例1.ΔABC中，∠ACB=120°，AB=3，則ΔABC周長的最大值為       。

法一：觀察聯(lián)想、猜測推理

在班級出示這道題給學生后，有的學生迅速猜出了答案：當AC=BC時，周長為3+2√3應該是最大值。

我提醒學生：猜想可以，但不是瞎猜，要有合理的邏輯，你是怎樣判斷和推理的？

判斷依據(jù)：根據(jù)軌跡定位法，由定線對定角知C點在圓弧上運動，觀察可知，當C與A、B重合時AC+BC=3為最小，在弧上運動時變大，并且周長的變化是對稱的，所以畫成函數(shù)圖像周長的變化趨勢應該是這個樣子滴：

這樣就可以合理地推測，當C在弧的中點時（或在AB的垂直平分線上）ΔABC的周長最大。

法二：幾何變換

AB為定值先撇開不看，則AC+BC最小即可，如何得到AC+BC呢？咱們在書上總結了，線段和差用截補呀！在AC延長線長截CP=BC，則∠APB=60°為定角，點P的運動軌跡是圓弧，轉化為定點A到定圓的最大路徑，AP過圓心即可（即AP為直徑時）。

法三：代數(shù)運算

如圖，構造直角三角形利用勾股定理得：a2+b2+ab=9，得9-3ab=(a-b)2≥0，ab≤3，所以(a+b)2=9+ab≤12，a+b的最大值為2√3。

由以上策略解決下面這道題就可以手到擒來了：正方形ABCD邊長為4，正方形EFGH頂點在正方形各邊，則正方形EFGH的面積最小為        。

（1）從變化趨勢看，當E點從D到A運動時，正方形EFGH的面積由大變小再變大，E點在AD中點時面積最大，是正方形ABCD面積的一半為8。

（2）用幾何方法：正方形EFGH面積為1/2EG2，EG最小為平行線間距離為4，得面積為8。

（3）用代數(shù)方法：設AE=x，面積S=x+(4-x)2，得最小值為8。

例2.如圖，∠MON=90°，邊長為2的等邊三角形ABC的頂點A、B在線段OM、ON上滑動，求OC的最大值。

法一：動中尋定，以靜制動

AB是直角三角形AOB的斜邊為定值，則斜邊上中線OP為定值，構造ΔOCP可得OC≤OP+CP=1+√3，所以OC最大值為1+√3。

法二：動靜互換，軌跡定位

運動是相對的，讓三角形ABC不動，則O點在以AB為直徑的圓弧上運動，轉化為定點C到圓弧的最長路徑，OC過圓心即可。

有了這個策略，下面這2題便可以秒解了（提示與答案在文末）：

練習1.已知點P（0，2√3），等邊ΔABC邊長為2，BC邊在x軸上滑動時，PA+PB的最小值為       。

練習2.如圖，已知ΔABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，將ΔABC沿AD剪開，得到ΔADB和ΔAEC，保持ΔAEC不動，將ΔABD繞點A按逆時針方向旋轉α°（0<α<360），當BE=DE時，則旋轉角α=       。

例3.在菱形ABCD中以B為頂點作等腰ΔBEF，∠EBF+∠ABC=180°，G為AF的中點，求證：CE=2BG。

這里的線段AD、CD是無關緊要打醬油的角色，有無對問題毫無影響，我們依“簡單化”原則用個“減”法把它們刪掉。題中的可供推理和嘗試的線索很明顯，一是“G是AF的中點”，可構造“A”形或“X”形基本圖，二是“∠EBF+∠ABC=180°”，可作其中一角的鄰補角便與另一角相等，三是“BA=BC，BE=BF”，可以聯(lián)想雙等腰“手拉手”模型。

如此，下面的圖形就不難構造了：

構造1.

構造2.

構造3.

構造4.

這里我們是從“完形構造”的角度思考，關于中點最常用的基本圖形是“A形”和“X形”，“A形”構造方法實質(zhì)是把其中一個三角形以端點為中心放大一倍或縮小一半，“X形”構造方法實質(zhì)是以中點為旋轉中心把其中一個三角形旋轉180度，這樣操作之后自然就可以看出證明的思路和方法。還記得書中一題“已知兩邊求第三邊上中線的取值范圍”的六種構造方法嗎？如圖，已知ΔABC中，AB=5，AC=2，求中線AD的取值范圍。

我們的上述構圖就是以不變應萬變，貫徹構造基本圖形這一通用策略，抓住縮放和旋轉這一常用方法，輔助線作法就可以信手拈來左右逢源，可見掌握解題的思維策略是多么地重要。