空間

從廣義上，我們通過(guò)宇宙來(lái)定義萬(wàn)物，宇宙也是時(shí)間和空間的統(tǒng)一。對(duì)于整個(gè)物理世界，時(shí)間和空間是最重要最本質(zhì)的兩個(gè)維度。如果拋開(kāi)時(shí)間維度，則可以通過(guò)空間來(lái)描述事物?？臻g能容納事物，就好比現(xiàn)實(shí)世界中的人、建筑等都在某個(gè)空間內(nèi)。

空間

數(shù)學(xué)空間

空間概念也可以推廣到其它領(lǐng)域中，比如數(shù)學(xué)的空間就是點(diǎn)和幾何結(jié)構(gòu)的集合。最著名的也是我們平常生活最多接觸的就是歐幾里得空間，對(duì)應(yīng)著古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所創(chuàng)建的歐幾里得幾何。相對(duì)于低維度來(lái)說(shuō)主要有平面幾何空間和立體幾何空間，這些空間中還定義了距離、角、內(nèi)積一系列概念并規(guī)定了相關(guān)約束。

三維空間

如果將二維、三維推廣到有限n維，則從二維到有限n維的所有符合定義的空間統(tǒng)稱為歐幾里得空間。那么主要有哪些定義約束呢？歐幾里得空間主要的有五點(diǎn)約束：滿足距離的約束、滿足線性結(jié)構(gòu)的約束、滿足范數(shù)的約束、滿足內(nèi)積的約束、必須是有限維度。

實(shí)際上數(shù)學(xué)定義了很多空間，通過(guò)某些概念及約束對(duì)空間進(jìn)行定義以便能描述某些對(duì)象集合，由此帶來(lái)的好處就是能夠方便地描述這個(gè)空間的運(yùn)動(dòng)。

歐幾里得空間

向量空間

對(duì)于人工智能領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，在眾多空間中最常見(jiàn)且很有用的是向量空間。向量空間對(duì)應(yīng)的對(duì)象就是向量，在引入向量概念之后，很多問(wèn)題的處理都將變得更加簡(jiǎn)潔清晰。

向量

我們能直觀感受的向量空間一般為二維和三維的向量空間，也就是對(duì)應(yīng)著平面坐標(biāo)系（x軸和y軸）和三維坐標(biāo)（x軸、y軸和z軸）。但實(shí)際上，向量空間除了包括二維和三維，同時(shí)還能推廣到有限n維向量空間。向量空間很重要的是約束就是線性約束，即能夠進(jìn)行加法和數(shù)量乘法且滿足交換律、結(jié)合律、分配律，因此向量空間也叫線性空間。

向量空間

向量的表示

向量是指具有大小和方向的量，可以使用箭頭來(lái)表示，箭頭的長(zhǎng)度表示向量的大小，而箭頭的方向表示向量的方向。在物理領(lǐng)域，使用矢量作為向量的等同概念，而計(jì)算機(jī)領(lǐng)域會(huì)使用數(shù)組或列表來(lái)表示向量。如下圖中原點(diǎn)(0,0,0)和P點(diǎn)(2,3,5)一起確定了一個(gè)向量，該向量可以表示為：

向量表示

向量抽象萬(wàn)物

向量在數(shù)學(xué)上的定義是抽象的，那它有什么作用呢？從更高層面看，向量是一種對(duì)事物抽象的思維，同時(shí)也是一種很有用的工具，將事物轉(zhuǎn)換到向量體系能高效簡(jiǎn)潔地解決很多問(wèn)題。我們可以將事物映射成向量，也可以將事物的特征映射到向量空間。

比如我們可以使用向量來(lái)表示單詞，其中最簡(jiǎn)單的向量方式即是one-hot形式。假設(shè)一共有V個(gè)詞，我們將這V個(gè)詞固定好順序，構(gòu)建成一個(gè)詞典。然后每個(gè)詞就可以用一個(gè)V維的向量來(lái)表示，向量中只有在該詞出現(xiàn)的位置的元素才為1，其它元素全為0。比如下面這些詞，每個(gè)單詞向量的分量除了一個(gè)為1其余全都為0，'Man'和'Woman'的第5391個(gè)分量和第9853個(gè)分量為1，對(duì)應(yīng)該詞在字典中的位置。