了一些前人的結(jié)果，例如《幾何原本》和阿基米德著作中的成果。他在引用這些結(jié)果時(shí)，常常不進(jìn)行證明，而且也不說(shuō)明出自哪里，這樣的做法受到了不少后世學(xué)者的非議，甚至有人極端地認(rèn)為阿波羅尼奧斯是在“厚顏無(wú)恥”地占據(jù)前輩的成就。但縱觀全書(shū)我們可以發(fā)現(xiàn)，《圓錐曲線(xiàn)論》是一本具有高度原創(chuàng)性質(zhì)的著作，它所代表的數(shù)學(xué)思想幾乎已經(jīng)超越了所有的前輩，由此看來(lái)，阿波羅尼奧斯確實(shí)犯不著去“占據(jù)”前輩的成就。

《圓錐曲線(xiàn)論》

《圓錐曲線(xiàn)論》全書(shū)分為八卷，共有487個(gè)命題，但非常遺憾的是，只有前七卷流傳至今，這七卷的主要內(nèi)容為：

第一卷描述了如何利用平面截對(duì)頂圓錐獲得圓錐曲線(xiàn)，進(jìn)而討論了諸如弦，(共軛)直徑，切線(xiàn)等的定義和基本性質(zhì)。特別要說(shuō)明的是，阿波羅尼奧斯的描述方法完全是幾何的，當(dāng)時(shí)并沒(méi)有坐標(biāo)這種概念。

第二卷討論了圓錐曲線(xiàn)直徑和軸的求法以及雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的作法與性質(zhì)。

第三卷討論了切線(xiàn)與軸所圍成的面積以及圓錐曲線(xiàn)焦點(diǎn)的性質(zhì)。

第四卷討論了極點(diǎn)和極線(xiàn)的性質(zhì)以及不同的圓錐曲線(xiàn)相交的情況，特別地，阿波羅尼奧斯證明了兩條不同的圓錐曲線(xiàn)至多只有四個(gè)交點(diǎn)。

第五卷討論了定點(diǎn)到圓錐曲線(xiàn)的最短和最長(zhǎng)線(xiàn)段，此卷也成為了全書(shū)最具創(chuàng)造性的一卷。

第六卷討論了圓錐曲線(xiàn)的全等和相似。

第七卷討論了具有中心的圓錐曲線(xiàn)的共軛直徑的性質(zhì)。

可以看出，《圓錐曲線(xiàn)論》的內(nèi)容確實(shí)博大精深，所包含的知識(shí)遠(yuǎn)比我們?cè)诟咧袝r(shí)所接觸的豐富，其中一些還是大學(xué)解析幾何的內(nèi)容。正如我們前面所說(shuō)，《圓錐曲線(xiàn)論》定義圓錐曲線(xiàn)所采用的是純幾何的截面方法，但在阿波羅尼奧斯之前，已經(jīng)產(chǎn)生了利用焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)定義圓錐曲線(xiàn)的方法：

圓錐曲線(xiàn)是平面內(nèi)到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）和到定直線(xiàn)（準(zhǔn)線(xiàn)）的距離之比為常數(shù)（離心率）的點(diǎn)的軌跡，這也就是我們所說(shuō)的圓錐曲線(xiàn)的第二定義。

關(guān)于第二定義這一知識(shí)至遲已被歐幾里得所知，但限于時(shí)代的局限，沒(méi)有人可以通過(guò)第二定義推導(dǎo)出圓錐曲線(xiàn)的系統(tǒng)理論，這也正是為什么阿波羅尼奧斯要采用截面的原因。

看到這里，可能大家都有一個(gè)疑問(wèn)，既然阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線(xiàn)論》代表了古希臘幾何的最高成就，為什么它的知名度卻遠(yuǎn)不如歐幾里得的《幾何原本》呢？其中的原因可能在于：

在阿波羅尼奧斯之后，古希臘數(shù)學(xué)迅速走向衰落，沒(méi)有再出現(xiàn)偉大的幾何學(xué)家，也就無(wú)人可以充分理解《圓錐曲線(xiàn)論》的光輝數(shù)學(xué)思想。不久之后，羅馬人攻陷希臘本土，焚毀了當(dāng)時(shí)規(guī)模最大藏書(shū)最豐富的亞歷山大圖書(shū)館，然后以嚴(yán)酷的宗教思想禁錮人們的科學(xué)思維，這使得《圓錐曲線(xiàn)論》并沒(méi)有得到充分的傳播和研究。

