之前我們已經(jīng)介紹過美國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的大概歷程，十九世紀(jì)末美國(guó)數(shù)學(xué)開始快速發(fā)展，到了二十世紀(jì)前期，實(shí)際上已經(jīng)達(dá)到了世界先進(jìn)水平，而伯克霍夫(George David Birkhoff，1884~1944年)則是這一時(shí)期最重要的美國(guó)數(shù)學(xué)家，他的橫空出世對(duì)于美國(guó)數(shù)學(xué)而言及其重要，因?yàn)椴嘶舴蚩梢员豢醋鍪敲绹?guó)數(shù)學(xué)躋身世界第一流水平的象征。

伯克霍夫的本科是在哈佛大學(xué)讀的，而這一時(shí)期的哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)系是由Osgood和Bocher主導(dǎo)的。哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)系在兩位導(dǎo)師的引領(lǐng)下，逐漸成為了分析學(xué)的中心，并且在美國(guó)各大學(xué)的競(jìng)爭(zhēng)中首先脫穎而出，加冕成為最頂尖的數(shù)學(xué)系。美國(guó)的大學(xué)數(shù)學(xué)系基本上在世紀(jì)末才把研究當(dāng)作主要任務(wù)，這其中的佼佼者有哈佛大學(xué)，芝加哥大學(xué)和普林斯頓大學(xué)等。

后來伯克霍夫又到了芝加哥大學(xué)讀博士，導(dǎo)師是著名的美國(guó)數(shù)學(xué)家Moore，他被譽(yù)為將美國(guó)數(shù)學(xué)帶向世界的領(lǐng)導(dǎo)者。Moore在美國(guó)數(shù)學(xué)界享有盛譽(yù)的原因除去自身的成就卓著外，更重要的原因是他培養(yǎng)了三位著名的美國(guó)數(shù)學(xué)家，他們?nèi)藢⒃谥髱资昀锓謩e影響哈佛大學(xué)，芝加哥大學(xué)和普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系的發(fā)展，這三人其中之一便是伯克霍夫，他也是其中最出色的一個(gè)。

比較有趣的是，伯克霍夫的三個(gè)老師剛好就是美國(guó)二十世紀(jì)之前的數(shù)學(xué)家排行榜中的前三甲，也就是Osgood，Bocher和Moore。更湊巧的是，這三位數(shù)學(xué)家都是到德國(guó)留過學(xué)的，而且Osgood和Bocher都在德國(guó)著名數(shù)學(xué)大師克萊因的指導(dǎo)下進(jìn)行過數(shù)學(xué)研究，水平自然不一般。由此可見，德國(guó)數(shù)學(xué)對(duì)美國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展所產(chǎn)生的影響是十分深刻的，實(shí)際上，之后美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)有六名主席都是克萊因的美國(guó)學(xué)生。隨著二戰(zhàn)的爆發(fā)，又有大批德國(guó)著名數(shù)學(xué)家移民到美國(guó)，例如外爾，諾特，阿廷等等，所以德國(guó)數(shù)學(xué)對(duì)美國(guó)數(shù)學(xué)的影響不僅深刻，而且也十分持久。

這樣看來，伯克霍夫的成功不是沒有原因的，可謂天時(shí)地利人和都齊全了。1912年，伯克霍夫在普林斯頓大學(xué)任職兩年后回到哈佛大學(xué)任教，而偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊剛好在這一年去世，在龐加萊去世后三個(gè)月，伯克霍夫技驚四座，解決了龐加萊遺留的帶有限制條件的三體問題，一時(shí)引起了整個(gè)數(shù)學(xué)界的轟動(dòng)。伯克霍夫的證明也是歷史上首次將分析學(xué)中的存在性與拓?fù)鋵W(xué)中的不動(dòng)點(diǎn)定理結(jié)合起來，為這一方向的發(fā)展提供了全新的思想。

不過伯克霍夫最重要的貢獻(xiàn)卻不是三體問題，而是動(dòng)力系統(tǒng)理論中的遍歷性定理，在這個(gè)領(lǐng)域里，伯克霍夫極大地改進(jìn)了前人的思想和工作，提出了一系列獨(dú)到的創(chuàng)見，使得自己成為了行業(yè)內(nèi)的巨擘。同樣來自哈佛大學(xué)的天才數(shù)學(xué)家維納對(duì)此高度評(píng)價(jià)到：“遍歷性假設(shè)的正確表述及其定理的證明，是美國(guó)數(shù)學(xué)界，乃至全球數(shù)學(xué)界，近來最重要的成就之一”。

此外，伯克霍夫還在相對(duì)論上卓有貢獻(xiàn)，他證明了一定條件下的愛因斯坦方程只有球?qū)ΨQ解。同時(shí)，伯克霍夫也在拓?fù)洌瑤缀魏头治龈鞣矫娑加兄匾暙I(xiàn)，特別的，他還提出了一個(gè)解決數(shù)學(xué)難題四色猜想(最終在計(jì)算機(jī)的幫助下，四色猜想在1976年被完全解決)的重要數(shù)學(xué)工具。憑借這些重要成就，伯克霍夫毫無爭(zhēng)議地躋身于二十世紀(jì)的世界級(jí)數(shù)學(xué)家之列。

伯克霍夫之所以在美國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史占據(jù)如此重要的地位，除去他的成就之外，最重要的原因便在于他完全是由美國(guó)本土自主培養(yǎng)出來的數(shù)學(xué)家。伯克霍夫在取得這些世界級(jí)成就之前從未離開過美國(guó)(直到1926年，伯克霍夫才第一次造訪歐洲)，而且他也并沒有直接接受過外國(guó)數(shù)學(xué)家的指導(dǎo)，他所依靠的都是美國(guó)的數(shù)學(xué)教育，美國(guó)的數(shù)學(xué)導(dǎo)師。伯克霍夫的成功說明，經(jīng)過前人的不懈努力，美國(guó)的數(shù)學(xué)教育已經(jīng)達(dá)到世界級(jí)水平，美國(guó)數(shù)學(xué)系的學(xué)生已經(jīng)沒有太大必要再去歐洲留學(xué)了。

伯克霍夫完全代表了二十世紀(jì)初美國(guó)第一代完全接受美國(guó)本土數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)家，并且他將這樣的優(yōu)勢(shì)傳承了下去。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，如今全世界出自伯克霍夫門下的學(xué)生累計(jì)起來已經(jīng)超過七千人，其中不乏名人大家，例如后來的數(shù)學(xué)最高獎(jiǎng)沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主惠特尼。由此看來，對(duì)于美國(guó)本土的數(shù)學(xué)發(fā)展而言，伯克霍夫不僅是先行者，更是開拓者和繼承人。

正是在伯克霍夫這一代美國(guó)數(shù)學(xué)家的傳承和發(fā)揚(yáng)之下，美國(guó)數(shù)學(xué)才有了牢固的根基，這對(duì)于今天美國(guó)數(shù)學(xué)的輝煌而言，是必不可少的。