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任小平，任教于四川省西充中學(xué)，中學(xué)高級(jí)教師，特級(jí)教師，四川省骨干教師、優(yōu)秀班主任，南充市模范班主任，多次榮獲高考數(shù)學(xué)科一等獎(jiǎng)。 對(duì)于抽象函數(shù)及其函數(shù)方程問題的解答， 其關(guān)鍵在于捕捉題目的信息特征， 發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口，尋求合理、簡潔的解題方法，達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的。抽象函數(shù)及其函數(shù)方程問題越來越多地受到命題者的青睞，不僅要求對(duì)函數(shù)的本質(zhì)有著深刻的理解，而且解題方法靈活多變，求解技巧性強(qiáng) ，同時(shí)涉及的范圍較廣，對(duì)學(xué)生掌握所學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系要求較高。對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了較高要求，因此是數(shù)學(xué)競賽的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。本文歸納了一些求解抽象函數(shù)的方法和技巧，以達(dá)到拋磚引玉的目的。對(duì)于多個(gè)變量的抽象函數(shù)方程，可將其中的某個(gè)變量視為主元，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)馁x值，形成“關(guān)系鏈”，從而簡化運(yùn)算，達(dá)到特殊引路，探求一般規(guī)律的目的和效果。  評(píng)注：巧取特殊值，簡化運(yùn)算，形成“關(guān)系鏈”，起到了“特殊探路把門敲，化繁為簡層次高”的效果，從而優(yōu)化解題技巧。 題型二:巧構(gòu)結(jié)構(gòu)式，求解函數(shù)解析式對(duì)于一些多變量的抽象函數(shù)方程，當(dāng)變量的取值范圍對(duì)等時(shí)，往往可以通過變換變量的位置，將隱含的結(jié)構(gòu)關(guān)系式外顯化，然后通過外顯的結(jié)構(gòu)特征和性質(zhì)，使問題得以轉(zhuǎn)化 ，達(dá)到解決問題的目的。
評(píng)注：在解一些抽象函數(shù)方程、方程組時(shí)，通過變換、轉(zhuǎn)化，將內(nèi)在的信息特征外顯化，發(fā)現(xiàn)可用于構(gòu)造的因素，引入新的形式，借助新形式的性質(zhì)，使復(fù)雜的運(yùn)算和推證變得容易處理，使問題變得清晰可解。對(duì)于一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的函數(shù)方程，利用變量代換的方法，將抽象的函數(shù)方程式轉(zhuǎn)化為新變量形式， 以整體形式代入，轉(zhuǎn)化為各字母的方程組形式，從而解出具體的函數(shù)解析式。
評(píng)注：通過代換，形成新的關(guān)系，將產(chǎn)生新的表達(dá)式看成整體，得到一個(gè)或幾個(gè)新的函數(shù)方程，再將它們與原方程組聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為方程組問題，降低問題的難度和維度，轉(zhuǎn)化問題，使問題獲解。題型四:利用不動(dòng)點(diǎn)，求解函數(shù)解析式在數(shù)學(xué)中，不動(dòng)點(diǎn)定理是指函數(shù)f（x）在某種特定情況下，至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)存在，即至少有一個(gè)點(diǎn)x，能使f（x）=x。通過研究函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)， 使問題獲解，達(dá)到解題的目的。
評(píng)注：通過將討論的變量限定在一定的范圍內(nèi)，獲得熟悉的函數(shù)結(jié)構(gòu)，再通過探求不動(dòng)點(diǎn)，研究不動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)，利用不動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)將使問題得以巧妙解決。題型五:利用函數(shù)奇偶性，求解函數(shù)解析式對(duì)于一些復(fù)雜的函數(shù)方程，此類函數(shù)方程中往往包含著奇函數(shù)或者偶函數(shù)。而利用奇偶函數(shù)的特性，適當(dāng)?shù)剡x取值帶入方程，將問題轉(zhuǎn)換為方程組問題。
評(píng)注：利用函數(shù)的奇偶性，適當(dāng)?shù)剡x取特殊值，代入方程，達(dá)到將復(fù)雜方程簡化的目的。題型六:利用待定系數(shù)，求解函數(shù)解析式對(duì)于一些所求函數(shù)是多項(xiàng)式的情況，往往通過待定系數(shù)的方法，求解方程組，求出多項(xiàng)式的系數(shù)，從而求出解析式。
評(píng)注：此方法適用于所求函數(shù)式是多項(xiàng)式的情況。首先根據(jù)題意確定多項(xiàng)式的次數(shù)，再設(shè)出多項(xiàng)式的一般表示形式，再利用恒等式的形式 ，結(jié)合待定系數(shù)法，列出方程組，求解方程組，求出待定系數(shù)的值，從而求出函數(shù)的解析式。遞歸法 是數(shù)列 中常 見 的 一 種 方法，而數(shù)列和函數(shù)之間又存在著緊密聯(lián)系， 因此將遞歸法遷移到函數(shù)中來，也是求函數(shù)解析式的一個(gè)重要的方法。
評(píng)注：此方法是一種借助數(shù)列來研究函數(shù)方程的方法． 利用數(shù)列中常用的遞歸方法對(duì)函數(shù)進(jìn)行遞歸，若已知初始值和遞推關(guān)系，則可用遞歸解決函數(shù)解析式問題。此類方法是柯西最早研究的，因此叫作柯西法，此類方程就叫作柯西函數(shù)方程。這種解法的每一步都是后面推理的基礎(chǔ)，因此又被形象地叫作爬坡式推理法。
評(píng)注：相比于其他方法，此類方法的技巧性較強(qiáng)，而這種爬坡式的方法在其他地方運(yùn)用得也相當(dāng)廣泛。有許多的其他方程，都可以適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)換為柯西函數(shù)方程，從而獲得解答。 數(shù)學(xué)競賽試題因其內(nèi)容的廣泛性與深刻性，其解答包含著豐富的數(shù)學(xué)思想、方法。而恰當(dāng)?shù)乃枷搿⒎椒ㄝ^大程度上來源于對(duì)試題信息以及所涉及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系的準(zhǔn)確把握上，因此，在數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)過程中，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)試題結(jié)構(gòu)的分析及問題本質(zhì)的把握訓(xùn)練，有利于進(jìn)一步揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)。開發(fā)學(xué)生的智力， 拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)視野． 加強(qiáng)學(xué)生對(duì)不同題型進(jìn)行自主探究、分析提煉、合作交流、抽象概括的訓(xùn)練，有利于激發(fā)學(xué)生探索與創(chuàng)新精神，培養(yǎng)學(xué)生頑強(qiáng)的意志品質(zhì)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。 來源：微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感
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