本文是連載中的課程《多變量微積分》中的一課，歡迎同學(xué)訂閱。

多變量函數(shù)的極限是單變量函數(shù)極限的擴(kuò)展，讓我們從數(shù)列極限的直觀開(kāi)始學(xué)習(xí)。

在古希臘的時(shí)候，人們就知道可以用等邊多邊形的面積來(lái)逼近圓形的面積：

假設(shè)用  來(lái)表示內(nèi)接等邊  邊形的面積，那么可以用一個(gè)數(shù)列來(lái)描述這個(gè)逼近過(guò)程：

這個(gè)數(shù)列的極限就是圓形的面積：

可以通過(guò)直角坐標(biāo)系中的圖像來(lái)展示該數(shù)列極限，可以看到隨著  的增加，數(shù)列越來(lái)越逼近圓形的面積：

2.1 單變量函數(shù)的極限

對(duì)于更一般的單變量函數(shù)的極限（數(shù)列可以看作是定義域?yàn)樽匀粩?shù)的函數(shù)）：

如果  看作，在  的去心鄰域內(nèi)，從左側(cè)或右側(cè)逼近  的點(diǎn)：

那么極限  可以解讀為，當(dāng)  沿著上述的點(diǎn)逼近  時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值  也不斷逼近  ：

2.2 多變量函數(shù)的極限

這種觀點(diǎn)是可以推廣到多變量函數(shù)的極限上去的，比如二元函數(shù)的極限：

其中的  可以看作，在  的去心鄰域內(nèi)，從四面八方逼近  的點(diǎn)列：

那么二元函數(shù)的極限就是，當(dāng)  沿著上述的點(diǎn)列逼近  時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值  也不斷逼近  （下圖如果把  畫(huà)出來(lái)就太亂了，不過(guò)還是可以看出，沿著這些點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都逼近于同一個(gè)值）：

3 一元函數(shù)極限的定義

雖然直觀看上去極限并不難理解，但由于數(shù)學(xué)上的原因（這在課程《單變量微積分》中解釋過(guò)了，這里不再贅述），一元函數(shù)極限的嚴(yán)格定義并不簡(jiǎn)單。

3.1 一元函數(shù)極限的嚴(yán)格定義

設(shè)函數(shù)  在  上有定義。如果存在常數(shù)  ，對(duì)任意給定的正數(shù)  ，總存在正數(shù)  ，使得當(dāng)  滿足不等式時(shí)（也就是  屬于  的去心鄰域）：

對(duì)應(yīng)的函數(shù)值  都滿足不等式：

那么常數(shù)  就叫做函數(shù)  當(dāng)  的極限，記作：

這個(gè)定義在這里簡(jiǎn)單解釋一下，如果函數(shù)  在  點(diǎn)的極限為  ：

那么以  為中心，  為半徑構(gòu)建一個(gè)區(qū)間 （下圖用矩形來(lái)表示該區(qū)間），必能找到某正數(shù)  ，使得去心鄰域  內(nèi)的函數(shù)值都在該區(qū)間內(nèi)（藍(lán)色表示區(qū)間內(nèi)的函數(shù)曲線，紅色表示區(qū)間外的函數(shù)曲線）：

并且不論  如何縮小，總能找到新的正數(shù)  ，使得去心鄰域  內(nèi)的函數(shù)值都在該區(qū)間內(nèi)（下面動(dòng)畫(huà)展現(xiàn)了先縮小  ，然后尋找  這個(gè)過(guò)程）：

如果滿足上面所說(shuō)的，那么有：

3.2 回歸直觀

如果把每次找到的  的邊界點(diǎn)保留下來(lái)：

沿著這些點(diǎn)列靠近  ，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就會(huì)不斷逼近  ，這又回到了之前我們對(duì)極限的直觀上了：

4 聚點(diǎn)

二元函數(shù)的極限定義和一元函數(shù)類似，只是由于二元函數(shù)的鄰域更復(fù)雜，所以需要引入聚點(diǎn)的概念：

如果對(duì)于任意給定的  ，點(diǎn)  的去心鄰域  內(nèi)總有平面點(diǎn)集  中的點(diǎn)，那么稱點(diǎn)  為  的 聚點(diǎn) 。

比如下面的點(diǎn)  就是一個(gè)聚點(diǎn)，隨便怎么縮小它的去心領(lǐng)域的半徑，去心鄰域內(nèi)總有平面點(diǎn)集  中的點(diǎn)：

定義聚點(diǎn)是為了保證，從  的某去心鄰域內(nèi)的某一點(diǎn)  出發(fā)，至少能找到一串完全在  中的點(diǎn)來(lái)靠近  ：

也就是說(shuō)，聚點(diǎn)保證了下面這個(gè)極限過(guò)程是可行的、是存在的：

弄清楚聚點(diǎn)之后，下面可以給出二元函數(shù)極限的定義了：

設(shè)二元函數(shù)  的定義域?yàn)?/span>  ，  是  的聚點(diǎn)。如果存在常數(shù)  ，對(duì)于任意給定的正數(shù)  ，總存在正數(shù)  ，使得當(dāng)點(diǎn)  滿足下列條件時(shí)：

都有：

成立，那么就稱常數(shù)  為函數(shù)  當(dāng)  時(shí)的極限，記作：

因?yàn)檫@是二元函數(shù)的極限，所以也稱作 二重極限 。

5.1 與一元函數(shù)極限的區(qū)別

二重極限和一元函數(shù)極限定義相比，最大的區(qū)別在于：

在一元函數(shù)中，函數(shù)的定義域和去心鄰域合二為一。而在二元函數(shù)中，函數(shù)的定義域  和去心鄰域  不一定重合，相交部分才是我們關(guān)心的：

并且  是  的聚點(diǎn)，這樣可以保證無(wú)論  多小，去心鄰域和定義域  總是有相交部分的（當(dāng)然也保證了能有一串靠近  的點(diǎn)列）：

剩下的部分就和一元函數(shù)極限的定義差不多了。

5.2 二重極限定義的幾何意義

假設(shè)二元函數(shù)  在  有極限  ：

那么以  為中心，  為半徑構(gòu)建一個(gè)區(qū)間  ，必能找到某正數(shù)  ，使得符合下面條件的點(diǎn)：

對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都在該區(qū)間內(nèi)：

當(dāng)然，同一元函數(shù)的極限相同，隨著  的縮小，始終能夠找到合適的  ，使得對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都在  規(guī)定的區(qū)間內(nèi)。并且這個(gè)過(guò)程意味著可以找到一串不斷逼近  的點(diǎn)列，沿著這串點(diǎn)列，函數(shù)值不斷逼近  ，最終可以得到：