由于《圓錐曲線(xiàn)論》思想過(guò)于超前，這使得它在自誕生之后的一千多年里基本沒(méi)有得到實(shí)際應(yīng)用，這與《幾何原本》是很不同的。直到伽利略和開(kāi)普勒在天文學(xué)和力學(xué)的研究中使用圓錐曲線(xiàn)以后，它的真正作用才開(kāi)始顯露出來(lái)。如果問(wèn)為什么數(shù)學(xué)往往是超越時(shí)代的，那么《圓錐曲線(xiàn)論》可以給出一個(gè)完美的解釋。

重生

對(duì)于推動(dòng)幾何學(xué)的發(fā)展而言，《圓錐曲線(xiàn)論》可謂功不可沒(méi)，它的作用絕不亞于《幾何原本》。歐洲大陸在經(jīng)歷漫長(zhǎng)的中世紀(jì)黑暗之后，又興起了研讀古希臘經(jīng)典文獻(xiàn)的熱潮，但當(dāng)他們拿起《圓錐曲線(xiàn)論》之后，卻陷入尷尬境地之中，阿波羅尼奧斯已經(jīng)極盡了研究圓錐曲線(xiàn)的幾何方法，以至于后來(lái)者完全無(wú)法插足其中。

而且隨著代數(shù)學(xué)的興起，幾乎毫無(wú)發(fā)展的幾何學(xué)頗有“夕陽(yáng)西下”之勢(shì)，這一局面在射影幾何誕生之后才有所改觀。射影幾何用更加先進(jìn)的幾何思想來(lái)審視幾何對(duì)象之間的關(guān)系，也就重新解釋并升華了《圓錐曲線(xiàn)論》的內(nèi)容和思想。完成這一創(chuàng)舉的數(shù)學(xué)家包括有我們比較熟悉的德薩格和帕斯卡等人，特別地，帕斯卡證明了著名的“帕斯卡六邊形定理”：

對(duì)于內(nèi)接于圓錐曲線(xiàn)的六邊形，它的三對(duì)對(duì)邊的延長(zhǎng)線(xiàn)相交所產(chǎn)生的三個(gè)點(diǎn)共線(xiàn)。

這樣的命題顯然是阿波羅尼奧斯無(wú)法證明的。

但就如今的觀點(diǎn)來(lái)看，射影幾何卻已經(jīng)是歷史上純幾何發(fā)展道路上最后的高潮。直到笛卡爾和費(fèi)馬時(shí)代，《圓錐曲線(xiàn)論》仍然是幾何學(xué)家手中最重要的資料。對(duì)于解析幾何的創(chuàng)立而言，《圓錐曲線(xiàn)論》這本將近兩千年前的著作同樣也是首屈一指的功臣，實(shí)際上，費(fèi)馬最早就是在研讀這本著作的過(guò)程中逐漸產(chǎn)生了解析幾何的數(shù)學(xué)思想。在這里，我們也要多說(shuō)一句，《圓錐曲線(xiàn)論》中事實(shí)上已經(jīng)包含了原始的坐標(biāo)思想，但在復(fù)雜的純幾何觀點(diǎn)下，它始終是無(wú)法發(fā)展起來(lái)的。

自解析幾何創(chuàng)立之后，圓錐曲線(xiàn)的研究范圍被大大擴(kuò)展，例如它的理論已經(jīng)被推廣到曲面中去，包括橢球面，雙曲面，橢圓拋物面等等。隨著微積分的橫空出世，微分幾何開(kāi)始興起，研究圓錐曲線(xiàn)變得更加簡(jiǎn)單，自此之后，純幾何愈發(fā)式微，如今已經(jīng)只能懷念了。

圓錐曲線(xiàn)的重要性如今已不言而喻，小到微觀，大至宇宙，它無(wú)處不在，例如地球的軌道十分接近橢圓，而太陽(yáng)正位于其中一個(gè)焦點(diǎn)。在實(shí)際生產(chǎn)生活中，圓錐曲線(xiàn)也發(fā)現(xiàn)著巨大的作用，例如雷達(dá)接受器等都要做成橢圓拋物面的形狀，這正是因?yàn)橐粋€(gè)良好的性質(zhì)：

平行于軸的光線(xiàn)經(jīng)橢圓拋物面的反射之后，都會(huì)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)。

實(shí)際上，利用這個(gè)原理，類(lèi)似于聚光燈這樣的東西也都會(huì)做成橢圓拋物面。除此之外，圓錐曲線(xiàn)還有眾多良好的性質(zhì)為我們所用。

凡此種種都印證了圓錐曲線(xiàn)的重要性，因此在兩千多年后的今天，我們都不應(yīng)該忘記阿波羅尼奧斯的這本古希臘幾何的巔峰之作——《圓錐曲線(xiàn)論》！